Васильев Н.Б. (ред.) Задачник Кванта. Математика. Части 1 и 2
Подождите немного. Документ загружается.
895.
∗
Площадь сечения куба плоскостью, касающейся вписанной в него сферы, не пре-
восходит половины площади грани куба. Докажите это, когда сечение — а) тре-
угольник; б) четырёхугольник.
в) В случае а) площадь полной поверхности отсекаемого от куба тетраэдра меньше
площади грани куба. Докажите это.
С.Б. Гашков, И.Ф. Шарыгин и В.Н. Дубровский. 47-я московская олимпиада 1984 года. Решение—в№3–1985
896. Четырёхугольник АВСD выпуклый. Окружность с диаметром АВ касается прямой
СD. Докажите, что окружность с диаметром СD касается прямой АВ тогда и
только тогда, когда прямые ВС и АD параллельны.
Н.Б. Васильев и В.Н. Дубровский. Решение—в№4–1985
897. Найдите хотя бы одну такую пару x; y целых чисел, что (x + y)
7
−x
7
−y
7
делится
на 7, а xy(x + y)неделитсяна7. А.П. Савин. Решение—в№4–1985
898. Для нечётных натуральных чисел a<b<c<d выполнены равенства ad = bc ,
a + d =2
k
и b + c =2
m
,гдеk и m — некоторые натуральные числа. Докажите,
что а) a =1;б)длякаждого m 3 существует и единственен набор чисел a, b, c,
d и k , удовлетворяющий этим условиям. А.П. Савин. Решение—в№4–1985
899. Назовём округлением числа х замену его на одно из двух чисел [x]или−[−x].
(Таким образом, при округлении целое число не меняем, а нецелое заменяем на одно
из двух целых чисел, между которыми оно расположено.)
а) Докажите, что в любом равенстве вида
x
1
+ x
2
+ ...+ x
m
= y
1
+ y
2
+ ...+ y
n
все слагаемые можно округлить так, что равенство останется верным.
б) В прямоугольную таблицу записаны некоторые числа, причём суммы по строкам
и суммы по столбцам — целые числа. Докажите, что все числа таблицы можно
округлить так, что суммы ни по строкам, ни по столбцам не изменятся.
в) Пусть теперь суммы по строкам и суммы по столбцам не обязательно целые.
Докажите, что все числа таблицы можно округлить так, что как суммы по строкам,
так и суммы по столбцам будут округлениями соответствующих <бывших> сумм.
А.П. Савин. Решение—в№4–1985
900. Может ли проекция на плоскость выпуклого шестигранника быть а) 8-угольником;
б) 9-угольником?
в*) Какое наибольшее число сторон может иметь проекция выпуклого n-гранника?
М.Д. Ковалёв. Решение—в№4–1985
121
1985 год
901. Биссектрисы AK и BM треугольника ABC пересекаются в точке I . Докажите, что
если IK = IM,тоAC = BC или величина угла ACB равна 60
◦
.
В.Л. Гутенмахер. Решение — в №5–1985
902. Натуральный ряд разбит на несколько арифметических прогрессий. Докажите, что
первый член хотя бы одной из этих прогрессий кратен её разности.
А.В. Келарев. Решение — в №5–1985
903. Существует ли выпуклый многогранник, любое сечение которого плоскостью,
не проходящей ни через одну вершину, является многоугольником с а) чётным;
б) нечётным числом сторон? А.А. Дороговцев, Н.Б. Васильев и В.Н. Дубровский. Решение — в №5–1985
904.
∗
Для каждого натурального числа A = a
n
a
n−1
...a
1
a
0
положим D(A)=a
n
+2a
n−1
+
+...+2
n−1
a
1
+2
n
a
0
. Например, D(1985) = 1+2·9+4·8+8·5=91, D(91) = 9+2·1=11
и D(16) = 1 + 2 ·6=13.
а) Для любого натурального числа A в последовательности A
0
= A, A
1
= D(A
0
),
A
2
= D(A
1
), A
3
= D(A
2
), ... есть такое число A
∗
< 20, что D(A
∗
)=A
∗
.Докажите
это.
б) Найдите A
∗
для A =19
85
. Е.И. Гурвич и А.Л. Фёдоров. Решение — в №5–1985
905.
