Воскобойников Ю.Е. Эконометрика в Excel

чения y

*

сменной добычи угля на одного рабочего для шахт с

мощностью пласта 8 м и уровнем механизации работ 6%.

Решение. В примере 3.2.1 было получено уравнение регрес-

сии y

)

= –3.54 + 0.854 x

1

+ 0.367 x

2

. По условию задачи необходи-

мо оценить M(Y| x) при x = | 1 8 6|

T

. Такой оценкой является зна-

чение регрессии, вычисленное для заданного вектора x

y

)

= – 3.54 + 0.854 ⋅ 8 + 0.367 ⋅ 6 = 5.49 (т).

Для нахождения ()

y

s

x

)

, вычислим )(

*

xs

y

()

1

15027 1209 522 1

1

1 8 6 1209 201 108 8

3738

522 108 244 6

699

0.187.

3738

TT

xXX x

−

=

⋅⋅− −⋅=

−−

==

Тогда

0.951 0.187 0.411

y

s =⋅ =

)

(т). Величина t(0.95, 10 – 3) =

2.36 и интервальная оценка надежности 95% определяется интер-

валом

[5.49 – 2.36 ⋅ 0.411, 5.49 + 2.36 ⋅ 0.411] = [4.52, 6.46]

или с вероятностью 0.95 выполняется неравенство

4.52 ≤ M(Y | x) ≤ 6.46 (т) .

Построим интервальную оценку для индивидуальных значений y

*

переменной Y. Вычислим

*

y

s = 036.1187.01951.0 =+ (т)

и интервальная оценка определяется интервалом

[5.49 – 2.36 ⋅ 1.036, 5.49 + 2.36 ⋅ 1.036] = [3.05, 7.93]

или с вероятностью 0.95 выполняется неравенство

3.05 ≤ y

*

≤ 7.93 (т).

Напомним, что y

*

индивидуальные значения переменной Y при

векторе x = | 1 8 6 |. Видно, что интервал для y

*

«шире» ин-

тервала для M(Y | x). Объясните причину этого. ☻

3.4. Значимость множественной регрессии

и ее коэффициентов

Так же как и для парной регрессии выполним проверку зна-

чимости коэффициентов построенного уравнения регрессии и

значимости самого уравнения регрессии (см. параграф 2.5).

Проверка статистической значимости коэффициентов

регрессии.

Для проверки значимости коэффициента b

j

сформу-

лируем статистические гипотезы:

H

0

:

β

j

= 0 (коэффициент b

j

незначим);

H

1

:

β

j

≠ 0 (коэффициент b

j

значим).

В качестве критерия проверки гипотезы примем следующую слу-

чайную величину

j

b

T

s

=

, (3.4.1)

которая при справедливости гипотезы H

0

имеет распределение

Стьюдента с n – m степенями свободы. Следовательно, коэффи-

циент b

j

значимо отличается от нуля (т.е. принимается гипотеза

H

1

) на уровне значимости α, если

(1 , )

j

b

Tt nm

, (3.4.2)

α

>− −

)где ,1( mnt

−

α

−

определяется выражением (3.3.6), число

коэффициентов регрессии.

m −

Пример 3.4.1. Проверить значимость коэффициентов b

1

, b

2

регрессии

y

)

= –3.54 + 0.854 x

1

+ 0.367 x

2

,

построенного по данным примера 3.2.1.

103 104

Решение. Вычислим значения критериев (оценки ,

возьмем из примера 4.3.1.):

1

b

s

2

b

s 864.3

221.0

854.0

1

==

b

T ,

510.1

243.0

367.0

2

==

b

T .

Критическая точка 36.2)7,95.0(),1(

=

=−α

−

tmnt . Тогда нера-

венство (3.4.2) выполняется только для критерия . Следова-

тельно, можно сделать вывод о значимости только одного коэф-

фициента b

1

(т.е. β

1

> 0), а коэффициент b

2

является незначимым

1

b

T

(т.е. принимается гипотеза H

0

: β

2

= 0). ☻

Проверка статистической значимости уравнения множе-

ственной регрессии.

