Ван Хорн Д., Вахович Д. Основы финансового менеджмента

Подождите немного. Документ загружается.

Глава 3. Стоимость денег во времени 111

Уяснив концепцию приведенной стоимости, мы сможем ответить на во-

прос, поставленный в самом начале этой главы: так что же лучше — 1000 долл.

сегодня или 2000 долл. через десять лет?

Допустим, что вы абсолютно увере-

ны в том, что получите эти деньги в обоих случаях, а ваши альтернативные

издержки (opportunity cost) использования этой суммы составляют 8% за год

(иными словами, вы могли бы одолжить или, наоборот, занять деньги под 8%

годовых). Текущую стоимость 1000 долл., полученных сегодня, определить

несложно: эти деньги стоят 1000 долл. Однако сколько стоят или, говоря ина-

че, во сколько можно оценить сегодня те 2000 долл., которые мы получим

лишь через десять лет? Ответить на этот вопрос можно, сформулировав его

несколько по-другому: какая нынешняя сумма, помещенная под 8% годовых,

дорастет через десять лет до 2000 долл. при условии начисления сложных

процентов? Эта сумма называется приведенной стоимостью (present value)

2000 долл., которые должны быть выплачены через 10 лет и дисконтируемых

по ставке 8%. В задачах о приведенной стоимости (таких как эта) процентную

ставку иногда называют ставкой дисконтирования (дисконта)

(или

ставкой

капитализации).

Ставка дисконтирования (или ставка капитализации)

(discount rate, capitalization rate)

Процентная ставка, используемая для преобразования (приведения) будущей

СТОИМОСТИ в приведенную СТОИМОСТЬ.

Определение приведенной стоимости (или дисконтирование) — действие,

обратное начислению сложных процентов. Таким образом, нам нужно сначала

вернуться к уравнению (3.4)

(l + iy.

Решим это уравнение относительно приведенной стоимости:

=FV

/(l+iy

= FV

[l/(l + i)"]. (3.6)

Tc-c-c! Хотите удвоить свои сбережения?

"Правило 72" подскажет, как этого добиться

БИЛЛ ВИК

однажды купил

Chicago

White

Sox за

10 млн. долл.,

через пять лет продал

за 20 млн. долл. Короче говоря, он удвоил свои сбережения. Чему равнялась ставка

доходности его инвестиций, рассчитанная по методу сложных процентов?

Быстрый способ решения задач со сложными процентами, касающихся удвоения

капитала, основывается на так называемом "Правиле 72". Это правило гласит: если

72 разделить на количество лет (п) в течение которых деньги будут находиться на

депозите, то мы получим приблизительное значение процентной ставки, i, которое

Как альтернативный вариант мы могли бы рассматривать это как задачу о будущей стоимо-

сти. Для этого нам следовало бы сравнить будущую стоимость 1000 долл. (при начислении в те-

чение 10 лет 8% годовых по методу сложного процента) с будущей стоимостью 2000 долл.

112 Часть II. Оценка активов

требуется для того, чтобы величина ваших сбережений удвоилась. В случае Вика

это правило дает следующий результат:

72/г

= п

или

72/5 = 14,4%.

И наоборот, если бы Вик взял свои первоначальные сбережения и поместил их на

сберегательный счет под 6% годовых, начисляемых по методу сложных процентов,

ему пришлось бы ждать примерно 12 лет, чтобы его сбережения удвоились:

72/г

= п

или

72/6 =

12 лет.

Действительно, для большинства процентных ставок, с которыми нам приходится

иметь дело, "Правило 72" обеспечивает надежное приближенное значение процент-

ной ставки — или количества лет, — требующихся для удвоения ваших сбережений.

Но полученный ответ не является точным. Например, удвоения денег за пять лет

можно было бы добиться при 14,87% годовых, начисляемых по методу сложных

процентов [(1 + 0Д487)

= 2]; "Правило 72" гласит — 14,4%. Кроме того, для удвое-

ния денег, вложенных под 6% годовых, на самом деле требуется лишь 11,9 года

[(1 + 0,06)

11,9

= 2]; а в соответствии с "Правилом 72" — 12. Однако аппроксимация,

обеспечиваемая "Правилом 72", оказывается весьма близкой к точным значениям

и в большинстве случаев ее может оказаться вполне достаточно.