∗
Уравнение 4x
n
+(x +1)
2
= y
2
в натуральных числах x и y а) не имеет решений
при n = 1; б) имеет по крайней мере два решения при n = 2; в*) имеет бесконечно
много решений при n = 2 ; г*) не имеет решений ни для какого натурального
n>2. Докажите эти утверждения.
Десятиклассник М. Гараев. Решение — в №6–1985 и в статье В.А. Сендерова и А.В. Спивака <Уравнения Пелля> четвёртого номера 2002 года
906. а) Для любого натурального a уравнение xy = a(x + y) имеет по крайней мере три
решения в натуральных числах x и y.Докажитеэто.
б) Найдите количество решений этого уравнения в натуральных числах при a =
=1985. М.В. Славинский. Решение—в№6–1985
907.Если3 A +2 B =180
◦
,тоBC
2
= AB
2
− AB · AC .Докажитеэто.
Т.А. Джортменадзе. Решение—в№6–1985
908.НасторонеАВ треугольника АВ выбрана точка Р , и через неё проведены прямые,
параллельные АВ и АС соответственно, до пересечения со сторонами АС и ВС в
точках M и N соответственно. При каком выборе точки Р отрезок MN имеет
наименьшую длину? Решите задачу для а) треугольника с прямым углом С;
б*) произвольного треугольника АВС . Э.Г. Готман. Решение—в№6–1985
909. а) Докажите существование арифметической прогрессии, состоящей из четырёх
различных членов, каждый из которых — более чем первая степень натурального
числа.
б) Существует ли сколь угодно длинная такая прогрессия?
в) А бесконечно длинная?
Существует ли бесконечная (не постоянная) арифметическая прогрессия, не со-
держащая г) ни одной более чем первой степени натурального числа; д) ни одного
числа, составленного из одинаковых цифр?
Р.Н. Азизян, В. Толстых, А.В. Аляев и Н.Б. Васильев. Решение—в№6–1985
122
910. На сторонах правильного шестиугольника взяты точки А
1
, А
2
, ... , А
6
. Извест-
но, что три попарно не смежные стороны А
1
А
2
, А
3
А
4
и А
5
А
6
шестиугольника
А
1
А
2
А
3
А
4
А
5
А
6
определяют треугольник KLM, вершины которого лежат на продол-
жениях диагоналей правильного шестиугольника. Докажите, что это верно и для
трёх других сторон шестиугольника А
1
А
2
А
3
А
4
А
5
А
6
.
С.Ю. Оревков и В.Н.Дубровский. Решение—в№6–1985
911.НасторонахАВ и СD выпуклого четырёхугольника АВСD выбраны произвольные
точки E и F соответственно. Докажите, что середины отрезков AF, BF, CE и DE
являются вершинами выпуклого четырёхугольника, причём его площадь не зависит
от выбора точек E и F . М.В. Старк. Решение — в №7–1985
912. а) Многочлен x
2
; б) любой многочлен можно представить в виде разности двух
многочленов, каждый из которых является монотонно возрастающей функцией.
Докажите это.
В.П. Пикулин, А.Ю. Вайнтроб и В.Н. Дубровский. Решение — в №7–1985
913. Касательные к описанной вокруг треугольника ABC окружности, проведённые
вточкахА и В, пересекаются в точке Р. Докажите, что прямая РС
а) пересекает сторону АВ вточкеК, делящей её в отношении АС
2
: ВС
2
;
б) симметрична медиане, проведённой из С , относительно биссектрисы угла С
треугольника. Десятиклассник С. Литовченко и В.Н. Дубровский. Решение — в №7–1985
914. На острове Серобуромалин обитают 13 серых, 15 бурых и 17 малиновых хамелеонов.
Если встречаются два хамелеона разного цвета, то они одновременно меняют свой
цвет на третий (серый и бурый становятся оба малиновыми и так далее). Может ли
случиться так, что через некоторое время все хамелеоны будут одного цвета?
В.Г. Ильичёв и Н.Б. Васильев. Решение — в №7–1985
915.
∗
Для любых положительных чисел a, b, c и d докажите неравенство
a
b+c
+
b
c+d
+
+
c
d+a
+
d
a+b
2. В.Г. Ильичёв. Решение — в №7–1985
916. Из середины каждой стороны остроугольного треугольника опущены перпендику-
ляры на две другие стороны. Докажите, что площадь ограниченного ими шести-
угольника равна половине площади треугольника. А.А. Азамов. Решение—в№8–1985
917. а) Чему равна длина максимальной серии идущих подряд несчастливых билетов?