Уравнение множественной регрессии зна-

чимо, если гипотеза

H

0

:

β

1

= 0,

β

2

= 0 ,…,

β

k

= 0

о равенстве нулю коэффициентов регрессионной модели отверга-

ется. Как и в случае парной регрессии для проверки значимости

вновь рассмотрим сумму (см. параграф 2.5):

Q = Q

r

+ Q

e

,

где Q – полная сумма квадратов; - сумма квадратов отклоне-

ний, обусловленных регрессией; Q

e

– остаточная сумма квадра-

тов. В матричных обозначениях эти суммы вычисляются по фор-

мулам:

r

Q

()

2

1

()

n

T

i

Qyyny y y

=

=− = −

∑

; (3.4.3)

i

2

1

()

n

TTT

ei

i

QyybXy yy

=

=− = −

∑

)

; (3.4.4)

()

2

1

()

n

TT

ri

i

QbXyny yy

=

=−=−

∑

)

, (3.4.5)

где

1

n

i

yy

n

=

∑

. Уравнение множественной регрессии значимо с

уровнем значимости α, если

F

- статистика

()

(1)

r

e

F

Qm

⋅−

=

Qnm

(3.4.6)

⋅

−

удовлетворяет условию

F > F

1–α; m– 1; n– m

, (3.4.7)

где F

1–α; m– 1; n– m

– квантиль распределения Фишера, значение ко-

торого определяется выражением

F

1–α; m– 1; n– m

=FРАСПОБР( m; 1;mn− ).

−

α

В качестве эффективных оценок адекватности уравнения рег-

рессии исходным данным в параграфе 2.5 был рассмотрен коэф-

фициент детерминации R

2

. Для множественной регрессии коэф-

фициент детерминации R

2

(или множественный коэффициент

детерминации) определяется по формуле

2

1

2

1

()

()()

11 1

()()

()

n

ii

T

e

i

Tn

i

yy

QyXbyXb

R

Q

yy yy

yy

=

−

−−

=− =− =−

−−

−

∑

)

rr

, (3.4.8)

где

y

r

– вектор размерности n, составленный из средних значений

1

n

i

yy

n

=

∑

. Напомним, что R

2

характеризует долю вариации за-

висимой переменной, обусловленной изменением объясняющих пе-

ременных

x

1

, x

2

,…,x

k

. Следовательно, чем ближе R

2

к единице, тем

лучше регрессия соответствует исходным данным.

Задание. Определите, в каком случае R

2

= 1?

Иногда используют другую формулу

2

ynyy

ynyXb

Q

R

T

TT

r

−

==

. (3.4.9)

105 106

Если известен коэффициент детерминации R

2

, то статистику F

(3.4.6) можно записать в виде

)1)(1(

)(

2

−−

−

=

mR

mnR

F

. (3.4.10)

Замечание 3.4.1. Для выбора наилучшего уравнения регрес-

сии использование только одного коэффициента детерминации

R

2

может оказаться недостаточным. Это обусловлено его увеличе-

нием при добавлении новых объясняющих переменных, хотя это

и не обязательно означает улучшение качества регрессионной

модели. «Чрезмерное» увеличение количества объясняющих пе-

ременных приводит к «проникновению» в уравнение регрессии

случайного слагаемого ε, которое не должно входить в уравне-

ние. Следовательно, необходимо учитывать не только близость

значений регрессии к исходным данным (разница

ŷ

i

– y

i

), но и

«сложность» регрессионной модели, которую можно определить

количеством объясняющих переменных. ♦

В соответствии со сделанным замечанием предпочтительнее

использовать

скорректированный коэффициент детерминации

2

R

)

(с поправкой на число объясняющих переменных), опреде-

ляемый по формуле

2

1

2

1

()

1

()

n

ii

i

n

i

yy

n

R

nm

yy

=

−

=− ⋅

−

∑

)

, (3.4.11)

где – число коэффициентов регрессии.

m

Если известен коэффициент

R

2

, то скорректированный коэф-

фициент детерминации можно вычислить по формуле:

22

1

1(1)

n

R

nm

−

=− ⋅ −

−

)

. (3.4.12)

Видно, что в отличие от

R

2

(см. 4.4.8) величина

2

R

)

может умень-

шаться при увеличении количества объясняющих переменных.