Обратите внимание: член [l/(l+z)?2] представляет собой величину, обратную

коэффициенту будущей стоимости при i% для п периодов (FVIF

). У этой обрат-

ной величины есть свое собственное название: коэффициент приведенной стои-

мости при i% для п периодов (PVIFJ). Воспользовавшись этим обозначением,

можно переписать уравнение (3.6) в следующем виде:

=FV

(PVIF

). (3.7)

Таблица для нахождения приведенной стоимости, содержащая значения

PVIF

для широкого спектра процентных ставок и временных периодов, из-

бавляет нас от необходимости выполнять вычисления, предполагаемые урав-

нением (3.7), каждый раз, когда нам приходится решать задачу нахождения

приведенной стоимости. Табл. 3.4 представляет собой сокращенную версию

подобной таблицы. (Табл. II Приложения, помещенного в конце книги, явля-

ется более полной версией.)

Теперь мы можем воспользоваться уравнением (3.7) и табл. 3.4, чтобы най-

ти приведенную (современную) стоимость тех 2000 долл., которые мы полу-

чим через 10 лет, при дисконтной ставке 8%. Пересечение столбца 8% и стро-

ки Период 10 лет в табл. 3.4 указывает значение PVIF

S%10

, равное 0,463. Это го-

ворит о том, что 1 долл., полученный через 10 лет, сегодня обойдется нам в 46

центов. Имея в своем распоряжении эту информацию, получаем:

=FV

(PVIF

&xw

)

= $2000(0,463) = $926.

Глава 3. Стоимость денег во времени 113

Понятно, что, сравнивая вычисленное нами значение приведенной стоимо-

сти (926 долл.) с 1000 долл., которые можно получить уже сегодня, следует от-

дать предпочтение последнему варианту. В этом случае наш выигрыш соста-

вит 74 долл. (1000 долл. - 926 долл.).

Можно сказать, что дисконтирование будущих денежных потоков очень напо-

минает процесс уравновешивания условий (handicapping). Иными словами, мы

подвергаем будущие денежные потоки (как поступления, так и расходы) опреде-

ленному обесцениванию (определяемому математическим способом) относитель-

но тех долларов, которые мы держим в руках. Например, в только что рассмотрен-

ной нами задаче мы обесценивали каждый будущий доллар в такой мере, что его

сейчас можно оценить лишь в 46 центов. Чем больше мы обесцениваем будущий

денежный поток, тем меньше соответствующий коэффициент приведенной

стоимости (PVIF). Рис. 3.2 иллюстрирует комбинированное влияние времени

и ставки дисконтирования на приведенную стоимость.

Рис. 3.2. Приведенная стоимость 100 долл. при ставках дисконтиро-

вания 5, 10 и 15%

На этом рисунке в графическом виде показано, как изменится приведенная

стоимость 100 долл., получаемых через 1-10 лет при трех разных ставках дис-

контирования: 5, 10 и 15%. Из рисунка следует, что приведенная стоимость

100 долл., получаемых в будущем, уменьшается, становясь тем меньше, чем

в более отдаленном будущем мы получим соответствующую сумму. Конечно,

чем выше процентная ставка, тем меньше приведенная стоимость, но, наряду

114 Часть II. Оценка активов

с этим, тем более ярко выраженный криволинейный характер имеет рассмат-

риваемая нами зависимость. При 15%-ной ставке дисконтирования 100 долл.,

полученные через 10 лет, будут оцениваться сейчас лишь в 24,70 долл., или

около 25 центов за каждый будущий доллар.

Таблица 3.4. Коэффициенты приведенной стоимости 1 долл. при / процентах

для п периодов (PVIFJ

(PVIFJ = 1/(1 +;)"

Период(п) Процентная ставка (/)

3% 5% 87.

