Васильев Н.Б. (ред.) Задачник Кванта. Математика. Части 1 и 2
Подождите немного. Документ загружается.
980. Внутри выпуклого а) многоугольника; б) многогранника A
1
A
2
...A
n
взята точка O .
Докажите, что среди n(n −1)/2угловA
j
OA
k
,где1 j<k n, не менее чем n −1
имеют величину от 90
◦
до 180
◦
. В.Г. Болтянский и В.Н.Дубровский. Решение—в№8–1986
981.Число 11 ... 1 (1986 единиц) имеет по крайней мере а) 8; б) 28 различных
делителей. Докажите это. Л.Д. Курляндчик. Решение — в №9–1986
982.На сторонах АВ, ВС и СА треугольника АВС построены во внешнюю сторону
квадраты АВВ
1
А
2
, ВСC
1
B
2
и САА
1
С
2
. Докажите, что перпендикуляры к отрезкам
А1А2, В
1
В
2
и С
1
С
2
, восставленные в их серединах, пересекаются в одной точке.
Восьмиклассник Н. Азамов и В.Н. Дубровский. Решение — в №9–1986
983. В турнире с участием 16 теннисистов каждые двое играют одну партию.
а) Приведите пример такого турнира, 10 любых участников которого можно рас-
ставить так, чтобы каждый выиграл у своего левого соседа.
б) Докажите, что если условие пункта а) выполнено, то и любых 11 участников
можно расставить по кругу таким образом. К.П. Кохась и Н.Б.Васильев. Решение — в №9–1986
984. Через произвольную точку К квадрата АВСD проведена прямая, пересекающая его
противоположные стороны АВ и СD вточках Р и Q. Докажите, что отличная
от К точка пересечения окружностей, проходящей через точки К, В и Q ,сокруж-
ностью, проходящей через точки К, D и P, лежит на диагонали ВD.
В.Н. Дубровский. Решение — в №9–1986
985. Углом между двумя прямыми, пересекающимися в точке O , называем угол между
их лучами с вершиной O, не превосходящий 90
◦
. Сколькими способами через
точку O в пространстве можно провести три прямые l
1
, l
2
и l
3
так, чтобы углы
между l
2
и l
3
, l
3
и l
1
, l
1
и l
2
соответственно равнялись данным величинам α
1
,
α
2
и α
3
? (Две тройки прямых не различаем, если они конгруэнтны, то есть
если поворотами вокруг осей и симметриями относительно плоскостей можно одну
тройку перевести в другую.)
Предостережение. Ответ зависит от величин α
1
, α
2
и α
3
.Например,дляα
1
= α
2
=
= α
3
=30
◦
он не такой, как для α
1
= α
2
= α
3
=70
◦
.
А.Б. Гончаров и В.Н. Дубровский. Решение — в №9–1986
986. Для любых положительных чисел a и b докажите неравенство 2
√
a +3
3
√
b 5
5
√
ab.
Н.Б. Васильев. Решение — в №10–1986
987. В турнире участвуют 2m команд. В первом туре встретились некоторые m пар
команд, во втором — другие m пар. Докажите, что после этого можно выбрать
m команд, никакие две из которых ещё не играли между собой.
М. Бона (ученик гимназии, Венгрия). Решение — в №10–1986
988.
∗
Из точки O на плоскости проведены n векторов единичной длины. Докажите, что
если для некоторого натурального числа k ,где2k<n, по обе стороны от каждой
прямой, проходящей через O , лежит не менее k векторов, то длина суммы всех
векторов не превосходит n −2k . П.А. Калугин и В.В. Произволов. Решение — в №10–1986
989. Найдите все такие натуральные числа a , для которых число a − 1 является
суммой а) двух; б*) трёх делителей числа a (не обязательно различных; множеству
делителей принадлежит и 1).
в*) Для любого n существует лишь конечное число таких натуральных a,что a−1
является суммой n натуральных делителей числа a (не обязательно различных).
В.В. Батырев и Н.Б. Васильев. Решение — в №10–1986. Комментарий — в статье <Разбиение единицы> седьмого номера 1987 года
131
990. В пространстве заданы три попарно скрещивающиеся прямые, не параллельные
одной плоскости. Сколько существует различных параллелепипедов, у которых эти
прямые
а) проходят по рёбрам?
б) проходят по рёбрам и диагоналям граней?
в) содержат 6 вершин параллелепипеда?
В.Н. Дубровский. Решение — в №10–1986
991. CH — высота, а CK — медиана треугольника ABC .НасторонеAB выбраны точки
E и F так, что ACE = BCF ,иналучиCE и CF опущены перпендикуляры AM
и BN . Докажите, что точки M, H , K и N лежат на одной окружности.