Пример 3.4.2. По данным примера 3.2.1 определить множе-

ственный коэффициент детерминации и проверить значимость

полученного уравнения регрессии

y

)

= –3.54 + 0.854 x

1

+ 0.367 x

2

.

Решение. Вычислим следующие величины:

10 10

2

11

1

489.65; 496; 6.8.

10

TT T

ii

bX y yy y y y

==

=====

∑∑

Теперь по формуле (3.4.9) вычисляем

811.0

8.610496

8.61065.489

2

=

⋅−

=R

Вычисленное значение 0.811 коэффициента

R

2

говорит о том, что

вариация переменной

Y – добыча угля на одного рабочего на

81.1% объясняется изменением мощности угольного пласта (пе-

ременная

X

1

) и уровнем механизации (переменная X

2

).

В примере 2.5.4 был вычислен

R

2

= 0.75 для регрессии, вклю-

чающей только одну – мощность угольного пласта. Сравнивая

0.811 и 0.75, можно сказать, что добавление второй объясняющей

переменной

X

2

незначительно увеличило R

2

. Это понятно, так как

в примере 3.4.1 была показана незначимость коэффициента

b

2

при переменной

X

2

.

По формуле (3.4.12) вычислим скорректированный коэффици-

ент детерминации

2

R

)

для разного количества объясняющих пе-

ременных (величина

k):

 если 1, 2km

=

= , то

2

9

1(10.75)0.720;

8

R =− − =

)

 если 2, 3km

=

= , то

2

9

1 (1 0.811) 0.757

7

R =− − =

)

.

Хотя скорректированный коэффициент детерминации и увели-

чился при добавлении объясняющей переменной

2

X

, но это еще

не говорит о значимости коэффициента (см. пример 3.4.1, где

значение статистики

2

b

2

1.51

b

T

=

не удовлетворяет условию (3.4.2)).

107 108

Зная R

2

= 0.811, проверим значимость уравнения регрессии по F-

критерию. Вычисленное по формуле (3.4.10) значение критерия

F

равно

0.811(10 3)

15.0

(1 0.811) 2

F

−

==

−⋅

Квантиль

F

0.95; 2; 7

= 4.74. Неравенство (3.4.7) выполняется и с

уровнем значимости

α = 0.05 можно сделать вывод о значимости

построенного уравнения регрессии. Следовательно, исследуемая

зависимость

Y достаточно хорошо описывается включенными в

регрессионную модель переменными

X

1

и X

2

. ☻

3.5. Построение линейной множественной регрессии

в Excel

Табличный процессор Excel содержит модуль Анализ дан-

ных.

Этот модуль позволяет выполнить статистический анализ

выборочных данных (построение гистограмм, вычисление число-

вых характеристик и т.д.). Режим работы

Регрессия этого модуля

осуществляет вычисление коэффициентов множественной рег-

рессии вида (3.1.9), построение доверительные интервалы и про-

верку значимости уравнения регрессии.

Для вызова режима

Регрессия модуля Анализ данных необ-

ходимо:

• обратиться к пункту меню Сервис;

• в появившемся меню выполнить команду Анализ дан-

ных;

• в списке режимов работы модуля Анализ данных вы-

брать режим

Регрессия и щелкнуть на кнопке Ok.

После вызова режима

Регрессия на экране появляется диа-

логовое окно (см. рис. 3.3), в котором задаются следующие па-

раметры:

1. Входной интервал Y – вводится диапазон адресов ячеек,

содержащих значения

y (ячейки должны составлять один

столбец).

i

2. Входной интервал X – вводится диапазон адресов ячеек,

содержащих значения независимых переменных. Значения каж-

дой переменной представляются одним столбцом. Количество

переменных не более 16 (т.е. 16

k

≤

).

3. Метки – включается если первая строка во входном диа-

пазоне содержит заголовок. В этом случае автоматически будут

созданы стандартные названия.

4. Уровень надежности – при включении этого параметра

задается надежность

γ

при построении доверительных интер-

валов.

