Воскобойников Ю.Е. Эконометрика в Excel

2. Используя матричные функции Excel, запрограммируйте

вычисление коэффициентов

2

,,bbb (см. пример 3.2.4).

01

3.

Вычислить стандартизованные коэффициенты регрессии и

коэффициенты эластичности (см. пример 3.2.2) и сравнить

влияние на зависимую переменную каждой из объясняющих

переменных.

4.

Проверить значимость построенного уравнения регрессии

по критерию Фишера при двух уровнях значимости

α = 0.01, α

= 0.05.

5.

Вычислить значения коэффициента детерминации R

2

и

скорректированного коэффициента детерминации

2

ˆ

R

. Выска-

зать мнение, насколько хорошо построенная регрессия опреде-

ляет зависимость переменной Y от объясняющих переменных

12

,

X

X .

Контрольные результаты:

1. Значения вычисленных коэффициентов

.

012

213.506, 1.170, 8.533bbb==−=

Значение критерия Фишера 62.879.

2.

Значение коэффициента детерминации , скор-

ректированного коэффициента детерминации

2

0.940R =

2

0.925R =

)

.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3.2

«Построение доверительных интервалов для линейной

множественной регрессии»

Цель работы. Используя режим Регрессия табличного про-

цессора Excel построить доверительные интервалы для коэффи-

циентов

2

,,

01

β

ββ

функции линейной множественной регрессии,

описывающей зависимость себестоимости одной тонны литья

(зависимая переменная Y в тыс. руб.) от выработки литья на од-

ного рабочего (объясняющая переменная

1

X

в тоннах) и брака

литья (объясняющая переменная

2

X

в %). Определить значи-

мость коэффициентов

2

,,bbb.

01

Исходные данные. В таблице Л3.1 приведены данные для

построения линейной множественной регрессии.

Содержание работы

1. Ввести в лист Excel исходные данные таблицы Л3.1 (см.

пример 3.2.1).

2.

Обратиться к пункту меню Сервис, команда Анализ данных

и включить режим Регрессия.

3.

В диалоговом окне установить необходимые опции (см.

рис. 4.3).

4.

Выполнить режим Регрессия и проанализировать постро-

енные доверительные интервалы для коэффициентов

2

,,

01

β

ββ

.

t5.

На основе анализа вычисленных

−

статистик и значе-

ния сделать выводы о значимости коэффициентов

2

(см.

пример 4.4.1).

P

−

01

,,

6.

Построить доверительный интервал для (|)

bbb

M

Yx, задав

следующие значения объясняющих переменных:

1

x

= 20;

2

x

= 6

(см. пример 4.4.2).

Контрольные результаты:

Нижние 95,0% Верхние 95,0%

185,327 241,685

-1,577 -0,764

4,317 12,749

t-статистика P-Значение

17,472 1,175E-07

-6,644 1,619E-04

4,667 1,609E-03

143 144

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3.1

Множественная линейная регрессия

По статистическим данным (см. таблицу К3.1), описываю-

щим зависимость производительности труда за год в некоторой

отрасли производства (переменная Y ) от удельного веса рабочих

с технической подготовкой (объясняющая переменная

1

X

) и

удельного веса механизированных работ (объясняющая перемен-

ная

2

X

), построить модель множественной линейной регрессии и

выполнить статистический анализ построенной модели.

Для вычисления коэффициентов уравнения регрессии

20112

()yx b b x b x

=

+⋅+⋅

)

и других характеристик множественной регрессии использовать

режим Регрессия табличного процессора Excel (см. пример 3.6.1).

Требуется:

1. Построить диаграмму рассеяния отдельно по объясняющей

переменной

1

X

и отдельно по объясняющей переменной

2

X

.

2.

Используя построенную диаграмму рассеяния, убедиться в

наличии линейной зависимости переменной Y от переменной

1

X

и от переменной

2

X

.

3.

Вычислить коэффициенты

2

множественного урав-

нения регрессии вида

01

,,bbb

20112

()

y

xbbxb=+ +x

)

4.

Представьте в виде доверительных интервалов для коэф-

фициентов

012

,,

β

ββ

значения, приведенные в столбцах Ниж-

ние 95% и Верхние 95% (см. рис. 3.5).

5.