Журнал <Математика> (Болгария). Решение — в №11–1986
992. Среди 90 выпускников одной математической гимназии у каждого не менее 10 дру-
зей. Докажите, что любой выпускник может пригласить в гости трёх других так,
что среди четырёх собравшихся у каждого будет не менее двух друзей.
Журнал <Математика> (Болгария). Решение — в №11–1986
993. а) Найдите 11 последовательных натуральных чисел, сумма квадратов которых —
квадрат натурального числа.
б*) При 2 <n<11 не существует n последовательных натуральных чисел, сумма
квадратов которых — квадрат. Докажите это.
Журнал <Математика> (Болгария). Решение — в №11–1986
994.
∗
При каком наибольшем k неравенство a
4
+ b
4
+ c
4
+ abc(a + b +c) k(ab + bc + ca)
2
верно при всех значениях a, b и c? Журнал <Математика> (Болгария). Решение — в №11–1986
995. Функция f определена и непрерывна на всём множестве вещественных чисел и
удовлетворяет равенству f(f(x)) = f(x)+x для любого x .
a) Найдите две такие функции f .
б*) Докажите, что других таких функций нет.
Журнал <Математика> (Болгария). Решение — в №11–1986
996. Два одинаковых квадрата в пересечении образуют восьмиугольник. Стороны одного
квадрата синие, другого — красные. Докажите равенство суммы длин синих сторон
восьмиугольника сумме длин его красных сторон.
В.В. Произволов. XX Всесоюзная олимпиада. Решение — в №12–1986
997. Сумма
P
1 m<n 1996
1
mn
не является целым числом. Докажите это.
Д. Митькин. XX Всесоюзная олимпиада. Решение — в №12–1986
998.
∗
Рассмотрим все тетраэдры AXBY , описанные около данной сферы. Докажите, что
при фиксированных точках A и B сумма углов пространственного четырёхугольни-
ка ABCD, то есть сумма величин углов AXB + XBY + BYA + YAX, не зависит
от выбора точек X и Y . И.Ф. Шарыгин. XX Всесоюзная олимпиада. Решение — в №12–1986
999.
∗
а) Для любых положительных чисел a
1
, a
2
, ... , a
n
докажите неравенство
1
a
1
+
2
a
1
+ a
2
+ ...+
n
a
1
+ a
2
+ ...+ a
n
< 4
1
a
1
+
1
a
2
+ ...+
1
a
n
.
Константу 4 в правой части неравенства б) можно заменить на 2; в) нельзя заменить
числом, меньшим 2. Докажите это.
Л.Д. Курляндчик и А.С. Меркурьев. XX Всесоюзная олимпиада. Решение — в №12–1986
132
1000.ВдугуAВ вписана ломаная АМВ, состоящая из двух отрезков, причём АМ > МВ .
Докажите, что основание перпендикуляра КН, опущенного из середины К дуги
АВ на отрезок АМ , делит ломаную пополам: AН = HM + MB . Архимед (Сиракузы)
и А.А. Егоров. Решение — в №12–1986. Статья А.В. Спивака <Ещё одно решение задачи М1000> на странице 22 третьего номера 2008 года
1001. В куче 1001 камень. Её произвольно делим на две кучи, подсчитываем количества
камней в них и записываем произведение этих двух чисел. Затем с одной из этих
куч (в которой больше одного камня) проделываем ту же операцию: делим на две
и записываем произведение чисел камней в двух вновь образованных кучах. Затем
ту же операцию повторяем с одной из трёх полученных куч и так далее, пока
во всех кучах не станет по одному камню. Чему равна сумма 1000 записанных
произведений? А.С. Меркурьев. Санкт-Петербургская олимпиада 1986 года. Решение — в №1–1987
1002. а*) Рассеянный математик, забыв трёхзначный код своего подъезда, нажимает
кнопки с цифрами 0, 1, 2, ... , 8, 9 по одной в секунду. Дверь откроется, если три
цифры кода в нужном порядке будут набраны подряд. Математик уверен, что даже
в случае крайнего невезениям (если нужная комбинация встретится последней)
он сможет войти в подъезд не позже чем через 1002 секунды (то есть 16 минут
42 секунды). Прав ли он? Как он должен действовать, чтобы попасть в дом
за наименьшее время?
Ответьте на аналогичный вопрос, если исправны б) только кнопки с цифрами 1,
2 и 3, а никакие другие цифры в код не входят; в*) все кнопки, но математик
помнит, что все три цифры кода различны.