5. Константа-ноль – при включении этого параметра коэф-

фициент

0

0b

=

.

Рис. 3.3. Диалоговое окно режима

Регрессия

109 110

6. Выходной интервал – при включении активизируется по-

ле, в которое необходимо ввести адрес левой верхней ячейки

выходного диапазона, который содержит ячейки с результатами

вычислений режима

Регрессия.

7.

Новый рабочий лист – при включении этого параметра

открывается новый лист, в который начиная с ячейки А1 встав-

ляются результаты работы режима

Регрессия.

8.

Новая рабочая книга - при включении этого параметра

открывается новая книга на первом листе которой начиная с

ячейки А1 вставляются результаты работы режима

Регрессия.

9. Остатки – при включении вычисляется столбец, содер-

жащий невязки , 1,...,

yi n

ii

y

−

=

)

.

10. Стандартизованные остатки – при включении вычис-

ляется столбец, содержащий стандартизованные остатки.

11. График остатков – при включении выводятся точечные

графики невязки , 1,...,

n

ii

yyi

−

=

)

, в зависимости от значений

переменных , ,1,...

j

x

jk

=

. Количество графиков равно числу

k

переменных

j

x

.

12. График подбора – при включении выводятся точечные

графики предсказанных по построенной регрессии значений

ˆ

i

y

от значений переменных ,1,...,

j

x

jk. Количество графиков

равно числу переменных

=

k

j

x

.

Пример 3.5.1. По данным таблицы 3.1 используя режим Рег-

рессия

постройте линейную регрессию.

Решение. Первоначально введем в столбец С десять значе-

ний первой переменной, в столбец D - десять значений первой

переменной (см. рис. 3.2), а в столбец F – десять значений зави-

симой переменной.

После этого вызовем режим

Регрессия и в диалоговом окне

зададим необходимые параметры (см. рис. 3.3). Результаты рабо-

ты приводятся рис. 3.4 – 3.6. Заметим, из-за большой «ширины»

таблиц, в которых выводятся результаты работы режима

Регрес-

сия,

часть результатов помещены в другие ячейки. ☻

Дадим краткую интерпретацию показателям, значения кото-

рых вычисляются в режиме

Регрессия. Первоначально рассмот-

рим показатели, объединенные названием

Регрессионная стати-

стика

(см. рис. 3.4).

Множественный

R

- корень квадратный из коэффициента

детерминации.

R

−

квадрат – коэффициент детерминации

2

R

.

Нормированный

R

−

квадрат – скорректированный коэффи-

циент детерминации

2

R

)

(см. формулу (3.4.12)).

Рис. 3.4. Результаты работы режима

Регрессия

111 112

Стандартная ошибка – оценка

s

для среднеквадратическо-

го отклонения

σ

.

Наблюдения – число наблюдений .

n

Перейдем к показателям, объединенных названием

Диспер-

сионный анализ

(см. рис. 3.4).

dfСтолбец - число степеней свободы. Для строки Регрессия

показатель равен числу независимых переменных 1

r

kkm

=

=−;

для строки

Остаток - равен (1) m=− + =− ; для строки

Итого – равен

or

knk n

ro

kk

+

.

Столбец SS – сумма квадратов отклонений. Для строки Рег-

рессия

показатель равен величине (см. формулу (3.4.5)), т.е.

r

Q

2

1

()

n

rr i

i

SS Q y y

=

== −

∑

)

;

для строки

Остаток - равен величине (см. формулу

(3.4.4)), т.е.

e

Q

;

2

1

()

n

ee ii

i

SS Q y y

=

== −

∑

)

для строки

Итого – равен .

re

QQ Q=+

Столбец

M

S

−

дисперсии, вычисленные по формуле

SS

MS

df

=

,

т.е. дисперсия на одну степень свободы.

Столбец

F

– значение

c

F

, равное

F

−

критерию Фишера,

вычисленного по формуле (3.4.6).