б) Сколько существует таких серий максимальной длины? (Номера билетов меняются
от 000 000 до 999 999. Билет называем счастливым, если сумма первых трёх цифр равна
сумме трёх последних цифр.)
С.Ю. Оревков. Решение—в№8–1985
918.
∗
Радиус вписанной окружности треугольника равен 1, а длины его сторон — целые
числа. Докажите, что эти числа — 3, 4 и 5. В.В. Прасолов. Решение—в№8–1985
919. Докажите а) равенство
π/4
R
0
tg xdx+
1
R
0
arctg xdx=
π
4
.
б*) неравенства 9 <
3
R
0
4
q
x
4
+1dx +
3
R
1
4
√
x
4
− 1 dx < 9,0001. Ю.И. Ионин. Решение—в№8–1985
920. а) Найдите хотя бы одно решение уравнения x
3
+ y
3
+ z
3
= x
2
y
2
z
2
в натуральных
числах.
б*) Уравнение x
3
+ y
3
+ z
3
= nx
2
y
2
z
2
имеет решение в натуральных числах только
при n = 1 или 3. Докажите это и найдите все решения.
Р.А. Мазов и В.Н. Le,hjdcrbq. Решение—в№8–1985
123
921. Известны величины углов A = α и B = β выпуклого четырёхугольника ABCD,
а его удвоенная площадь равна AB ·CD + BC ·AD. Найдите отношения длин сторон
AB : BC : CD : DA ,еслиа)α =5π/12 и β =7π/12; б) α = π/2иβ = π/3?
В.Л. Гутенмахер. Вступительный экзамене на экономический факультет МГУ, 1984 год. Решение — в
№9–1985
922. Уравнение sin
p
x +cos
q
x =1,где p>0иq>0, имеет решение x ∈ (0; π/2) тогда
и только тогда, когда (p −2)(q − 2) < 0илиp = q =2. Докажите это.
А.М. Седлецкий. Решение — в №9–1985
923. Площадь проекции куба с ребром 1 на любую плоскость численно равна длине его
проекции на прямую, перпендикулярную этой плоскости. Докажите это.
С.Л. Табачников. Решение — в №9–1985
924. Каждые две из n точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой,
соединены отрезком, и на всех отрезках расставлены стрелки. Треугольник АВС
с вершинами в данных точках называем ориентированным, если стрелки расста-
влены в направлениях АВ , ВС , СА или АС, СВ и ВА. Например, на рисунке всего
три ориентированных треугольника.
а) Расставьте стрелки, чтобы не возникло ни одного ориентированного треугольни-
ка.
б*) Каково наибольшее возможное число ориентированных треугольников (для ка-
ждого n)? Нарисуйте соответствующие примеры для n =4,5и 6.
Десятиклассник И.И. Цаленчук и В.Н.Дубровский. Решение — в №9–1985
925. На белой плоскости расположена синяя фигура К
0
. Из неё получается новая
синяя фигура К
1
по следующему правилу, применяемому одновременно ко всем
точкам М плоскости: если не менее половины площади круга радиуса 1 с центром
вточкеМ занято синим цветом, то точка М становится синей, а если менее
половины — то белой. На следующем шаге из полученной синей фигуры К
1
по
тому же правилу получается фигура К
2
, затем из неё — фигура К
3
и так далее.
Докажите, что а) для произвольной ограниченной фигуры К
0
, начиная с некоторого
шага, вся плоскость станет белой; б) если К
0
— круг радиуса 100, то это случится
не позже чем через миллион шагов. А.Л. Тоом. Решение — в статье <Кляксы на плоскости> девятого номера 1985 года
926.Еслиx
2
+ y
2
= u
2
+ v
2
=1 и xu + yv =0,то x
2
+ u
2
= y
2
+ v
2
=1 и xy + uv =0.
Докажите это. С.В. Дужин. Решение — в №10–1985
927.
∗
На плоскости дано конечное множество точек, никакие три из которых не лежат
на одной прямой. Проведено несколько отрезков с концами в данных точках. Эти
отрезки разрешено менять: если какие-то два из них, АС и ВD , пересекаются, их
можно стереть и провести отрезки АВ иа)СD;б)ВС . (Если <новый> отрезок
уже проведён, проводить его во второй раз не нужно.) Можно ли несколькими
такими заменами (только по правилу а) или только по правилу б), но не по обоим)
вернуться к исходному набору отрезков?
