Ван Хорн Д., Вахович Д. Основы финансового менеджмента

Подождите немного. Документ загружается.

Глава 3. Стоимость денег во времени 131

тивных процентных ставок, которые они выплачивают по сберегательным сче-

там клиентов. Этот метод называется подсчетом годовой процентной доход-

ности (annual percentage yield — APY), Полагают, что применение APY долж-

но избавить нас от путаницы, вызванной тем, что различные сберегательные

учреждения используют разные методы начисления процентов и разную

терминологию, например эффективная доходность, годовая доходность

и эффективная ставка. АРУ схож с эффективной (действующей) годовой

процентной ставкой (effective annual interest rate), Однако вычисление APY

основывается на фактическом количестве дней в году (год включает 365 или

366 дней, если он високосный), в течение которых деньги находятся на сбе-

регательном счете.

В том же духе Закон о прозрачности кредитования (Truth-in-Lending Act)

обязует все финансовые институты сообщать об эффективных процентных

ставках по любому займу. Такая ставка называется годовой процентной

ставкой (annual percentage rate —APR). Однако финансовые институты не

обязаны сообщать об "истинной" эффективной годовой процентной ставке

как APR, Вместо этого они могут сообщать версию эффективной годовой

процентной ставки, не начисляемую по методу сложных процентов. Допус-

тим, например, что некий банк предоставляет кредит менее чем на год, или

проценты должны начисляться чаще, чем раз в год. При этом банк должен

определить эффективную периодическую процентную ставку (effective

periodic interest rate) — основываясь на величине используемых денежных

средств (т.е. величине денежных средств, которую заемщик реально мо-

жет использовать), — а затем просто умножить эту ставку на количество

периодов начисления в году. В результате получится APR.

Эффективная годовая процентная ставка

Доходность инвестиций может отличаться в зависимости от конкретных

периодов начисления процентов. Если мы хотим сравнивать между собой ва-

рианты инвестиций, с отличающимися периодами начисления процентов, то

должны привести их процентные ставки к единой, стандартной базе. Из этого

следует, что мы должны различать номинальную (или объявленную) про-

центную ставку и эффективную годовую процентную ставку (effective annual

interest rate). Эффективная годовая процентная ставка — это годовая про-

центная ставка, которая обеспечивает такой же процентный доход, как и но-

минальная ставка при ее начислении m раз в году.

Эффективная годовая процентная ставка (effective annual interest rate)

Фактическая процентная ставка, начисляемая (выплачиваемая) после внесения в

номинальную ставку поправки на такие факторы, как количество периодов начисления

процентов за год,

Таким образом, по определению,

(1 + эффективная годовая процентная ставка) = (1 + [г / т])'

132 Часть II. Оценка активов

Следовательно, при заданной номинальной ставке г и количестве периодов

начисления процентов в году тп мы можем представить эффективную годовую

процентную ставку в следующем виде

Эффективная годовая процентная ставка = (1 + [г/tn])

-1 (3.21)

Если, например, ваш сберегательный план предполагает ежеквартальные

начисления на годичный вклад по номинальной процентной ставке, равной

8%, тогда эффективная годовая процентная ставка будет равняться:

(1 + [0.08/4])

-1 = (1 + 0,02)" -1 = 0,08243.

Лишь в случае, если бы проценты начислялись ежегодно, эффективная го-

довая процентная ставка равнялась бы 8%-ной номинальной ставке.

Табл. 3.7 содержит ряд значений будущей стоимости по окончании одного

года для 1000 долл., на которые начисляется номинальная ставка 8%, для не-

скольких разных периодов начисления. Из таблицы следует, что чем больше

периодов начисления, тем выше будущая стоимость соответствующего депо-

зита (и процентный доход, начисляемый на этот депозит) и тем выше эффек-

тивная годовая процентная ставка.

Таблица 3.7. Влияние различных периодов начисления процентов

на будущую стоимость 1000 долл., инвестированных под 8% годовых

Начальная

сумма (долл.)