Столбец значимость

F

- значение уровня значимости, соот-

ветствующее вычисленной величине

F

−

критерия и равное ве-

роятности )

PFk k F≥ , где )(( , )

ro roc

(,

F

kk

(

- случайная величина,

подчиняющаяся распределению Фишера с

e

kk степенями сво-

боды. Эту вероятность можно также определить с помощью

функции

,

r

= FРАСП

e

;;

cr

Если вероятность меньше уровня значимости

α

(обычно

0.05

α

= ), то построенная регрессия является значимой..

Перейдем к следующей группе показателей, объединенных в

таблице, показанной на рис. 3.5.

Столбец Коэффициенты – вычисленные значения коэффи-

циентов , расположенных сверху-вниз.

01

, , ...,

k

bb b

Столбец Стандартная ошибка –

значения ,0,...,

j

b

s

jk= ,

вычисленные по формуле (3.3.2).

Рис. 3.5. Продолжение результатов работы режима Регрессия

Столбец t

−

статистика – значения статистик , вычис-

ленные по формуле (3.4.1).

j

b

T

Столбец Р – значение –

содержит вероятности случайных

событий

(( ) )

j

b

Ptn m T

−

≥ , где ()tn m

−

− случайная величина,

подчиняющаяся распределению Стьюдента с

nm

−

степенями

свободы.

Если эта вероятность меньше уровня значимости

α

, то

принимается гипотеза о значимости соответствующего коэф-

фициента регрессии.

Из рис. 3.5 видно, что значимым коэффициентом является

только коэффициент .

1

b

F

kk).

113 114

Столбцы Нижние 95% и Верхние 95% - соответственно

нижние и верхние интервалы для оцениваемых коэффициентов

j

β

, которые вычисляются по формуле (3.3.4).

Перейдем к следующей группе показателей, объединенных в

таблице, показанной на рис. 3.6.

Столбец Наблюдение – содержит номера наблюдений.

Столбец Предсказанное У – значения

i

y

)

, вычисленные по

построенному уравнению регрессии.

Столбец Остатки – значения невязок

ii

yy

−

)

Рис. 3.6. Продолжение результатов работы режима

Регрессия

В заключении рассмотрения результатов работы режима

Регрессия приведем график невязок (на рисунке 3.7 невязки на-

званы остатками)

i

yy

i

−

)

при заданных значениях только второй

переменной. Наличие чередующихся положительных и отрица-

тельных значений невязок является косвенным признаком

от-

сутствия систематической ошибки

(неучтенной независимой

переменной) в построенном уравнении регрессии.

3.6. Нелинейные модели множественной регрессии.

Производственная функция Кобба-Дугласа

До сих пор мы рассматривали линейные регрессионные мо-

дели, в которых переменные имели первую степень. Однако со-

отношение между социально-экономическими явлениями далеко

не всегда можно выразить линейными функциями. Так, напри-

мер, нелинейными оказываются

производственные функции (за-

висимость между объемом произведенной продукции и основ-

ными факторами производства),

функции спроса (зависимость

между спросом на товары или услуги и их ценами или доходом) и

другие функции.

Рис. 3.7. График невязок как функция переменной

2

X

Также как и в случае парной нелинейной регрессии (см. §

2.5) можно выделить два вида нелинейности:

• нелинейность по переменным;

115 116

• нелинейность по параметрам.

Если

модель нелинейна по переменным, то введением но-

вых переменных ее можно свести к линейной модели, для оценки

параметров которой можно использовать обычный метод наи-

меньших квадратов.

Например, если необходимо оценить коэффициенты

нели-

нейной регрессионной модели

2

01122

, 1, ..., ,

iiii

yxxin (3.6.1)

ββ β ε

=+ + + =

то, вводя новые переменные

2

112 2

,

Z

XZ X==

ββ β ε

=+ + + =

ε

=

ye i

ββ β

ε

+⋅ + + ⋅

=⋅

L

n

, получаем новую

линейную модель

n

(3.6.2)

01122

, 1, ..., ,

iiii

yzzi

оценки коэффициентов которой находятся методом наименьших

квадратов (см. § 3.2).