Используя вычисленные значения t

−

статистик (столбец

t

− статистика рис. 3.5) проверить гипотезы о значимости ко-

эффициентов

012

,,bbb

. Сопоставьте результаты проверки с ве-

личинам, приведенными в столбце Р – значение (см. рис. 3.5).

Рекомендация: для проверки используйте неравенство (3.4.2).

Таблица К3.1

№

завода

Удельный вес

рабочих с тех-

нической под-

готовкой, %

Удельный вес

механизиро-

ванных

работ, %

Производи-

тельность

труда

1 64 + N 84 + N 4300

2 61 + N 83 + N 4150

3 47 + N 67 + N 3000

4 46 + N 63 + N 3420

5 49 + N 69 + N 3300

6 54 + N 70 + N 3400

7 53 + N 73 + N 3460

8 61 + N 81 + N 4100

9 57 + N 77 + N 3700

10 54 + N 72 + N 3500

11 60 + N 80 + N 4000

12 67 + N 83 + N 4450

13 63 + N 85 + N 4270

14 50 + N 70 + N 3300

15 67 + N 87 + N 4500

где N – последняя цифра в номере зачетной книжки студента.

6.

Используя вычисленное значение F – статистики (см. рис.

3.4), проверьте гипотезу о значимости построенного уравнения

множественной регрессии. Сопоставьте результат проверки ги-

потезы с величиной приведенной в ячейке Значимость F.

7.

Дайте статистическую трактовку вычисленному значению

коэффициента детерминации

2

R

(см. рис. 3.5).

8.

Оформите результаты вычислений отчетом, вставив туда

таблицы, сформированные в режиме Регрессия (аналогичные

тем, что приведены на рис. 3.4, 3.5, 3.6).

145 146

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

1. Чем множественная регрессия отличается от парной?

2.

Запишите модель множественной линейной регрессии.

3.

Какие условия накладываются на вектор случайных воз-

мущений

ε

.

4.

Запишите функционал метода наименьших квадратов при

оценивании коэффициентов множественной линейной регрес-

сии.

5.

По статистическим данным (см. таблицу К3.1), описы-

вающим зависимость производительности труда за год в неко-

торой отрасли производства (переменная Y ) от удельного веса

рабочих с технической подготовкой (объясняющая переменная

1

X

) и удельного веса механизированных работ (объясняющая

переменная

2

X

), используя программу Excel, вычислить коэф-

фициентов уравнения регрессии

2

ˆ

0112

x b x()yx b b

=

+⋅+⋅

6.

Какими свойствами обладают оценки коэффициентов

регрессии, вычисленные методом наименьших квадратов?

.

Рекомендация: смотрите пример 3.2.3.

7.

Используя режим Регрессия (см. § 3.6), по таблице 3.1

постройте линейную множественную регрессию при предпо-

ложении

0

β

= 0, т.е. коэффициент уравнения регрессии

0

0b

=

.

Сравните значимость коэффициентов этой регрессии со значи-

мостью коэффициентов примера 3.6.1.

8.

Виды нелинейности множественной регрессии?

9.

Как преобразовать нелинейную по переменным модель к

линейной модели?

10.

В чем отличие метода взвешенных наименьших квадра-

тов от обыкновенного (классического) метода наименьших квад-

ратов.

11.

Что характеризуют диагональные и недиагональные

элементы ковариационной матрицы V

ε

вектора возмущений

ε

?

12.

Запишите функционал метода взвешенных наименьших

квадратов. В каком случае этот функционал будет равен нулю?

12. Дана гетероскедастичная модель линейной парной рег-

рессии

01iii

yx

β

βε

=

++

,

в которой дисперсии

2

i

σ

возмущений

i

ε

определяются выраже-

нием

2

i

22

i

x

σσ

=

⋅ . Пространственная выборка представлена в сле-

дующей таблице ( 10n

=

)

i

x

2.0 2.4 11.0 8.0 5.6 6.2 4.5 9.8 8.6 3.8

i

y

4.0 5.2 4.5 4.2 4.8 8.0 7.2 12.6 8.5 4.2

По этим данным необходимо:

• построить уравнение регрессии ()yx

)

на основе обыкно-

венного метода наименьших квадратов;

• построить уравнение регрессии )

*

(yx

)

на основе взвешен-

ного метода наименьших квадратов;

2

• вычислить оценку

s

для величины

2

σ

;

• на рисунке отобразить исходные данные

i

y

, значения

()

i

yx

)

регрессии, построенной обыкновенным МНК и значения

*

()

i

yx

)

регрессии, построенной методом взвешенных наименьших

квадратов;

• сравнить графики уравнений регрессий ()yx

)

,

)

*

(yx

)

.