В.Е. Колосов и Н.Б. Васильев. Решение — в №10–1985. Поправка к решению — на странице 19 одиннадцатого номера 1985 года
928. В кинотеатре N + 1 место. Сначала N человек, имеющие билеты с указанием
мест (в их числе и Игорь), сели на произвольные N мест, не глядя на свои
билеты. Пришедший последним (N + 1)-й зритель хочет занять своё место; если
оно занято,— сгоняет сидящего там, тот поступает так же и так далее, пока
нужное согнанному место не окажется свободным. Какова вероятность того, что
Игорю придётся пересесть? (Другими словами, какую долю среди всех возможных
размещений зрителей составляют невыгодные для Игоря?)
И.Б. Алексеев-Астафьев. Решение — в №10–1985
124
929. Натуральные числа a, b , c, d и e удовлетворяют равенству a
4
+ b
4
+ c
4
+ d
4
= e
4
.
Докажите, что по крайней мере а) три из них чётны; б) три делятся на 5; в) два
делятся на 10. В.Д. Яковлев. Решение — в №10–1985. Комментарий — в задаче М540
930.
∗
Числа от 1 до 1985 разбиты на 6 множеств. Докажите, что хотя бы в одном из них
есть три числа, одно из которых равно сумме двух других, или два числа, одно из
которых вдвое больше другого.
Девятиклассник А.Д. Валиев и В.Н. Дубровский. Решение — в №10–1985
931. В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся сторон AB, BC и CA вточ-
ках C
, A
и B
соответственно. Если AA
= BB
= CC
,тотреугольникABC
равносторонний. Докажите это.
А.Н. Дранишников. Московская городская олимпиада. Решение — в №11–1985
932. В квадратной клетке со стороной 1 м находится анаконда длиной 10 м. Барон
Мюнхгаузен утверждает, что он в любой момент может прострелить её сразу в
6 местах. Не хвастает ли он? (Анаконду можете считать ломаной длины 10, располо-
женной внутри квадрата 1 ×1.)
С.Б. Гашков. Московская городская олимпиада. Решение — в №11–1985
933. 13 рыцарей из k разных кланов, где 1 <k<13, сидят за круглым столом.
Каждый держит золотой или серебряный кубок, причём золотых кубков ровно
k штук. Король Артур приказал своим рыцарям одновременно передать кубки
своим соседям справа, потом сделать то же самое ещё раз и так далее. Докажите,
что найдутся такой момент времени и такие два рыцаря из одного клана, что в
руках у них — золотые кубки.
А.А. Болотов и С.Б. Гашков. Московская городская олимпиада. Решение — в №11–1985
934. В пространстве расположены 2n точек, никакие четыре из которых не лежат
в одной плоскости. Проведены n
2
+1 отрезков с концами в этих точках. Докажите,
что проведённые отрезки образуют а) хотя бы один треугольник; б*) не менее
n треугольников. С.Б. Гашков. Московская городская олимпиада. Решение — в №11–1985
935.
∗
Внутри правильного 2n-угольника с центром О произвольным образом расположен
правильный 2n-угольник с вдвое меньшей стороной. Докажите, что он накрывает
точку О,еслиа) n =2;б) n =3;в) n — любое натуральное число, не равное 1.
С.Б. Гашков. Московская городская олимпиада. Решение — в №11–1985
936.За3n + 1 взвешиваний на чашечных весах без гирь можно выделить самый легкий
и самый тяжёлый из 2n +2 камней, если: а) n =3; б) n — любое натуральное
число. Докажите это. С.В. Фомин. Апрельский Турнир городов 1985 года. Решение — в №12–1985
937. Существует ли такая а) произвольная; б) выпуклая фигура, что ею нельзя накрыть
полукруг радиуса 1, а двумя её экземплярами можно накрыть круг радиуса 1?
Н.Б. Васильев и А.Г. Самосват. Апрельский Турнир городов 1985 года. Решение — в №12–1985
938.
∗
Радиус круга, центр которого — точка O, равномерно вращается, поворачиваясь
каждую секунду на угол величиной 360
◦
/n,гдеn — натуральное число, большее 3.