К

моделям нелинейным по параметрам нельзя непосред-

ственно применить линейный МНК. К таким моделям можно

отнести следующие модели:

• степенную модель

n

; (3.6.3)

1

0

1

β

= ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅

•

экспоненциальная модель

, 1, ...,

k

ii

i

ik

yxxi

i

n=. (3.6.4)

011

, 1, ...,

ikik

xx

i

В ряде случаев подбором подходящего преобразования эти

модели могут быть приведены к линейной форме. Так для моде-

лей (3.6.3), (3.6.4) таким преобразованием является логарифми-

рование обеих частей модели. Например, после логарифмирова-

ния модель (3.6.3) примет вид:

i

011

ln( ) ln( ) ln( ) ln( ) ln( ), 1,...,

iikiki

yxx

β

ββε

=+ ++ + =L .

Вводя новый параметр

00

ln( )

β

′

=

и новые переменные

ln( ), ln( )

ii

Z

XY Y

′

==, приходим к новой линейной модели

n

011

ln( ), 1,...,

iikiki

yzzi

′

β

′

=

ββε

+++ + =L . (3.6.5)

Используя МНК, вычисляем оценки

01

, ,...,

k

bb b

′

для параметров

этой модели. Выполнив обратное преобразование , полу-

чаем оценки для коэффициентов нелинейной модели (3.6.3). В

качестве примера использования логарифмических преобразова-

ний рассмотрим

производственную функцию Кобба-Дугласа.

0

b

be

′

=

Пример 3.6.1. Производственная функция Кобба-Дугласа

имеет вид:

12

QAK L

β

=

⋅⋅,

где

Q

−

объем производства, K

−

затраты капитала, затраты тру-

да. Показатели

21

,

β

являются коэффициентами частной эла-

стичности производства

Q соответственно по затратам капитала

K и труда L . Это означает, что при увеличении одних только

затрат капитала (труда) на 1% объем производства увеличивает-

ся на

1

β

% (

2

β

%).

Учитывая влияние случайных возмущений, получаем нели-

нейную модель

12

QAK L

ββ

ε

=

⋅⋅⋅. (3.6.6)

Вычислим оценки для коэффициентов

21

,

β

по данным табл.

3.3, в которой приведен объем выпуска (млн. $), затраты тру-

да

L (чел) и капитала K (млн. $) в металлургической промыш-

ленности. По этим данным необходимо оценить коэффициенты

А,

2

,

Q

1

β

регрессионной модели (3.6.6).

Решение. Логарифмируя обе части выражение (3.6.6) полу-

чаем следующую модель

12

ln( ) ln( ) ln( ) ln( ) ln( ).QA K L

β

βε

=

+++ (3.6.7)

Таблица 3.3

Q

657 1200 2427 4257 8095 9849

L

162 245 452 714 1083 1564

K

279 1167 3069 5585 9119 13989

117 118

Для удобства дальнейших вычислений переобозначим ln( )

YQ

=

,

0

ln( )A

β

= ,

12

ln( ), ln( ), ln( )XKX L

ξ

ε

=

==. Тогда имеем линей-

ную регрессионную модель вида

01122

Yxx

β

ββ ξ

=

++

,,bbb

+

.

Для вычисления оценок

2

используем режим Регрессия

табличного процессора Excel (см. § 3.5). Результаты работы при-

ведены на рис. 4.8. Вычислены следующие коэффициенты:

01

012

0.603, 1.016, 0.127bbb

=

==,

а само уравнение регрессии примет вид

2

x

1

0.603 1.016 0.127yx

)

=

++

. (3.6.8)

Определим =1.828, и, возвращаясь к прежним

обозначениям запишем выборочное уравнение регрессии для

производственной функции Кобба-Дугласа:

0

0.603

b

Ae e==

1.016 0.127

1.826QKL=⋅ ⋅

)

. ☻ (3.6.9)

На рис. 3.8 приведены также характеристики, вычисляемые

в режиме

Регрессия и определяющие значимость коэффициентов

уравнения (3.6.8). Однако ими нельзя воспользоваться по сле-

дующей причине.