Московская олимпиада 1986 года. Статья М.Л.Гервера <Трёхзначные числа и орграфы> второго номера 1987 года
1003. В треугольнике ABC проведены высоты AA
, BB
и CC
. Докажите равенства
AB
· BC
· CA
= AC
·BA
·CB
= A
B
·B
C
· C
A
.
С.А. Генкин. Санкт-Петербургская олимпиада 1986 года. Решение — в №1–1987
1004. Через вершину A треугольника ABC ,вкоторомAB = AC , проводятся всевозмож-
ные прямые. Докажите, что
а) на каждой из них лежит не более чем одна точка M, отличная от вершины
треугольника и такая, что ABM = ACM ;
б) существует не более пяти таких прямых, на которых нет ни одной такой
точки M. О.Р. Мусин. Всесоюзная олимпиада 1986 года. Решение — в №1–1987
1005. Клетки квадратной таблицы размером n × n ,гдеn>2, заполняем числами ±1
по следующим правилам:
• во все граничные клетки таблицы пишем числа −1;
• число, помещаемое в очередную незаполненную клетку таблицы, равно произ-
ведению ближайших к этой клетке чисел, расположенных по разные стороны
от неё и лежащих или в одной строке, или в одном столбце с ней. Так делаем
до тех пор, пока все клетки таблицы не будут заполнены.
Какое а) наибольшее; б) наименьшее количество единиц может получиться в табли-
це? Н.Х.Агаханов. Всесоюзная олимпиада 1986 года. Решение — в №1–1987
1006. Через две вершины треугольника проведены две прямые, разбивающие его на три
треугольника и четырёхугольник.
а) Могут ли площади всех четырёх частей быть равными?
б) Какие три из этих частей могут иметь равные площади? Во сколько раз
отличается от них площадь четвёртой части? Г.А. Гальперин и А.П.Савин. Решение — в №2–1987
133
1007. Треугольник со сторонами a
1
, b
1
и c
1
подобен треугольнику со сторонами a
2
, b
2
и c
2
тогда и только тогда, когда
q
a
1
a
2
+
q
b
1
b
2
+
q
c
1
c
2
=
q
(a
1
+ b
1
+ c
1
)(a
2
+ b
2
+ c
2
).
Докажите это. В.П. Чичин и В.Н.Дубровский. Решение — в №2–1987
1008. Лестница состоит из 2n + 1 ступеней. На n нижних ступенях лежит по одному
камню. Двое по очереди таскают камни. Первый может переложить любой камень
вверх на первую свободную ступеньку, а второй — переложить камень на одну
ступеньку вниз, если она свободна. Цель первого — положить камень на верхнюю
ступеньку. Может ли второй ему помешать? С.Л. Елисеев. Решение — в №2–1987
1009. Биссектриса угла А параллелограмма АВСD пересекает прямые ВС и СD вточках
К и L соответственно. Докажите, что центр окружности, проведённой через точки
С, К и L, лежит на окружности, проведённой через точки В, С и D .
И.Ф. Шарыгин. Решение — в №2–1987
1010. Последовательность r
1
, r
2
, r
3
, ... определена условиями r
1
=2, r
n+1
=
= r
1
r
2
...r
n
+ 1. Например, r
2
=3, r
3
=7, r
4
=43 и r
5
=1807.
а) Докажите для любого натурального n неравенство
1
r
1
+
1
r
2
+ ...+
1
r
n
< 1.
б*) Пусть n натуральных чисел таковы, что сумма их обратных величин меньше 1.
Докажите, что эта сумма не превышает
1
r
1
+
1
r
2
+ ...+
1
r
n
.
в*)
Известные нам доказательства опираются на следующую лемму. Если среди всех
наборов (α
1
,α
2
,... ,α
n
) вещественных чисел, удовлетворяющих равенству α
1
+α
2
+
+ ...+ α
n
= 1, неравенствам α
1
α
2
... α
n
0 и неравенствам α
1
α
2
...α
k
α
k+1
+ α
k+2
+ ...+ α
n
,где1 k<n, выбран тот, для которого величина α
n
наименьшая, то α
k
=1/r
k
при 1 k<n и α
n
=1/(r
n
− 1) . Докажите её.