Периоды начисления

процентов

Будущая стоимость

по окончании одного

года (долл.)

Эффективная го-

довая процентная

ставка (%)*

1000

Ежегодно

1080,00

8,000

1000

Раз в полгода

1081,60

8,160

1000

Ежеквартально

1082,43

8,243

1000

Ежемесячно

1083,00

8,300

1000 Ежедневно (365 дней)

1083,28

8,328

1000

Непрерывно

1083,29

8,329

"1000 долл., инвестированные на год при этих ставках, начисляемых ежегодно, обеспечили бы такие

же значения будущей стоимости, как те, которые указаны в столбце 3.

Амортизация займа

Важным применением концепций приведенной стоимости является опре-

деление размера платежей, которые требуются для погашения постепенно вы-

плачиваемого займа. Его характерной особенностью является погашение пу-

"Специализированная" формула для эффективной годовой процентной ставки при использо-

вании непрерывного начисления процентов имеет следующий вид: эффектная годовая ставка

процента = (е)' -1

Глава 3. Стоимость денег во времени 133

тем равных периодических платежей, которые включают как проценты по

займу, так и часть его основной суммы. Такие платежи могут совершаться

ежемесячно, ежеквартально, раз в полгода или ежегодно. Выплата в рассрочку

чаще всего используется в ипотечных займах, ссудах на покупку автомобиля,

потребительских ссудах и определенных видах коммерческих ссуд.

Чтобы проиллюстрировать сказанное простейшим примером ежегодных

платежей, допустим, что вы взяли ссуду в размере 22 тыс. долл. под 12% годо-

вых, начисляемых по методу сложных процентов, причем эту ссуду необходи-

мо погасить в течение следующих шести лет. В конце каждого года ссуду не-

обходимо погашать равными долями. Следует также учитывать, что эти пла-

тежи должны быть достаточными для погашения основной суммы долга

(22 тыс. долл.) плюс 12%-ный доход кредитора. Чтобы определить сумму еже-

годного платежа, R, мы формулируем нашу задачу следующим образом:

$22 000 = 7?

Jl/(1 + 0,12)'

= R(PVIFA

l2%s

В табл. IV Приложения, помещенного в конце книги, мы находим, что ко-

эффициент дисконтирования для шестилетнего аннуитета при использовании

12%-ной ставки составляет 4,111. Решая приведенное выше уравнение отно-

сительно R, получаем:

$22 000 = ^(4,111)

i? = $22 000/4,111 = $5351.

Таким образом, ежегодные платежи в размере 5351 долл. позволяют в те-

чение шести лет полностью амортизировать (погасить) ссуду величиной

22 тыс. долл. Каждый платеж состоит частично из процента и частично — из

выплаты в счет погашения основной суммы займа. График амортизации

(amortization schedule) представлен в табл. 3.8. Мы видим, что подлежащие

выплате проценты за год определяются умножением на 12% еще не выплачен-

ной (на начало соответствующего года) части основной суммы займа. Вели-

чина платежа, приходящегося на основную сумму займа, представляет собой

общую сумму платежа, выплачиваемого в рассрочку, минус величина платежа,

приходящегося на процентные выплаты.

График амортизации (amortization schedule)

Таблица, в которой отображается график выплаты процентов по займу и его основ-

ной суммы. Этот график должен предусматривать полное погашение займа к зара-

нее обусловленному сроку,

Обратите внимание, что часть платежа, приходящаяся на выплату процен-

тов по займу, с течением времени уменьшается, тогда как часть платежа, при-

ходящаяся на выплату основной суммы займа, увеличивается. По истечении

шести лет заемщик выплатит основную сумму займа, равную 22 тыс. долл.,

и заем будет, таким образом, полностью амортизирован. Соотношение между

процентом и основной суммой займа очень важно, поскольку налог на при-

быль уменьшается лишь на суммы процентов по долгу.