10% 15%

0,990

0,971

0,952

0,926

0,909

0,870

0,980

0,943

0,907

0,856

0,826 0,756

0,971

0,915

0,864 0,794

0,751

0,658

4 0,961

0,888

0,823

0,735

0,683

0,572

5 0,951

0,863

0,784

0,681

0,621

0,497

0,942

0,837

0,746

0,630

0,564

0,432

0,933

0,813 0,711

0,583

0,513

0,376

0,923

0,789

0,677

0,540

0,467 0,327

9 0,914

0,766

0,645

0,500

0,424 0,284

0,905

0,744

0,614

0,463

0,386

0,247

ВОПРОС —ОТВЕТ

Как определить будущую (приведенную) стоимость инвестиции примени-

тельно к промежутку времени, содержащему нецелое количество пе-

риодов (например, 1,25 года)?

Это очень просто. Все, что от нас требуется, — изменить формулу для опре-

деления будущей (приведенной) стоимости, чтобы она включала десятичную

дробь, Допустим, вы помещаете 1000 долл. на сберегательный счет под 6%

годовых, начисляемых по методу сложных процентов, и хотите забрать свой

вклад через 15 месяцев (т.е. через 1,25 года). Поскольку FV

= Р

(1 + 0", то че-

рез 15 месяцев вы снимете со своего счета следующую сумму:

126

=$1000(1 + 0, Об)

125

=$1075,55,

Неизвестная процентная

(или

дисконтная) ставка. Иногда, анализируя

зависимость стоимости денег от времени, мы сталкиваемся с ситуациями, ко-

гда известны будущая и приведенная стоимости, а также количество интере-

сующих нас периодов времени. Однако мы не знаем, какая ставка применяет-

ся в данной ситуации для начисления сложных процентов.

Допустим, что, инвестировав сегодня 1000 долл., ровно через восемь лет вы

получите 3000 долл. Ставку, которая используется в данной ситуации для на-

числения сложных процентов (или дисконтирования), можно найти, преобра-

зовав базовое уравнение для будущей (приведенной) стоимости. Воспользо-

вавшись, например, уравнением (3.5) для будущей стоимости, получаем:

Глава 3. Стоимость денег во времени 115

(FVIF

)

$3000 = $1000(/УЩ

)

/=УЩ

=$3000/$1000 = 3.

Просматривая в табл. 3.3 строку, соответствующую восьмилетнему перио-

ду, находим коэффициент будущей стоимости (FVIF), ближайший к вычис-

ленному нами значению — 3. Ближайшим к числу 3 значением коэффициента

будущей стоимости является 3,059, которое мы находим в столбце, соответст-

вующем 15%. Поскольку 3,059 несколько больше, чем 3, мы приходим к выво-

ду, что процентная ставка в рассматриваемой ситуации на самом деле должна

быть несколько больше 15%.

Чтобы получить более точный ответ, нам надо учесть то обстоятельство, что

FVIF

можно также представить в виде (1 + г)

и найти г непосредственно как

(1 + г)

(1 + г) = 3

1/8

= 3

0д25

=1,1472

г = 0,1472.

(Примечание. Решая это уравнение относительно г, мы сначала должны

возвести обе части уравнения в степень 1/8, или 0,125. Чтобы возвести 3 в

степень 0,125, мы используем клавишу [ух] на карманном калькуляторе, вво-

дя 3, нажимая клавишу [ух], вводя 0,125 и, наконец, нажимая клавишу [=].)

Неизвестное количество периодов начисления сложных процентов (или

дисконтирования). Иногда

нам

требуется знать, сколько понадобится времени,

чтобы некоторая сумма, инвестированная сегодня, достигла определенной буду-

щей стоимости при заданной ставке начисления сложных процентов. Сколько, на-

пример, понадобится времени, чтобы инвестиция в размере 1000 долл. выросла до

1900 долл. при условии начисления сложных процентов с 10%-ной ставкой? По-

скольку нам известна будущая и приведенная стоимость данной инвестиции, ко-

личество периодов начисления сложных процентов (или дисконтирования), п, ис-

пользуемое в этой инвестиционной ситуации, можно определить, преобразовав ба-

зовое уравнение для будущей или приведенной стоимости. Воспользовавшись,

например, уравнением (3.5) для будущей стоимости, получаем:

(FVIF

i0%n

)

$1900 = $1000(iW

10%

„)

FVIF

iQ%n

=$1900/$1000 = 1,9.