В начальный момент он занимал положение ОМ
0
, через секунду — положение
ОМ
1
, ещё через 2 секунды — положение ОМ
2
, через 3 секунды после этого —
положение ОМ
3
и так далее, наконец, ещё через n − 1 секунд — положение
ОМ
n−1
.
а) Если n — степень числа 2, то радиусы ОМ
0
, ОМ
1
, ... , ОМ
n−1
делят круг на
n равных секторов. Докажите это.
б) Возможно ли это при других значениях n?
В.В. Произволов. Апрельский Турнир городов 1985 года. Решение — в №12–1985
125
939. В клетки таблицы размером 10 × 10 записали каким-либо образом цифры так, что
каждая цифра встречается 10 раз.
а) Возможно ли, что в каждой строке и в каждом столбце не более 4 различных
цифр?
б*) Докажите, что хотя бы в одной строке или хотя бы в одном столбце не менее
4 различных цифр.
Л.Д. Курляндчик и Н.Н. Константинов. Апрельский Турнир городов 1985 года. Решение — в №12–1985
940.
∗
а) Квадрат разбит на прямоугольники. Назовём цепочкой такое множество этих
прямоугольников, что их проекции на одну из сторон квадрата целиком покрывают
эту сторону без перекрытий (пример изображён на рисунке). Докажите, что любые
два прямоугольника входят в некоторую цепочку.
б) Докажите аналогичное утверждение для куба, разбитого на прямоугольные па-
раллелепипеды (в определении цепочки сторону квадрата нужно заменить на ребро
куба).
в) Верно ли, что любые два параллелепипеда в разбиении куба принадлежат одному
<слою> — множеству параллелепипедов, проекции которых на некоторую грань
заполняют её целиком, не налегая друг на друга?
А.И. Гольберг, В.А. Гурвич и Н.Б. Васильев. Апрельский Турнир городов 1985 года. Решение — в №12–1985
941. Дан правильный (4k +2)-угольник А
0
А
1
...А
4k+1
с центром О. Докажите, что
сумма длин отрезков, высекаемых углом А
k
OА
k+1
на прямых А
1
А
2k
, А
2
А
2k−1
, ... ,
А
k
А
k+1
(на рисунке проиллюстрирован случай k = 2), равна радиусу ОА
0
описанной
окружности (4k + 2)-угольника, если а) k =2; б) k — любое натуральное число.
И.Ф. Шарыгин и В.Н. Дубровский. Всесоюзная олимпиада. Решение — в №1–1986
942.Первые 2n натуральных чисел разбиты на два множества по n чисел в каждом.
Пусть a
1
<a
2
< ... < a
n
— числа первого множества, расположенные в порядке
возрастания, а b
1
>b
2
> ... > b
n
— числа второго множества, расположенные
в порядке убывания. Докажите равенство |a
1
−b
1
|+ |a
2
−b
2
|+ ...+ |a
n
−b
n
| = n
2
.
В.В. Произволов. Всесоюзная олимпиада. Решение — в №1–1986
943. Последовательность a
1
, a
2
, a
3
, ... задана формулами a
2n
= a
n
, a
4n−3
=1,
a
4n−1
= 0 для любого натурального n. Докажите, что эта последовательность
непериодическая. Ю.В. Нестеренко.
Всесоюзная олимпиада. Решение — в №1–1986. Статья Н.Б.Васильева и В.Л. Гутенмахера <Кривые дракона> второго номера 1970 года
944.
∗
Правильный шестиугольник разбит на 24 равных треугольника, как
показано на рисунке. Во всех 19 узлах образовавшейся фигуры за-
писаны различные числа. Докажите, что среди 24 треугольников
разбиения найдутся 7 таких, в вершинах которых тройки чисел за-
писаны в порядке возрастания против часовой стрелки.
А.А. Берзиньш. Всесоюзная олимпиада. Решение — в №1–1986
945.
∗
Для любой строго возрастающей неограниченной последовательности положитель-
ных чисел a
1
, a
2
, a
3
, ... для всех достаточно больших k сумма
a
1
a
2
+
a
2
a
3
+ ...+
a
k
a
k+1
меньше числа а) k − 1; б) k − 1985. Докажите это.
Л.Д. Курляндчик. Всесоюзная олимпиада. Решение — в №1–1986
946. Две параболы расположены на плоскости так, что их оси взаимно перпендикулярны
и параболы пересекаются в четырёх точках. Докажите, что эти четыре точки лежат
на одной окружности. Л.П. Купцов. XI Всероссийская олимпиада. Решение — в №2–1986
126
947. На доске написаны числа 1,
1
2
,
1
3
,
1
4
,
1
5
,
1
6
,
1
7
,
1
8
,
1
9
,
1
10
,
1
11
и
1
12
.