134 Часть II. Оценка активов

Таблица 3.8. Пример графика амортизации займа

Конец Выплата

Годовые про-

Выплата основ-

Задолженность по основ-

года долга центные вы- ной суммы зай- ной сумме займа на ко-

(долл.) платы (долл.) ма (долл.) нец года (долл.)

(4)

х0,12,

(1) - (2)

(4)

-(3)

(1)

(2)

(3)

(4)

Важнейшие формулы

Поток(и) Уравнение

Номер таблицы

в конце книги

Отдельные платежи:

(l + iy

(3.4)

(FVIF

iin

)

(3.5) I

=FV„[l/(l+iy]

(3.6)

=FV

(PVIF

)

(3.7)

Аннуитеты:

FVA

=R([(l + iY-l]/i)

(3.8)

FVA

=R{FVIFA

)

(3.9)

III

PVA

=R[(i-[l/(l+i)

])/i)

(3.10)

PVA

=R(PVIFA

(3.11)

FVAD„ =R(FVIFA

)(i + i)

(3.14) III

PVAD„ =R(PVTFA

„_

+ l)

(3.15)

PVAD

=(l + i)(R)(PVIFA

iri

)

(3.16)

Глава 3. Стоимость денег во времени 135

• БОЛЬШИНСТВО финансовых решений — как в личной, так и в деловой жизни —

связано с тем, что стоимость денег изменяется во времени. Измерение этой за-

висимости определяется процентной ставкой.

• Простые проценты — это проценты, выплачиваемые (или приносимые)

только на исходную заимствованную (или предоставленную в кредит)

сумму.

• Сложные проценты — это проценты, выплачиваемые (или приносимые) на

любые ранее начисленные проценты, а также на основную заимствован-

ную (или предоставленную в кредит) сумму. Концепцию сложных про-

центов можно использовать для решения широкого спектра задач в сфере

финансов.

• В основе всех задач, связанных со сложными процентами, можно обнару-

жить две основные концепции — концепции будущей стоимости и приве-

денной стоимости. Будущая стоимость — это стоимость в определенный

момент в будущем нынешней суммы денег (или последовательности вы-

плат), оцениваемая с учетом заданной процентной ставки. Приведенная

стоимость — это нынешняя стоимость будущей суммы денег (или последо-

вательности выплат), оцениваемая с учетом заданной процентной ставки.

• Решение задач, связанных с изменением стоимости денег от времени, очень

полезно начинать с вычерчивания временной оси (временного графика), на

которой отображаются соответствующие условиям задачи денежные потоки.

• Аннуитет — это регулярная последовательность одинаковых денежных вы-

плат или поступлений, имеющих место в течение определенного времени.

• Существует ряд характеристик, которые должны помочь вам в выявлении и ре-

шении различных типов задач, касаюпшхся определения стоимости аннуитета.

1. Приведенная стоимость обычного аннуитета: денежные потоки имеют

место в конце каждого периода; приведенная стоимость аннуитета вы-

числяется на момент времени, отстоящий на один период до появления

первого денежного потока.

2. Приведенная стоимость срочного аннуитета: денежные потоки имеют

место в начале каждого периода; приведенная стоимость аннуитета

вычисляется на момент первого денежного потока.

3. Будущая стоимость обычного аннуитета: денежные потоки имеют ме-

сто в конце каждого периода; будущая стоимость аннуитета вычисля-

ется на момент последнего денежного потока.

4. Будущая стоимость срочного аннуитета: денежные потоки имеют место

в начале каждого периода; будущая стоимость аннуитета вычисляется

на момент времени, отстоящий на один период после возникновения по-

следнего денежного потока.

• Существуют различные формулы для нахождения значений будущей и

приведенной стоимости как отдельных платежей, так и аннуитетов. Задачи

на смешанные (неоднородные) денежные потоки всегда можно решить пу-

136 Часть II. Оценка активов

тем индивидуальной "настройки каждого денежного потока на временном

графике и последующего суммирования полученных результатов. Способ-

ность выявлять определенные варианты поступлений и платежей в смешан-

ных денежных потоках поможет вам упростить необходимые вычисления.