Просматривая в табл. 3.3 столбец, соответствуюпгий 10%, находим коэффици-

ент будущей стоимости (FVIF), ближайший к вычисленному нами значению — 1,9.

Ближайшим к числу 1,9 значением коэффициента будущей стоимости является

1,949, которое мы находим в строке, соответствующей семилетнему периоду. По-

скольку 1,949 несколько больше, чем 1,9, мы приходим к выводу, что количество

периодов начисления процентов в рассматриваемой ситуации на самом деле

должно быть несколько меньше семи лет.

116 Часть II. Оценка активов

Чтобы обеспечить большую точность, представим FVIF

10%n

в виде (1 + 0,10)я и

решим соответствующее уравнение относительно п:

(1 + 0,10)" =1,9

и(Ы,1) = Ы,9

п = (In 1,9) /(In 1,1) = 6,73 года.

Чтобы решить это уравнение относительно п, которое в преобразованном нами

уравнении имеет вид показателя степени, воспользуемся маленькой хитростью.

Мы берем натуральный логарифм (In) обеих частей нашего уравнения. Это позво-

ляет нам решить уравнение в явном виде относительно п. (Примечание. Чтобы

разделить (In 1,9) на (In 1,1), мы следующим образом используем клавишу [LN] на

карманном калькуляторе: вводим 1,9, нажимаем клавишу [LN], затем нажимаем

клавишу [+]; после этого вводим 1,1, еще раз нажимаем клавишу [LN] и, наконец,

нажимаем клавишу [=].)

Аннуитеты

Обычный аннуитет. Аннуитет (annuity) представляет собой ряд равных де-

нежных платежей (выплат или поступлений), совершающихся через равные про-

межутки времени (периоды). В случае обычного аннуитета (ordinary annuity)

выплаты или поступления происходят в конце каждого периода. На рис. 3.3 пока-

зана последовательность денежного потока в случае обычного аннуитета на вре-

менной оси (временном графике, временной шкале).

Аннуитет (annuity)

Ряд равных денежных платежей (выплат или поступлений), совершающихся через

равные промежутки времени (периоды). В случае обычного аннуитета (ordinary

annuity) выплаты или денежные поступления происходят в конце каждого периода, а в

случае срочного аннуитета (annuity due) выплаты или денежные поступления происхо-

дят в начале каждого периода.

Конец года

0 12 3

I I I I

$1000 $1000 $1000

Рис. 3.3- Временная ось, на которой представлена последовательность

денежных потоков для обычного аннуитета 1000 долл. за год в течение

трех лет

Допустим, что рис. 3.3 отражает получение вами 1000 долл. каждый год

в течение трех лет. Допустим также, что эту получаемую ежегодно тысячу вы

помещаете на сберегательный счет под 8% годовых, начисляемых по методу

сложных процентов. Сколько денег окажется у вас по истечении трех лет? От-

вет на этот вопрос представлен на рис. 3.4 (сложный способ); при этом мы ис-

пользовали лишь уже обсуждавшиеся нами инструменты.

Глава 3. Стоимость денег во времени 117

Ниже приведена формула для FVA

, представленная в алгебраическом виде

(FVA

— будущая (сложная) стоимость аннуитета; R — периодическое денеж

ное поступление (или выплата) и п — продолжительность аннуитета):

FVA

= R(\ + i)""

+ R(l + г)""

+... + R(l + г)

+ R(l + if

= R[FVIF

+FVIF

+ ... + FVIF

il+

FVIF

Как следует из этой формулы, FVA

равняется величине периодических де

нежных поступлений (R), умноженной на "сумму коэффициентов будущей

стоимости денежных поступлений при i% для периодов времени от 0 до п  1".