О.Т. Ижболдин и
Л.Д. Курляндчик. Статья <Разбиение единицы> седьмого номера 1987 года. Комментарий — в статье А. Гейна <На пути к решению> седьмого номера
1978 года
1011. Для любых n положительных чисел a
1
a
2
... a
n
докажите неравенства
а) a
2
1
−a
2
2
+ a
2
3
(a
1
− a
2
+ a
3
)
2
;
б) a
2
1
− a
2
2
+ a
2
3
−a
2
4
(a
1
− a
2
+ a
3
− a
4
)
2
;
в) a
2
1
−a
2
2
+...+(−1)
n−2
a
2
n−1
+(−1)
n−1
a
2
n
(a
1
−a
2
+...+(−1)
n−2
a
n−1
+(−1)
n−1
a
n
)
2
.
Л.Д. Курляндчик и Н.Б. Васильев. Решение—в№3–1987
1012. а) На плоскости можно расположить несколько непересекающихся кругов так,
чтобы каждый касался ровно 5 других. Докажите это.
б) Число 5 в предыдущем пункте нельзя заменить на 6. Докажите это.
Д.В. Фомин и В.Н. Дубровский. Решение — в №3–1987; иллюстрация — на первой странице обложки того же номера
1013.НасторонахAВ и ВС треугольника АВС взяты точки М и N соответственно. Три
параллельные прямые, проходящие через точки M, B и N, пересекают основание
АС вточкахК, D и L. Докажите, что площадь трапеции (или параллелограмма)
KLMN не больше площади хотя бы одного из треугольников ABD и DBC .
В.В. Рождественский и В.Н. Дубровский. Решение—в№3–1987
1014.Пустьа
1
, а
2
, ... , а
n
— попарно взаимно простые натуральные числа. Докажите,
что существует бесконечно много таких натуральных b, что числа а
1
+ b, а
2
+ b,
... , а
n
+ b тоже попарно взаимно просты. В.Ф. Лев и Н.Б. Васильев. Решение—в№3–1987
1015. Можно ли разложить на множители с целыми коэффициентами многочлен х
4
+
+ х
3
+ х
2
+ х +12? С.Л. Манукян и Н.Б. Васильев. Решение—в№4–1987
134
1016. Окружность с центром O вписана в многоугольник. Р — центр масс этого много-
угольника, K — центр масс его контура. Докажите, что точки Р, О и К лежат
на одной прямой, причём РО =2РК. (При определении точки Р мы рассматриваем
многоугольник как однородную пластину, а при определении точки К — как контур из од-
нородной проволоки.)
И.З. Вайнштейн. Решение—в№4–1987
1017.
∗
Каждой вершине правильного пятиугольника приписано некоторое целое число.
Сумма всех пяти чисел положительна. Если трём последовательным вершинам
приписаны числа х, y, z, причём y<0, то эти числа заменяем соответственно
на х + y, −y и z + y. Такие операции выполняем, пока хотя бы одно из пяти
чисел отрицательно. Обязательно ли этот процесс закончится через конечное число
шагов? А.П.Савин. XXVII международная олимпиада. Решение—в№4–1987
1018.Пусть A и В — соседние вершины правильного n-угольника с центром О .Тре-
угольник ХYZ конгруэнтен треугольнику ОАВ и вначале совпадает с ним, а затем
движется в плоскости n-угольника так, что точки Y и Z остаются на контуре, а
X — внутри n-угольника. Какую фигуру опишет точка X ,когдаY и Z совершат
полный оборот по границе n -угольника?
В.Н. Дубровский. XXVII международная олимпиада. Решение—в№4–1987
1019. На листе клетчатой бумаги отмечено некоторое конечное множество узлов (точек
пересечения линий сетки). Докажите, что всегда можно окрасить некоторые точки
этого множества в белый цвет, а остальные — в красный так, чтобы на каждой
линии сетки количество белых узлов отличалось от количества красных узлов
не более чем на 1. А.П. Савин. Решение—в№4–1987
1020.
∗
На сфере радиуса 1 проведена а) кривая, длина которой меньше π; б) замкнутая
кривая, длина которой меньше 2π. Докажите существование плоскости, проходя-
щей через центр сферы и не пересекающей проведённой кривой. (Можете считать,
что кривая состоит из нескольких дуг больших кругов.)
В.В. Прасолов, В.Н. Дубровский и Г.А. Гальперин. Решение—в№4–1987
135
1987 год
1021. Альпинист хочет подняться на скалу высотой 1000 м. После ночёвки в лагере
у подножия скалы он может подниматься, навешивая верёвку, со скоростью 40 ме-
тров в час, а после холодной ночёвки на скале — 30 метров в час. По готовой
верёвке он поднимается со скоростью 400 метров в час. За сколько дней он может
достичь вершины, если будет работать на скале (включая подъём по верёвке) 6 ча-
сов в день? (Временем спуска и других операций пренебрегите.)