Чтобы иметь возможность сравнить альтернативные варианты инвести-

ций, к которым применяются разные периоды начисления процентов, за-

частую бывает необходимо вычислить их эффективные годовые процент-

ные ставки. Эффективная годовая процентная ставка — это начисляемая

ежегодно процентная ставка, которая обеспечивает такой же годовой про-

центный доход, как и номинальная ставка при начислении т раз в год.

Амортизация займа связана с определением периодических платежей, необ-

ходимых для исчерпания основной суммы займа к моменту, когда наступит

срок полного его погашения; при этом должна также обеспечиваться выпла-

та процентов по невыплаченной части основной суммы займа. По мере вы-

плат невыплаченная часть основной суммы займа уменьшается с нарастаю-

щей скоростью.

Вопросы

1. Что представляют собой "простые проценты"?

2. Что представляют собой "сложные проценты"? Почему для нас

так важна концепция сложных процентов?

3. Какие виды личных финансовых решений, связанных с начис-

лением сложных процентов, вам приходилось принимать?

4. Что такое "аннуитет"? Как вы считаете, является ли стоимость

аннуитета меньше или больше стоимости единоразового плате-

жа, полученного в настоящий момент и равного сумме всех бу-

дущих платежей по договору аннуитета?

5. Какой механизм начисления процентов вы предпочли бы для

своего сберегательного счета? Почему?

6. Сравните процедуру вычисления будущей (конечной) стоимо-

сти с процедурой вычисления приведенной стоимости. В чем

разница между этими процедурами?

7. В чем преимущество использования таблиц приведенной стои-

мости по сравнению с соответствующими формулами?

8. Если вам предстоит получить по условиям финансового кон-

тракта определенную сумму денег через пять лет, но вы хотите

продать этот контракт по его приведенной стоимости, какой тип

начисления процентов вы предпочли бы использовать в подсче-

тах? Почему?

9. "Правило 72" предполагает, что сумма на сберегательном счете

удвоится за 12 лет при ежегодном начислении 6% по методу

сложных процентов (или за шесть лет при ежегодном начисле-

Глава 3. Стоимость денег во времени 137

нии 12%). Может ли это правило с успехом применяться на

практике и какова его точность?

10. Уменьшается ли приведенная стоимость денег с линейной ско-

ростью, с нарастающей скоростью или с уменьшающейся скоро-

стью при использовании определенной ставки дисконтирова-

ния? Почему?

11. Уменьшается ли приведенная стоимость денег с линейной скоро-

стью, с нарастающей скоростью или с уменьшающейся скоростью

при изменении продолжительности времени до того момента в бу-

дущем, когда деньги должны быть получены? Почему?

12. Свену Сморгасборду сейчас 35 лет, и он не жалуется на жизнь.

Это дает ему основания полагать, что его вес будет ежегодно

увеличиваться на 3%. Сейчас он весит 200 фунтов. Сколько он

будет весить в 60 лет?

Задачи для самопроверки

1. Проанализируйте следующие данные:

Денежный

поток (ДОЛЛ.)

Год

12 3

W 100 200 200 300

300

X 600

- -

- - - -

1200

Z 200 - 500

300

a) Вычислите будущую стоимость каждого потока по заверше-

нии пяти лет, если процентная ставка, рассчитываемая по

методу сложных процентов, составляет 10% годовых.

b) Вычислите приведенную стоимость каждого потока, если

ставка дисконтирования равняется 14%.

2. Маффин Мегабакс рассматривает два варианта помещения своих

сбережений. В соответствии с первым, каждые шесть месяцев она

будет помещать на свой счет 500 долл. под 7% годовых, начисляе-

мых по методу сложных процентов каждые полгода. В соответст-

вии со вторым вариантом, каждый год она помещает на свой счет

1000 долл. под 7,5% годовых, начисляемых по методу сложных

процентов каждый год. Первоначальный вклад, в соответствии с

первым вариантом, помещается на сберегательный счет Маффин

Мегабакс через шесть месяцев, а в соответствии со вторым вариан-

том — через год (отсчет времени ведется от настоящего момента),

а) Какой окажется будущая (конечная) стоимость вклада по

истечении 10 лет в соответствии с первым вариантом?