К счастью, эту формулу можно представить в более компактном виде:

FVA=R

£(1+о

= Д([(1+0"-1]/0,

(3.8)

или, что то же самое,

FVA„=R(FVIFA

), (3.9)

где FVIFA

означает "коэффициент будущей стоимости аннуитета при

процентах для п периодов".

СОВЕТ

Решая задачи, связанные с изменением стоимости денег во времени, бы

вает полезно вначале начертить временную ось и позиционировать на ней

соответствующие денежные потоки, Такой подход позволяет сосредото

читься на сути решаемой задачи и сократить вероятность появления оши

бок. Когда мы приступим к обсуждению смешанных денежных потоков, та

кой подход окажется еще более актуальным.

Сокращенный перечень значений FVIFA приведен в табл. 3.5. Более пол

ный перечень значений FVIFA приведен в табл. III Приложения.

Воспользовавшись табл. 3.5 для решения нашей задачи, представленной на

рис. 3.4, получим:

FVA

=$1000(FVIFA

S%3

)

= $1000(3,246) = $3246

Этот ответ идентичен тому, который представлен на рис. 3.4. (Примечание.

Использование таблицы вместо формулы приводит к незначительным ошиб

кам округления. Если бы мы воспользовались уравнением (3.8), наш ответ

оказался бы на 40 центов больше. Таким образом, если требуется особая точ

ность, вместо таблиц следует пользоваться соответствующими формулами.)

118 Часть II. Оценка активов

Конец года

$1000 $1000

С начислением сложных

процентов за 2 года

С начислением сложных

процентов за 1 год

$1000

Без начисления

сложных процентов

$1000

1080

1166

Будущая стоимость обычного аннуитета

при

процентной ставке

8% за 3

года

(FVA3)

$3246

Рис. 3.4. Временная ось для вычисления будущей (сложной) стоимости обычного

аннуитета (периодическоепоступление — R = 1000долл.;i = 8% ип=3года)

Таблица 3.5. Коэффициенты будущей стоимости обычного аннуитета 1 долл.

за один период при /% для л периодов (FVIFA

)

(.FVIFA,

) = £ (1 + /Г' = ((1 + 0" -1) / /

Период (п)

Процентная ставка (0

10%

15%

1,000 1,000 1,000

1,000

2,010

2,030 2,050

2,080

2,100 2,150

3,030

3,091

3,153

3,246

3,310

3,473

4,060

4,184

4,310

4,506

4,641

4,993

5,101

5,309

5,526

5,867

6,105

6,742

6 6,152

6,468

6,802

7,336

7,716

8,754

7,214

7,662

8,142

8,923

9,487

11,067

8,286

8,892

9,549

10,637

11,436

13,727

9,369

10,159

11,027

12,488

13,579

16,786

10,462

11,464

12,578

14,487 15,937

20,304

Вернемся ненадолго к рис. 3.3. Предположим на этот раз, что мы снимаем

деньги в размере 1000 долл. за год в течение трех лет со сберегательного счета,

условия которого обеспечивают 8% годовых, начисляемых по методу сложных

процентов. Какую сумму вам следовало бы поместить прямо сейчас (точка 0) на

депозит, чтобы после снятия последних 1000 долл. вы закрыли счет? На рис. 3.5

показан сложный способ решения этой задачи.

Глава 3. Стоимость денег во времени 119

Конец года

$926

857

794

Дисконтируются $1000

поступления

в 1-м году

$1000

Дисконтируются поступления во 2-м году

Дисконтируются поступления в 3-м году

$2577

= приведенная стоимость обычного аннуитета при 8% годовых за

года (PVA3)

Рис. 3.5. Временная ось для вычисления приведенной (дисконтированной)

стоимости обычного аннуитета (периодическое поступление — R = 1000 долл.;

i = 8% и п = 3 года)

Как видно из рис. 3.5, определение приведенной стоимости аннуитета сводится

к нахождению суммы ряда значений приведенной стоимости отдельных поступ

лений. Таким образом, мы можем написать общую формулу для приведенной

стоимости обычного аннуитета для п периодов (PVAJ в следующем виде:

PVA„ = Д[1/(1 + г)

] + W(l + О

] +  + + 0" ]

= R[PVIF

+ PVIF

+... + PVIF

Обратите внимание, что наша формула сводится к тому, что PVA

равняет

ся величине периодических денежных поступлений (R), умноженной на

"сумму коэффициентов приведенной стоимости при i процентах для периодов

времени от 1 до п". С математической точки зрения это эквивалентно выражению

PVA. = R £1/(1 +

(3.10)

и может быть представлено даже еще проще:

PVA

=R(PVIFA

„), (3.11)

где PVIFA

означает "коэффициент приведенной стоимости обычного аннуи

тета при i процентах для п периодов". Табл. IV Приложения содержит значе

ния PVIFA

для широкого спектра значений i и я, а табл. 3.6 представляет со

бой подмножество табл. IV.

Мы могли бы воспользоваться данными, приведенными в табл. 3.6, для на

хождения приведенной стоимости аннуитета величиной 1000 долл., выплачи

ваемой в течение трех лет при 8% годовых (см. рис. 3.5). В табл. 3.6 находим,

что PVIFA

S%3

равняется 2,577. (Обратите внимание: эта величина — не что

иное, как сумма первых трех чисел в столбце 8% табл. 3.4, с помощью которой

находятся значения PVIF.) Воспользовавшись уравнением (3.11), получаем:

PVA

=$\000(PVIFA

s%3

)

= $1000(2,577) = $2577

120 Часть II. Оценка активов

Бессрочная (пожизненная) рента (perpetuity) представляет собой обычный

аннуитет, процедуры выплаты или получения которого продолжаются "до беско-

нечности". Умение определять приведенную стоимость этого аннуитета особого

типа потребуется от нас в следующей главе, когда мы будем определять стоимость

облигаций, не имеющих конечного срока погашения (perpetual bonds), и привиле-

гированных акций.

Бессрочная (пожизненная) рента (perpetuity)

Обычный аннуитет, процедуры выплаты или получения которого продолжаются бесконечно.

Повторный анализ РУД, в уравнении (3.10) поможет нам несколько упро-

стить решение этой задачи. Подставляя в уравнение (3.10) значение бесконеч-

ности (°°) вместо п, получаем:

РУД = й[(1 - [1/(1 + 0" ])/

г] • (

)

Поскольку член, заключенный в квадратные скобки — [1/(1+0°°]'

—

стре-

мится к нулю, уравнение (3.12) можно переписать в следующем виде:

РУД = P[(l-0)/i] = P(l/z)

или просто

PVA_=R/i. (3.13)

Таким образом, приведенная стоимость бессрочной ренты представляет собой

величину периодического получения (выплаты), поделенную на процентную

ставку, относящуюся к одному периоду. Если человек ежегодно (и пожизненно)

получает, например, 100 долл., а процентная ставка равняется 8%, тогда приведен-

ная стоимость этой бессрочной ренты составляет 1250 долл. (т.е. 100 долл. /0,08).

Таблица 3.6. Коэффициенты приведенной стоимости обычного аннуитета,

предусматривающего платеж 1 долл. за один период при / процентах

для п периодов (PVIFAi,n)

(PVIFA, J =

]N/(1+/)'

(1 - (1 /(1

/)"))//

t=1

Период (n) Процентная ставка (i)

3% 5%

8% 10%

15%

0,990

0,971

0,952

0,926

0,909

0,870

2 1,970

1,913 1,859

1,783 1,736 1,626

2,941

2,829

2,723

2,577

2,487

2,283

3,902

3,717

3,546

3,312 3,170

2,855

4,853

4,580

4,329

3,993

3,791

3,352

5,795

5,417

5,076

4,623

4,355

3,784

6,728

6,230

5,786 5,206

4,868

4,160

7,652

7,020

6,463

5,747

5,335

4,487

8,566

7,786

7,108

6,247

5,759

4,772

9,471

8,530

7,722

6,710 6,145

5,019