а) Докажите, что как бы мы ни расстaвляли знаки <+> и < −>междуэтими
числами, выражение не будет равно 0.
б) Какое наименьшее количество написанных чисел необходимо стереть с доски
для того, чтобы после некоторой расстановки <+> и <−> между оставшимися
числами значение выражения равнялось 0?
С.В. Резниченко. XI Всероссийская олимпиада. Решение — в №2–1986
948. Если равносторонний треугольник покрыт пятью меньшими равными равносторон-
ними треугольниками, то его можно покрыть четырьмя такими треугольниками.
Докажите это. (Треугольник рассматриваем вместе с его внутренней областью; тре-
угольники разрешено передвигать.)
В.В. Произволов. XI Всероссийская олимпиада. Решение — в №2–1986
949. Даны 1985 гирь с массами 1 г, 2 г, 3 г, ... , 1984 г, 1985 г. Можно ли их разделить
на пять групп так, чтобы и количество гирь, и сумма масс были одинаковы во всех
пяти группах? Е.П. Ерошенков. XI Всероссийская олимпиада. Решение — в №2–1986
950. Двадцать пять коротышек хотят получить по единичному квадратику в квадрате
размером 5 × 5. Каждый коротышка находится в ссоре не более чем с тремя
другими коротышками. Докажите, что можно распределить участки таким образом,
чтобы участки никаких двух поссорившихся коротышек не были бы соседними.
(Соседними называем участки, имеющие общую сторону.)
С.В. Конягин. XI Всероссийская олимпиада. Решение — в №2–1986
951. Длины всех сторон выпуклого шестиугольника ABCDEF равны 1. Докажите, что
радиус описанной окружности хотя бы одного из треугольников АСЕ и BDF не
меньше 1. Е. Хорват (Венгрия) и В.Н. Дубровский. Решение — в №3–1986
952. а) Приведите пример числа а, удовлетворяющего равенству {а} + {
1
а
} =1.
б) Любое такое число а иррационально. Докажите это.
Здесь фигурные скобки обозначают дробную часть данного числа, то есть разность между
самим числом и его целой частью. Целая часть данного числа — это наибольшее целое
число, не превосходящее данного числа.
И. Варга (Румыния). Решение — в №3–1986
953. На плоскости даны 6 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой.
Проводятся все 15 прямых, соединяющих попарно эти точки. Каково наибольшее
число точек (отличных от данных), в которых пересекаются три из этих 15 прямых?
В.В. Прасолов. Решение — в №3–1986
954. а) В треугольник вписан прямоугольник со сторонами a и b так, что все его
вершины лежат на сторонах треугольника. Пусть a
1
и b
1
— длины проекций
треугольника на прямые, параллельные сторонам a и b соответственно. Докажите
равенство
a
a
1
+
b
b
1
=1.
б) В тетраэдр вписан прямоугольный параллелепипед со сторонами a , b и c так,
что все его вершины лежат на поверхности тетраэдра. Пусть a
1
, b
1
и c
1
—длины
проекций треугольника на прямые, параллельные рёбрам a , b и c соответственно.
Докажите равенство
a
a
1
+
b
b
1
+
c
c
1
=1. В.Н. Дубровский. Решение — в №3–1986
955.
∗
За круглым столом сидят n участников <безумного чаепития>. Каждую минуту
одна пара соседей меняется местами. Через какое наименьшее время все участники
чаепития могут оказаться сидящими в обратном порядке (так что левые соседи у
каждого станут правыми и наоборот)? Решите эту задачу для а) n =4, 5 или 6;
б) любого натурального n 3. В.Б. Алексеев и В.Н.Дубровский. Решение — в №3–1986
127
956. На плоскости проведены четыре окружности одинакового радиуса так, что три
из них проходят через точку А и три — через точку В. Докажите, что четыре
точки их попарного пересечения, отличные от А и В,— вершины параллелограмма.
Десятиклассники В. Капович и И. Капович, В.Н. Дубровский. Решение — в №3–1986
957. Из любых 1985 различных натуральных чисел, все простые делители которых
содержатся среди первых 9 простых чисел 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 и 23, можно
выбрать четыре числа, произведение которых — четвёртая степень целого числа.