Н.Б. Васильев. Решение — в №5–1987
1467
8532
1022. Первые 8 натуральных чисел можно расставить в виде таблицы
из двух строк и четырёх столбцов так, что сумма чисел верхней
строки равна сумме чисел нижней строки, а суммы чисел в столб-
цах также равны между собой. Можно ли расставить подобным
образом первые а) десять; б) двенадцать натуральных чисел?
в) При каких натуральных n можно расставить таким образом числа от 1 до 2n?
М.И. Штеренберг. Решение — в №5–1987
1023. Среди любых ли 100 треугольников найдётся такой, который можно целиком
покрыть остальными 99? Г.А. Гуревич. Решение — в №5–1987
1024.
∗
Для треугольника с углами α
1
, β
1
и γ
1
и треугольника с углами α
2
, β
2
и γ
2
докажите неравенство
cos α
1
sin α
2
+
cos β
1
sin β
2
+
cos γ
1
sin γ
2
ctg α
1
+ctgβ
1
+ctgγ
1
.
Р.П. Ушаков. Решение — в №5–1987
1025.
∗
Две прямые, проведённые через одну и другую точку пересечения продолжений
противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, разрезают его на четыре
меньших четырёхугольника. Докажите, что если в два из них, не имеющие общей
стороны, можно вписать окружности, то и в исходный четырёхугольник можно
вписать окружность. И.Ф. Шарыгин. Решение — в №5–1987
1026. а) Пять равных дуг AB, BC , CD, DE и EA расположены так, что каждая делится
соседними на три равные части, как изображено на рисунке. Найдите величины дуг
(в градусах). б) Тот же вопрос для <розетки> из m равных дуг, каждая из которых
делится соседними на три равные части. А.В. Швецов. Решение—в№6–1987
1027. Число 1985!! + 1986!! делится на 1987. Докажите это. Через n!! обозначаем произ-
ведение всех натуральных чисел, не превосходящих n и имеющих ту же чётность, то есть
n!! = n(n −2)(n −4) ...
В.В. Произволов. Решение—в№6–1987
1028. а) На плоскости заданы две пересекающиеся прямые, и на них отмечено по одной
точке (D и E ). Постройте треугольник ABC, биссектрисы CD и AE которого лежат
на данных прямых, а их основания — данные точки D и E.
б*) Если CDE =30
◦
, то величина хотя бы одного из углов треугольника ABC
равна 60
◦
или 120
◦
.Докажитеэто.
Десятиклассник М.А. Волчкевич (Москва). Решение—в№6–1987
1029.Средиn членов арифметической прогрессии удалось выбрать k членов, образующих
возрастающую геометрическую прогрессию. Докажите неравенство n 2
k−1
.
В.Ф. Лев. Решение—в№6–1987
1030.
∗
Для выпуклого многогранника M обозначим через S(M) сумму площадей его
граней, через P(M) — сумму произведений длин его рёбер на величины соответ-
ствующих им внешних углов многогранника. (Внешний угол при данном ребре —
это угол между перпендикулярами к граням, примыкающим к ребру, направленны-
ми во внешнюю область многогранника; сумма внешнего угла и соответствующего
136
двугранного угла равна 180
◦
.) Если выпуклый многогранник M лежит внутри
выпуклого многогранника N, докажите неравенства а) S(M) S(N); б) P(M)
P(N). А.Б. Гончаров. Решение — в №6–1987. Статья А.Б. Гончарова <Задача на исследование> девятого номера 1987 года
1031. На плоскости дана прямая l идветочкиА и В по одну сторону от неё. На прямой l
выбраны точка М, сумма расстояний от которой до точек А и B минимальная, и
такая точка N,чтоАN = ВN . Докажите, что точки А, В, М и N лежат на одной
окружности. Л.Д. Курляндчик. Решение — в №7–1987
1032. Выписаны n чисел 2, 3, ... , n +1, их всевозможные произведения по два, по три,
и так далее до произведения всех n этих чисел. Докажите, что сумма чисел,
обратных всем выписанным, равна n/2.
Например,
1
2
+
1
3
+
1
2·3
=1 и
1
2
+
1
3
+
1
4
+
1
2·3
+
1
2·4
+
1
3·4
+
1
2·3·4
=2.