Напомним, что эффективность оценок, получаемых методом

наименьших квадратов, а также проверка значимости коэффици-

ентов регрессии и самого уравнения регрессии основана на до-

пущении о том, что возмущения

i

ε

не коррелированны между

собой и подчиняются нормальному распределению

2

(0, )N

σ

, т.е.

имеет одинаковую дисперсию

2

σ

. К сожалению, выполнение

нелинейных преобразований приводит к нарушению этого допу-

щения.

Для иллюстрации этого вернемся к преобразованному урав-

нению регрессии (3.6.7) . Коэффициенты этого уравнения будут

являться эффективными оценками, если

2

ln( ) ~ (0, )N

ε

σ

, т.е.

возмущения

i

ε

должны иметь логарифмически нормальное рас-

пределение, что на практике встречается редко.

Рис. 3.8. Вычисление коэффициентов в режиме

Регрессия

Минимизация функционала нелинейной множественной

регрессии.

Рассмотренный режим Регрессия применим только

для оценивания коэффициентов линейной множественной рег-

рессии. Возникает вопрос: «Как оценить коэффициенты нели-

нейной регрессии, которая не приводится к линейной регрес-

сии?». Для этого можно использовать команду

Поиск решения.

Первоначально формируется функционал метода наимень-

ших квадратов

119 120

i

2

01

1

( , ,..., ) ( )

n

ki

i

F

bb b y y

=

=−

∑

)

, (3.6.10)

где

i

y

)

- значение нелинейного уравнения регрессии с коэффици-

ентами при

01

, ,...,

k

bb b

i

x

x= . Значения этих коэффициентов при

которых достигается минимум функционала (3.6.10) принимают-

ся в качестве оценок для

01

, ,...,

k

β

ββ

.

Поиск минимума (т.е. решение

задачи безусловной миними-

зации

) можно обратясь к команде Поиск решения (пункт меню

Сервис). При этом возможно задание ограничений на значения

искомых коэффициентов (т.е. решается

задача условной миними-

зации

). Для иллюстрации этой возможности рассмотрим сле-

дующий пример.

Пример 3.6.2. По данным таблицы 3.3 оценить коэффициен-

ты

2

,,F

1

β

производственной функции Кобба-Дугласа (рассмот-

ренной в примере 3.6.1) при дополнительном ограничении

12

1

β

+= (3.6.11)

Решение. Нахождение оценок

12

,,

B

bb для коэффициентов

21

,,A

β

нелинейной модели будем осуществлять из решения

следующей задачи условной минимизации:

()

12

2

1

min

n

i

bb

ii

QBK L

=

⎡

⎤

⎢

⎥

−⋅ ⋅

⎢

⎥

⎣

⎦

∑

(3.6.12)

при ограничении

. (3.6.13)

12

1bb+=

Для решения этой задачи используем команду

Поиск реше-

ния.

Первоначально введем в столбцы A,B,C значения

,

(см. рис. 3.9). Затем в ячейках В10, В11, В11

зададим начальные («стартовые») значения искомых коэффици-

ентов: . После этого в соответствующих

ячейках столбца D вычислим значения

, , 1,...,6

ii i

KLQi=

12

10, 0.5, 0.5Bb b== =

12

i

bb

ii

QBKL

=

⋅⋅

)

.

в столбце Е запрограммируем вычисления значений

2

()

ii

QQ−

)

, а

в ячейке Е10 (выделена цветом) вычислим значения функциона-

ла

6

2

12

1

(, , ) ( )

ii

i

FBbb Q Q

=

=−

∑

)

. (3.6.14)

Рис. 3.9. Подготовительные вычисления

для решения задачи условной минимизации

После этих подготовительных вычислений обращаемся к

команде

Поиск решения пункт меню Сервис и устанавливаем

необходимые параметры в уже знакомых диалоговых окнах (см.

рис. 3.10).

После задания параметров щелкаем на кнопке

Выполнить и

в ячейках В10, В11, В12 выводятся вычисленные значения коэф-

фициентов, а в ячейке Е10 – значение функционала (3.6.14) при

этих значениях коэффициентов (см. рис. 3.11). Видно, что вы-

121 122

Воскобойников Ю.Е. Эконометрика в Excel

Подождите немного. Документ загружается.