Часть II. Оценка активов

b) Какой окажется будущая (конечная) стоимость вклада по

истечении 10 лет в соответствии со вторым вариантом?

c) Каким вариантом следует воспользоваться Маффин Мега-

бакс, если единственное, что ее волнует, — это стоимость

вклада через 10 лет?

d) Изменился бы ваш ответ на предыдущий вопрос, если бы

процентная ставка по второму варианту равнялась 7%?

3. В соответствии с финансовым контрактом вы имеете возмож-

ность получить либо 25 тыс. долл. через шесть лет, либо 50 тыс.

долл.— через двенадцать лет. При какой процентной ставке

(начисляемой ежегодно по методу сложных процентов) оба этих

варианта окажутся для вас равноценными?

4. Эмерсон Каммак планирует приобрести аннуитет, выплаты по

которому составят 7000 долл. в год до конца его дней. По оценке

сотрудников страховой компании Philo Life Insurance Company

(основанной на актуарных расчетах), люди возраста Эмерсона

Каммака могут прожить еще примерно 20 лет. В соответствии с

контрактами на аннуитет, которые Philo Life Insurance Company

заключает со своими клиентами, компания начисляет им 6% го-

довых по методу сложных процентов.

a) Какую сумму придется заплатить Каммаку за аннуитетный

контракт?

b) Сколько пришлось бы ему заплатить компании, если бы про-

центная ставка равнялась 8%?

5. Вы взяли четырехгодичный заем на сумму 10 тыс. долл. под 14%

годовых, начисляемых по методу сложных процентов. Заем вы-

плачивается в рассрочку четырьмя равными долями в конце

каждого года.

a) Какой должна быть величина ежегодного платежа в счет по-

гашения займа, чтобы полностью амортизировать данный за-

ем через четыре года? (Допускается округление до доллара.)

b) Какой будет величина процентных выплат для каждой рав-

ной доли платежа в счет погашения займа? Какой будет ве-

личина выплат по основной сумме займа для каждой равной

доли платежа в счет погашения займа? {Подсказка. В первые

годы основная часть платежа приходится на выплату про-

центов, а в последние — на выплату основной суммы займа.)

6. В соответствии с завещанием вашего покойного дядюшки Вер-

на, в течение следующих 20 лет вы должны получать 1000 долл.

в конце каждого четного года. Первые поступления будут иметь

место через два года, считая с настоящего момента. Какова при-

веденная стоимость этого денежного потока со столь необычной

"картиной", если процентная ставка по счету, с которого выпла-

чиваются завещанные деньги, составляет 10% годовых, рассчи-

Глава 3. Стоимость денег во времени 139

тываемых по методу сложных процентов? (Попытайтесь ре-

шить эту задачу как можно более коротким способом.)

7. Некий банк предлагает вам семимесячный депозитный серти-

фикат (ДС), по которому выплачиваются проценты в размере

7,06% годовых, что обеспечит вам эффективную годовую доход-

ность (APY) в размере 7,25%. Определите, с какой периодично-

стью (ежедневно, еженедельно, ежемесячно или ежеквартально)

начисляются проценты по ДС? Между прочим, сколько вы по-

лучите через семь месяцев (когда истечет срок погашения ваше-

го ДС), если приобретете ДС на 10 тыс. долл.? Иными словами,

на какую сумму банк должен выдать вам чек, если вы закроете

свой счет через семь месяцев?

8. Один из жителей Диллонвейла (штат Огайо) в течение 65 лет

усердно копил сбережения в виде монет достоинством в 1 цент.