Контрольные результаты:

0

3.890b

=

,

1

0.392b

=

, , .

*

0

3.431b =

*

1

0.476b =

147 148

ГЛАВА 4. ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ

В этой главе будут рассмотрены методы и алгоритмы реше-

ния основных задач анализа временных рядов и их прогнозиро-

вания.

4.1 Временные ряды и их числовые характеристики

Напомним (см. пункт 1.2), что временным рядом называется

упорядоченная по времени последовательность случайных вели-

чин n{( )}, 1,2,..,

i

Yi

τ

= , где

1ii

τ

+

< . Временной выборкой будем

называть набор наблюдений

{ }, 1, 2,..,

i

y

in= , над случайными

величинами

)(

i

Y

τ

. Заметим, что иногда в литературе наблюдает-

ся подмена понятия «временного ряда» понятием «временной

выборки».

Для описания временного ряда достаточно часто использует-

ся аддитивная модель вида

n

ii

()=()+(), 1,2,..,

i

Yq i

τ

τξτ

=

()

(4.1.1)

где детерминированная составляющая

i

q

τ

может включать од-

ну или несколько из следующих компонент: трендовую

()

i

t

τ

, се-

зонную

)(

i

s

τ

и периодическую )(

i

p

τ

.

Числовые характеристики временного ряда. Из определе-

ния временного ряда и модели (4.1.1) следует, что в каждый мо-

мент

i

τ

величина ()

i

Y

τ

является случайной, подчиняющейся

распределению, которое определяется распределением случай-

ной составляющей

()

i

ξ

τ

. Математическое ожидание и дисперсия

в момент

i

τ

определяется выражением:

.

i

(()) (); (()) (())

Временной ряд называется стационарным (в широком смыс-

ле), если числовые характеристики случайных величин

()

i

Y

τ

не

зависят от времени

i

τ

, т.е.

2

(()) ; (())

ii

MY q DY

τ

τσ

=

= . (4.1.3)

Для такого временного ряда в качестве оценок величин

2

,q

σ

используется выборочное среднее

y

и выборочная дисперсия :

2

s

1

n

i

y

n

=

=⋅

∑

;

22

1

()y

. (4.1.4)

n

i

sy

n

=

=⋅ −

∑

Степень тесноты связи между последовательностями

12

( ), ( ),.., ( )

n

YY Y

τ

ττ

и

nl

Y

12

( ), ( ),.., ( )

ll

YY

τ

ττ

+

++

(сдвинутых от-

носительно друг друга на моментов времени, или, как говорят,

с лагом

l ) может быть определена с помощью коэффициента

автокорреляции:

l

2

[( ( ) )( ( ) )]

()

iil

M

YqY q

l

τ

ρ

σ

+

−

=

. (4.1.5)

В силу стационарности временного ряда

()l

ρ

зависит только от

лага

l и для него справедливо следующее равенство

( ) ( )ll

ρ

−

= ,

т.е. достаточно изучать

()l

ρ

только для положительных лагов .

Если 0l

l

=

, то (0) 1

ρ

=

. Иногда вместо ()l

ρ

рассматривают ав-

токорреляционную функцию

2

() ()Rl l

ρ

σ

=

⋅ . (4.1.6)

Заметим, что абсолютные значения

()l

ρ

, ()

R

l убывают с ростом

величины

l .

Оценкой для

()l

ρ

является выборочный коэффициент авто-

корреляции, определяемый по формуле:

ii i

MY q DY D

τ

=

ττξτ

= (4.1.2)

149 150

111

22

11 1 1

() ()( )

()

() ()() ( )

nl nl nl

iil i il

iii

nl nl nl nl

i i il il

ii i i

nl yy y y

rl

nl y y nl y y

−−−

++

===

−− − −

++

== = =

−−⋅

∑∑∑

=

−− ⋅− −

∑∑ ∑ ∑

. (4.1.7)

Заметим, что с увеличением число пар наблюдений

l

l ,

ii

yy

+

уменьшается и поэтому число

l не должно быть сравнительно

большим (рекомендуют /4ln≤ ). В отличие от ()l

ρ

для оценки

()rl может быть нарушено свойство монотонного убывания аб-

солютных значений.