А.В. Анджанс. Решение — в №7–1987
1033. Окружность отрезает от квадрата четыре криволинейных тре-
угольника (граница каждого состоит из дуги окружности и
двух отрезков). Выкрасим два из них, примыкающих к про-
тивоположным углам квадрата, в синий цвет, два других —
в красный. Докажите равенства сумм длин красных и синих
а) дуг; б) отрезков. В.В. Произволов. Решение — в №7–1987
1034. Прямоугольная шоколадка размером 5 × 10 разбита продоль-
ными и поперечными углублениями на 50 квадратных долек.
Двое играют в такую игру. Начинающий разламывает шоко-
ладку по некоторому углублению на две прямоугольные части и кладёт на стол
полученные части. Затем игроки по очереди делают аналогичные операции: каж-
дый раз очередной игрок разламывает одну из частей на две части. Тот, кто первый
отломит квадратную дольку (без углублений), а) проигрывает; б) выигрывает. Кто
из играющих может обеспечить себе выигрыш: начинающий или его партнёр?
С.В. Фомин и Н.Б. Васильев. Решение — в №7–1987
1035. На отрезке [0; 1] отмечаем сначала точку x
0
, а затем x
1
, ... , x
n
.Длякаждой
очередной точки x
k
,где1 k n, измеряем расстояние d
k
до ближайшей к ней
из ранее поставленных точек. Докажите неравенство d
1
+ d
2
+ ...+ d
n
1+
log
2
n
2
.
В.С. Гринберг. Решение — в №7–1987
1036. Существует ли невыпуклый пятиугольник, который можно разрезать на два кон-
груэнтных пятиугольника? С.М. Хосид. Решение—в№8–1987
1037. Решите в натуральных числах уравнение x
y
− y
x
= x + y.
А.И. Зайчик и В.Н. Дубровский. Решение—в№8–1987
1038. а) Если произведение mn натуральных чисел m и n делится на 6, причём m>1
и n>1, то прямоугольник размером m × n можно разрезать на трёхклеточные
уголки. Докажите это.
При каких m и n это можно сделать так, чтобы линии раздела не вырезали
ни одного прямоугольника б) размером 2 × 3; в) площади меньше mn ?
Девятиклассник М. Хованов и А.П. Савин. Решение — в №8–1987. Иллюстрация — на четвёртой странице обложки того же номера
1039.Точки A, B, C и D — вершины тетраэдра. Докажите, что а) если DA · BC =
= DB · CA = DC · AB , то все эти скалярные произведения равны 0;
б) если три угла между противоположными рёбрами тетраэдра равны, то они
прямые. В.Э.Матизен. Решение—в№8–1987
137
1040.
∗
Числа1,2,3,... ,3n произвольным образом разбиты на три группы по n чисел
в каждой. Докажите, что можно выбрать по одному числу из каждой группы так,
чтобы одно из них равнялось сумме двух других.
В.Е. Алексеев и С. Савчев (Болгария). Решение—в№8–1987
1041. На плоскости заданы а) четыре; б) три вершины правильного пятиугольника. С по-
мощью двусторонней линейки восстановите его остальные вершины. (Двусторонней
линейкой можно делать то же, что и обычной линейкой без делений, а также проводить
прямую, параллельную данной, на расстоянии, равном ширине линейки.)
М.И. Гринчук. 50-я московская городская олимпиада. Решение — в №9–1987
1042. В классе проходит турнир по перетягиванию каната. В турнире ровно по одному
разу должны участвовать всевозможные команды, которые можно составить из
учеников этого класса (из одного, двух, трёх и так далее человек, кроме команды
всего класса). Докажите, что каждая команда будет соревноваться с командой,
состоящей из всех остальных учеников класса.
И.Н. Сергеев. 50-я московская городская олимпиада. Решение — в №9–1987
1043. Можно ли разбить множество всех целых чисел на три подмножества так, чтобы
для любого целого n числа n, n − 50 и n + 1987 принадлежали трём разным
подмножествам? С.В. Конягин. 50-я московская городская олимпиада. Решение — в №9–1987
1044. Из любых четырёх чисел всегда можно выбрать два таких числа x и y,что
отношение числа x − y к числу 1 + xy принадлежит отрезку [0; 1].
И.Н. Сергеев. 50-я московская городская олимпиада. Решение — в №9–1987
1045.
∗
В некотором царстве, некотором государстве, территория которого имеет форму
квадрата со стороной 2 км, царь решил созвать всех подданных к 7 часам вечера
к себе во дворец на бал. Для этого он в полдень послал с поручением гонца,
который может передать любое указание любому жителю, который в свою очередь
может передавать любое указание любому другому жителю, и так далее. Каждый
житель до поступления указания находится у себя дома (в известном месте) и
может передвигаться со скоростью 3 км/час в любом направлении. Докажите,
что царь может организовать оповещение так, чтобы все жители успели прийти
к началу бала. С.В. Конягин. 50-я московская городская олимпиада. Решение — в №9–1987
1046. Величина угла A остроугольного треугольника ABC равна 60
◦
. Докажите, что
одна из биссектрис угла, образованного высотами, проведёнными из вершин В
и C , проходит через центр описанной окружности этого треугольника.