Докажите это. Н.Б. Васильев и Д.Б. Фукс. XXVI Международная олимпиада. Решение — в №4–1986
958.
∗
Пусть a
1
<a
2
< ... < a
n
— неотрицательные целые числа. Докажите, что у
многочлена (1+x)
a
1
+(1+x)
a
2
+...+(1+x)
a
n
не меньше нечётных коэффициентов,
чем у многочлена (1 + x)
a
1
.
Н.Б. Васильев и Д.Б. Фукс. XXVI Международная олимпиада. Решение — в №4–1986
959.
∗
В стране между некоторыми парами городов установлено авиационное сообщение.
Докажите, что можно закрыть не более чем 1/(k − 1) часть авиалиний таким
образом, что среди любых k городов найдутся два, не соединённые между собой
авиалинией, если а) k =3;б) k — натуральное число, k>1.
А.А. Разборов. Решение — в №4–1986
960.
∗
Если разность кубов двух последовательных натуральных чисел — квадрат неко-
торого натурального числа n,тоn представимо в виде суммы квадратов двух
последовательных натуральных чисел.
а) Докажите это утверждение.
б) Вот пример таких чисел: 8
3
− 7
3
=(2
2
+3
2
)
2
; приведите ещё хотя бы один
пример.
в) Докажите, что таких примеров бесконечно много. Р. Лайнесс (Великобритания),
А.П. Савин и В.Н. Дубровский. Решение — в №4–1986 и в статье В.А. Сендерова и А.В. Спивака <Уравнения Пелля> третьего номера 2002 года
128
1986 год
961.НасторонеAB квадрата ABCD взята точка E,анасторонеCD —точкаF, причём
AE : EB =1/2иCF = CD. Подобны ли треугольники AKE и CFL ?
А.П. Савин, В.Н. Дубровский и Н.А.Паравян. Решение — в №5–1986
962. Ни для какого многочлена P с целыми коэффициентами не существуют такие
не равные одно другому целые числа x
1
, x
2
, ... , x
n
,чтоn>2иx
2
= P(x
1
),
x
3
= P(x
2
), ... , x
n
= P(x
n−1
), x
1
= P(x
n
). Докажите это.
Д. Раду (Румыния). Решение — в №5–1986
963. Каждая сторона шестиугольника параллельна противоположной
его стороне. Докажите, что отрезки, соединяющие середины
противоположных сторон, пересекаются в одной точке.
Десятиклассник Т. Газарян. Решение — в №5–1986
964. В любой последовательности a
1
, a
2
, a
3
, ... различных натуральных чисел,
удовлетворяющей для любого натурального n неравенству а
n
< 100n , есть число,
в десятичной записи которого встречается а) цифра 1; б) 1986 единиц подряд.
Докажите это. А.А. Столин. Решение — в №5–1986
965. Дано шесть чисел а
1
, а
2
, ... , а
6
. Чтобы подсчитать <в лоб>сумму их попарных
произведений а
1
а
2
+ а
1
а
3
+ ...+ а
5
а
6
, нужно затратить 15 умножений и 14 сло-
жений. Научитесь находить сумму этих чисел и — одновременно — суммы их
произведений по два, по три, по четыре и по пять, затратив всего 15 сложений и
14 умножений. Н.Б. Васильев. Решение — в №5–1986
966. Любой треугольник можно разрезать отрезками на четыре куска, из которых можно
составить два подобных ему треугольника. Докажите это.
Л.Д. Курляндчик и Н.Б. Васильев. Решение — в №6–1986
967. Обозначим через σ(n) сумму всех натуральных делителей числа n (включая 1 и n),
а через (n) — количество чисел, не превосходящих числа n и взаимно простых
с n . Докажите для любого натурального n неравенство σ(n)+(n) 2n.
В.Ф. Лев. Решение — в №6–1986
968. Три многоугольника в пространстве расположены так, что их плоскости пересека-
ются в одной точке О .
а) Докажите существование плоскости, площади проекций на которую этих трёх
многоугольников равны.
б) Сколько существует таких плоскостей, проходящих через точку О?