Стационарный временной ряд, у которого математическое

ожидание равно 0, а величины

()

i

ξ

τ

не коррелированны, часто

называют “белым шумом”. Очевидно, что для белого шума

1, 0;

()

0, 0.

если l

l

если l

ρ

=

⎧

=

⎨

≠

⎩

Пример 4.1.1. В столбце А документа Excel (приведенного

на рисунке 4.1) представлены 20 значений стационарного вре-

менного ряда, являющегося белым шумом. Необходимо вычис-

лить выборочное математическое ожидание, дисперсию и коэф-

фициент автокорреляции (), 0,1,2,3.ll

ρ

=

Решение. Первые две оценки вычисляются по формулам

(4.1.4) с использованием стандартных функций Excel (обращение

к ним показано на рис. 4.1), а выборочный коэффициент автокор-

реляции – по формуле (4.1.7), при этом используются предвари-

тельно вычисленные суммы:

(см рис. 4.1). Полученные значения оценок приведены в таблице

4.1 (вторая строка). Третья строка таблицы содержит точные зна-

чения искомых характеристик. Различие между оценками и точ-

ными значениями обусловлены малым объемом выборки. ☻

22

11111

;; ; ;

nl nl nl nl nl

iil i il i il

iiiii

yy y y y y

−−−−−

+++

=====

∑∑∑∑∑

Рис. 4.1. Вычисление числовых характеристик

Таблица 4.1

Характери-

стики

()

M

Y ()Y

(0)

ρ

(1)

ρ

D

(2)

ρ

(3)

ρ

Оценка

31.8 8.9 1.0 -0.19 0.14 0.10

Точное

зачение

30 10 1 0 0 0

Тест стационарности временного ряда. Для стационарности

временного ряда достаточно постоянства его числовых характе-

ристик на всем интервале определения временного ряда. Наибо-

лее часто в качестве таких характеристик берут математическое

151 152

ожидание и дисперсию. Тогда ответ на вопрос стационарности

дискретного временного ряда сводится к проверке следующей

пары статистических гипотез:

0

1

0

1

:(()) ;

:(()) .

:(()) ;

:(()) .

i

H M Y const

H D Y const

τ

=

⎫

⎬

≠

⎭

=

⎫

⎬

≠

⎭

Для проверки этих гипотез используют различные критерии

[5,6]. Здесь мы ограничимся только одним (достаточно простым)

критерием.

Временной ряд

n( ), 1,2,..,

i

Yi

τ

=

, разбивается на две части (не

обязательно одинаковые) по количеству содержащихся в них

значений

()

i

yY

i

τ

= . Пусть первая часть (обозначим ее

()I

Y ) со-

держит наблюдений

I

n

I

n ( ), 1,2,..,

i

Yi

τ

=

II

Yin n

, а вторая часть -

)

содержит наблюдений

II

n

(

Y

II

n ( ), 1,...,

iI I

τ

=+ + .

Для каждой части временного ряда вычислим (используя

формулы (4.1.4)) выборочное среднее

,

I

II

yy

и выборочные дис-

персии

22

,

I

II

s

. Далее рассчитаем значение критерия

22

I

II

S

I

II

I

II

yy

K

s

nn

−

=

+

(4.1.7)

(часто называемого критерием Стьюдента). Если выполняется

неравенство

I

(1 , 2)

SII

Kt nn

α

>− +− , (4.1.8)

то гипотеза о постоянстве математического ожидания отклоняет-

ся с уровнем значимости

α

. Напомним, что значение

(1 , 2)

III

tnn

α

−+−

вычисляется с использованием следующей

функции Excel:

(1 , 2) ( , 2)

III III

tnn СТЬЮДРАСПОБР nn

α

−

+−= +−

Для проверки гипотезы о постоянстве дисперсии определим

следующий критерий

2

I

S

II

s

F

s

=

, (4.1.9)

Постоянство

математического ожидания

где

2

II

- оценки дисперсии, вычисленные по первой (число

измерений ) и второй (число измерений ) части временного

ряда.