Десятиклассник
В. Погребняк (Винница) и В.Н. Дубровский. Восьмой весенний Турнир городов. Решение — в №10–1987
1047. В шахматном турнире, проводимом в один круг, не менее 3/4 всех сыгранных
к этому моменту партий закончились вничью. Докажите, что в этот момент
некоторые два участника набрали одинаковое число очков.
М. Бона, ученик гимназии, Венгрия.
Восьмой весенний Турнир городов. Решение — в №10–1987, поправка к условию — на странице 42 двенадцатого номера 1987 года
1048.
∗
Один из двух играющих (<начинающий>) ставит коня на некоторую клетку шах-
матной доски размером а) 8 ×8; б) m ×n ,гдеm n>2. Затем игроки по очереди
передвигают коня по обычным правилам (буквой <Г>); нельзя ставить коня на поле,
где конь уже побывал. Проигрывает тот, кому некуда ходить. У кого из игроков
есть выигрышная стратегия — у начинающего или у его партнёра?
Десятиклассник В. Зудилин (Бельцы). Восьмой весенний Турнир городов. Решение — в №10–1987
1049. Будем говорить, что в цилиндр Ц
1
вписан боком другой цилиндр Ц
2
,еслидве
образующие второго лежат на основаниях первого, а четыре точки окружностей
основания второго — на боковой поверхности первого. Взяв цилиндр Ц
1
, у которого
138
отношение диаметра к высоте равно k , впишем в него боком (если это возможно),
цилиндр Ц
2
, в него впишем Ц
3
, в него — Ц
4
и так далее. При каких значениях k
а) можно вписать Ц
2
, но нельзя вписать Ц
3
;
б*) можно вписать Т
10
, но нельзя Ц
11
;
в*) можно вписать бесконечную последовательность Ц
1
, Ц
2
, Ц
3
, ... ?
Одинннадцатиклассник В. Столин (Вильнюс). Решение — в №10–1987
1050. На отрезке [−1; 1] выбрано k различных точек, для каждой из которых посчитано
произведение расстояний до остальных k − 1 точек и через S обозначена сумма
обратных величин этих k произведений. Докажите, что а) S 2приk =3;
б*) S 4приk =4. Л.Д. Курляндчик. Решение — в №10–1987
1051. В левый нижний угол шахматной доски поставлено в форме квадрата 3 × 3девять
фишек. Фишка может перепрыгнуть через любую другую фишку, симметрично
отразившись от неё, если соответствующее поле свободно. Можно ли несколькими
такими ходами собрать все фишки в виде квадрата 3 × 3 в а) левом; б) правом
верхнем углу доски? Я.Е. Брискин. Восьмой весенний Турнир городов. Решение — в №11–1987
1052.Из n четырёхугольников, отсекаемых от выпуклого n-угольника диагоналями,
не более n/2 могут оказаться описанными около окружности. а) Докажите это.
б) Приведите пример восьмиугольника, у которого таких четырёхугольников четы-
ре. Н.М. Седракян. Восьмой весенний Турнир городов. Решение — в №11–1987
1053. В последовательности чисел Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... , где каждое число
равно сумме двух предыдущих, для любого m>3 не менее четырёх и не более
пяти m-значных чисел. Докажите это. Н.Б.Васильев. Решение — в №11–1987
1054. Шесть точек попарного касания четырёх сфер всегда лежат на одной сфере или
в одной плоскости. Докажите это. Ю.К. Коба и В.Н. Дубровский. Решение — в №11–1987
1055. На окружности имеется 21 точка. Докажите, что среди дуг с концами в этих
точках не менее 100 дуг, не превосходящих 120
◦
.
А.Ф. Сидоренко и В.Н. Дубровский. Восьмой весенний Турнир городов. Решение — в №11–1987
1056. В каждой клетке квадратной таблицы 1987 × 1987 написано число, не превосхо-
дящее по модулю 1. В любом квадрате размером 2 × 2 сумма чисел равна 0.
Докажите, что сумма всех чисел таблицы не превосходит 1987.
А.С. Меркурьев и С. Иванов. Решение — в №12–1987
1057. Два игрока поочередно выписывают на доске натуральные числа, не превосхо-
дящие p . Правилами игры запрещено писать делители уже выписанных чисел.