Н.М. Седракян и А. Онукян. Решение — в №6–1986
969. Для любых положительных чисел a , b и c докажите неравенство
a
3
a
2
+ab+b
2
+
+
b
3
b
2
+bc+c
2
+
c
3
c
2
+ca+a
2
a+b+c
3
. Г.Г. Алиханов. Решение — в №6–1986
970. На начальной остановке в автобус вошли 32 пассажира, которым нужно ехать до
32 разных остановок, расположенных на расстоянии 1 км друг от друга. Водитель
решил провести голосование: какие остановки отменить, а какие сохранить. Он
называет остановки в некотором порядке. Пассажир голосует за отмену остановки,
если он собирается ехать дальше, против, если он собирается выходить на этой
остановке, и воздерживается, если — раньше (не учитывая, что при дальнейшем
голосовании могут отменить и его остановку). Если за отмену подано больше
голосов, чем против, остановку отменяют, а те, кто хотел на ней выходить, решают
ехать до ближайшей к ней из ещё не отменённых (если таких две — до первой
из них). Какое а) наименьшее; б) наибольшее число остановок может сохраниться
129
в зависимости от порядка, в котором их называет водитель?
С.Л. Елисеев. Решение — в №6–1986
971. Восемь волейбольных команд провели турнир в один круг (каждая сыграла с каж-
дой один раз). Докажите, что можно выбрать из них такие команды A, B, C
и D,чтоA выиграла у B , C и D, команда B выиграла у C и D,аC выиграла
у D. А.Т. Украинцев. Решение — в №7–1986
972. Последовательность x
1
, x
2
, x
3
, ... задана условиями x
1
=1/2иx
n+1
= x
2
n
+ x
n
для любого натурального n .Найдите
1
1+x
1
+
1
1+x
2
+ ...+
1
1+x
100
.
А.В. Анджанс. Решение — в №7–1986
973. AH — высота, а BE — биссектриса треугольника ABC. Докажите, что если
BEA =45
◦
,тои EHC =45
◦
. И.Ф. Шарыгин и В.Н.Дубровский. Решение — в №7–1986
974. Двое играют в шахматы с часами. После того, как оба сделали по 40 ходов, часы
обоих показывали 2 часа 30 минут.
а) Докажите, что в партии был момент, когда часы одного обгоняли часы другого
более, чем на 1 минуту 50 секунд.
б) Можно ли утверждать, что в некоторый момент разница показаний часов была
не менее 2 минут? С.В. Фомин. Решение — в №7–1986
975. На доске размером n ×n стоят 20 разных фигур, каждая из которых с любого поля
бьёт не более 20 полей.
а) Докажите, что при n = 100 эти фигуры можно передвинуть так, чтобы они
не били друг друга.
б) Пусть дополнительно известно, что если фигуру сдвинуть, то множество полей,
которые она бьёт, тоже параллельно сдвинется (на тот же вектор). Докажите,
что при n = 30 эти 20 фигур можно передвинуть так, чтобы они не били друг
друга. А.К. Толпыго. Решение — в №7–1986
976.Из вершины A квадрата ABCD проведены два луча, образующие между собой
угол величиной 45
◦
. Один пересекает сторону ВС вточкеЕ ,адиагональВD —
вточкеР , другой — сторону СD вточке F , а диагональ ВD —вточкеQ.
Докажите, что площадь треугольника АЕF вдвое больше площади треугольника
АРQ. Э.Г. Готман. Решение—в№8–1986
977. Можно ли с помощью операций сложения, вычитания и умножения из мночленов
f и g получить x ,еслиа)f = x
2
+ x и g = x
2
+2; б) f = x
2
+ x и g = x
2
− 2;
в) f =2x
2
+ x и g =2x;г)f =2x
2
+ x и g = x
2
? С.И. Кублановский. Решение—в№8–1986
978. Можно ли в квадрате со стороной 1 расположить два непересекающихся равносто-
ронних треугольника со сторонами больше
√
2/3?
Е.А. Карлов и И.К. Дмитриев (Болгария). Решение—в№8–1986
979.Пусть k и n — натуральные числа, 2 k n. Назовём набор k положительных
чисел a
1
, a
2
, ... , a
k
, меньших 1, исключительным, если для любого разбиения
n = n
1
+n
2
+...+n
k
числа n на неотрицательные слагаемые хотя бы одно из чисел
a
j
n
j
,где 1 j n ,— целое.
а) Для каких k и n существуют исключительные наборы?
б) Каковы эти наборы? Е.А. Горин. Решение—в№8–1986
130