Когда он наконец решил, что пришло время потратить эти день-

ги, оказалось, что таких монет у него накопилось 8 миллионов

(т.е. 80 тыс. долл. — примерно 40 мусорных корзинок). В сред-

нем этот гражданин накапливал за год 1230 долл. Какая сумма

накопилась бы на счете этого гражданина за 65 лет, если бы в

конце каждого года он помещал накопленные за год одноценто-

вые монеты на сберегательный счет под 5% годовых, начисляе-

мых по методу сложных процентов? На сколько больше центов

заработал бы наш "скупой рыцарь", если бы помещал их не в му-

сорные корзинки, а на сберегательный счет?

9. Ху Линь недавно получил 10-летний кредит на сумму 50 тыс.

долл. По этому кредиту предполагается выплата 8% годовых,

начисляемых по методу сложных процентов. Выплачивать этот

кредит предполагается в рассрочку (порциями по 7451,47 долл.

в конце каждого из последующих 10 лет).

a) Какая сумма (в долларах) от платежа за первый год относит-

ся к основной выплате?

b) Какие суммарные проценты будут выплачены на протяжении

всего срока действия этого займа? (Подсказка. Чтобы ответить

на этот вопрос, вовсе не обязательно составлять таблицу амор-

тизации займа. Все, что от вас потребуется, сводится к примене-

нию достаточно простых математических операций.)

1. Примеры на определение будущей стоимости.

а) Каким окажется по истечении трех лет начальный депозит

величиной 100 долл. при начислении сложных процентов,

если годовая процентная ставка равняется: I) 100%, II) 10%,

III)

0%?

Часть II. Оценка активов

b) Каким окажется по истечении пяти лет начальный депозит ве-

личиной 500 долл. при начислении сложных процентов (к тому

же в конце каждого года все пять лет производилась выплата

100 долл.), если годовая процентная ставка равняется: I) 10%,

II) 5%,

III)

0%?

c) Каким окажется по истечении шести лет начальный депозит ве-

личиной 500 долл. при начислении сложных процентов (к тому

же в течение пяти лет в конце каждого года производилась выпла-

та 100 долл.), если годовая процентная ставка равняется: I) 10%,

II)

5%,

III)

0%?

d) Каким окажется по истечении трех лет начальный депозит

величиной 100 долл. при ежеквартальном начислении слож-

ных процентов, если годовая процентная ставка равняется:

I) 100%, II) 10%?

e) Почему ваши ответы на вопросы пункта d) отличаются от отве-

тов на вопросы пункта а)?

f) Каким окажется по истечении 10 лет начальный депозит вели-

чиной 100 долл., если годовая процентная ставка, равная 10%,

начисляется (как сложные проценты): I) ежегодно, II) раз в пол-

года, III) ежеквартально, IV) непрерывно?

2. Примеры на определение приведенной стоимости.

a) Какова приведенная стоимость 100 долл., полученных по ис-

течении трех лет, если ставка дисконтирования равняется:

I) 100%, II) 10%, III) 0%?

b) Какова совокупная приведенная стоимость 500 долл., получае-

мых по окончании каждого года в течение последующих трех

лет, если ставка дисконтирования равняется: I) 4%, И) 25%?

c) Вкладчик получает 100 долл. в конце первого года, 500 долл. —

по истечении двух лет и 1000 долл. — по истечении трех лет.

Какова совокупная приведенная стоимость этих выплат, если

ставка дисконтирования равняется: I) 4%, II) 25%?

d) 1000 долл. должны быть получены в конце первого года,

500 долл. — по истечении двух лет и 100 долл. — по истече-

нии трех лет. Какова совокупная приведенная стоимость

этих поступлений, если ставка дисконтирования равняется:

1)4%, И) 25%?

e) Сравните свои решения в пункте с) с решениями в пункте d)

и объясните причину различий в ответах.

3. Джо Эрнандес получил наследство в размере 25 тыс. долл. и на-

мерен заключить аннуитетный контракт, который обеспечил бы

ему надежный доход в течение последующих 12 лет. Ему из-

вестно, что местная ссудосберегательная ассоциация в настоя-

щее время выплачивает своим клиентам 6% годовых. Если бы

он вложил свои сбережения в эту ассоциацию, какой доход