Проигрывает игрок, который не может сделать очередной ход.
а) Выясните, кто из игроков имеет выигрышную стратегию для p =10,иукажите
её.
б) Выясните, кто из игроков имеет выигрышную стратегию для p = 1000.
Д.В. Фомин и Д. Иванов. Решение — в №12–1987
1058. На целочисленной решетке отмечено непустое множество узлов. Кроме того, задан
конечный набор векторов с целыми координатами. Известно, что если от любого
отмеченного узла отложить все заданные векторы, то среди их концов будет больше
отмеченных узлов, чем неотмеченных. Докажите, что отмеченных узлов бесконечно
много. Д.Г. Флаас и Д. Румынин. Решение — в №12–1987
139
1059. График функции y = f(x), определённой на всей числовой прямой, переходит
в себя при повороте на 90
◦
вокруг начала координат.
а) Докажите, что уравнение f(x)=x имеет ровно одно решение.
б) Приведите пример такой функции. А.В. Клюшин и А. Каринский. Решение — в №12–1987
1060.
∗
На плоскости даны две замкнутые ломаные, каждая с нечётным числом звеньев.
Все прямые, содержащие звенья этих ломаных, различны, и никакие три из них
не пересекаются в одной точке. Докажите, что из каждой ломаной можно выбрать
по одному звену так, чтобы они были противоположными сторонами некоторого
выпуклого четырёхугольника. Ю. Хозлов, А. Сердюков и Д.Г.Флаас. Решение — в №12–1987
1061. В стране, где больше двух городов, некоторые пары городов соединены непересека-
ющимися дорогами. Для любых трёх городов А, В и C по этой сети дорог можно
проехать из А в B , не заезжая в C. Докажите, что на всех дорогах можно уста-
новить одностороннее движение так, что из каждого города можно будет проехать
в любой другой, двигаясь по установленным направлениям.
В.Е. Колосов и Н.Б. Васильев. Решение — в №1–1988
1062.а)НасторонахAB и AC треугольника ABC взяты точки D и E.ПрямыеBD и
CE пересекаются в точке M, AM и BC —вточкеP , AM и DE —вточкеN.
Докажите равенство
PN
NA
=2·
PM
MA
.
б) На рёбрах SA , SB и SC тетраэдра ABCS взяты точки D, E и F соответственно.
Плоскости ABE , BCD и CAF пересекаются в точке M;прямаяSM пересекает
плоскости ABC и DEF вточкахP и N соответственно. Докажите равенство
PN
NS
=
=3·
PM
MS
. Т.А. Джортменадзе, Е.Я. Глейбман и В.Н. Дубровский. Решение — в №1–1988
1063. Сколько существует целых чисел, представимых в виде разности a −
˜
a,гдеa —
число, записываемое в десятичной системе счисления n цифрами (то есть 10
n−1
a<10
n
), а
˜
a — число, получаемое при записи цифр числа a в обратном
порядке? (Например, если a =1917,то a −
˜
a =1917−7191 = −5724.) Найдите ответ
для а) n =4; б) n = 5; в) любого натурального n. Г.О. Эльстинг. Решение — в №1–1988
1064. Какое максимальное количество точек самопересечения может иметь замкнутая n-
звенная плоская ломаная, если число n а) нечётно; б) чётно? (Предполагаем, что
никакие три вершины не лежат на одной прямой и никакие три звена не пересека-
ются в одной точке.) Д.Б. Фукс. Решение — в статье <Самопересечения замкнутой ломаной> первого номера 1988 года
1065.
∗
Рассмотрим векторы (x; y) с целыми неотрицательными координатами. Назовём
такой вектор образующим, если |x − y| =1.
а) Рассматриваемый вектор (x; y) представим в виде суммы нескольких различных
образующих (или сам является образующим) тогда и только тогда, когда величина
k(x, y)=x + y − (x − y)
2
неотрицательна. Докажите это.
б) Количество n(x, y) различных (с точностью до порядка слагаемых) представле-
ний вектора (x; y) в виде суммы различных образующих (быть может, состоящей
из единственного слагаемого) зависит только от k(x, y). Докажите это; найдите
n(13, 18). Ф.В. Вайнштейн. Статья <Разбиение чисел> последнего номера 1988 года
1066. Шесть точек расположены на плоскости так, что все пятнадцать расстояний между
ними не больше 1. Докажите, что из них можно выбрать три точки, все расстояния
между которыми меньше 1. С.Г. Сальников. Решение — в №2–1988
140