2

,

I

ss

I

n

II

n

Постоянство

дисперсии

Если

не выполняется неравенство

;1; 1 1;1; 1

α

22

III III

S

nn nn

FFF

α

−

−−−−

≤ , (4.1.10)

≤

то гипотеза о постоянстве дисперсии отвергается с уровнем зна-

чимости

α

. Границы критической области вычисляются с помо-

щью следующей функции Excel:

;1; 1

2

(1 ; 1; 1)

2

III

nn

FFРАСПОБР nn

α

−−

=

−−−. (4.1.11)

Пример 4.1.2. Осуществить тестирование временного ряда

приведенного столбце А на рис. 4.2 на стационарность.

Решение. Разобьем исходный временной ряд на две части по

10 измерений в каждой. Вычислим по каждой из этих частей вы-

борочные оценки (см. рис. 4.2):

22

30.68, ;

III III

yy ss

=

= 30.14, = 10.19 = 8.16.

Затем определим значения критериев (4.1.7) и (4.1.9) (см.

рис. 4.2):

0.40; 1.249

SS

KF

=

= . Проверим выполнение нера-

венств (4.1.8) и (4.1.10). Неравенство (4.1.8) не выполняется, так

как

0.40 2.101

<

, а неравенство (4.1.10) выполняется -

0.248 1.249 4.026

<

.

Следовательно, можно сделать вывод о стационарности рас-

сматриваемого временного ряда. ☻

153 154

Рис. 4.2. Проверка гипотезы о стационарности ряда

4.2 Выделение трендовой составляющей

временного ряда.

Трендовая составляющая ()

t

τ

отражает влияние долговре-

менных факторов и соответствует устойчивой и долговременной

тенденции изменения временного ряда. Знание трендовой состав-

ляющей позволяет осуществлять долговременное прогнозирова-

ние. Поэтому возникает задача выделения тренда, т.е. построение

оценки

ˆ

()t

τ

для функции

()t

τ

(или оценок

ˆ

()

i

t

τ

для значений

)(

i

t

τ

) по заданной временной выборке

{

}

,

ii

y

τ

. При этом предпо-

лагается, что остальные составляющие

(), ()sp

τ

временного

ряда отсутствуют. Для решения этой задачи возможно несколько

подходов.

Выделение тренда методами парной регрессии. Времен-

ной ряд представляется моделью

)

i

() () (

ii

Yt

τ

ττ

=

+ε , (4.2.1)

где случайная составляющая

()

τ

ε

в моменты , 1, 2,.., ,

i

in

τ

=

удовлетворяет условиям Гаусса-Маркова, а

τ

рассматривается

как независимая переменная (см. главу 2). Функцию

()t

τ

можно

оценить, используя методы парной регрессии, изложенные в гла-

ве 2. Поэтому здесь рассмотрим только некоторые особенности

применения этих методов, обусловленные решаемой задачей.

Одна из особенностей заключается в том, что различный ха-

рактер тренда (иногда достаточно сложный) обуславливает более

широкое использование нелинейных функций. Так наряду с ли-

нейной функцией

1

()t

0

τ

ββτ

=

+ гораздо чаще используется сле-

дующие нелинейные функции:

• Полиномиальная

01

( ) ...

p

t

τ

ββτ βτ

=+ ++ , (4.2.3)

где

p

- степень полинома (при 1

p

=

получаем линейную

функцию);

• Экспоненциальная

01

()te

β

βτ

τ

+

= , (4.2.4)

• Логистическая

2

0

1

()

1

t

e

β

τ

β

τ

β

−

=

+

, (4.2.5)

Выбор вида функции

()t

τ

часто основывается на анализе графи-

ческого изображения ряда, т.е. на анализе диаграммы рассеяния,

построенной по точкам

{

}

, (см. параграф 2.1).

ii

y

τ

При применении полиномиальной функции важно правильно

определить степень полинома. Для этого можно использовать ме-

155 156

тод последовательных разностей, заключающийся в вычислении

разностей:

• первого порядка

;

1

, 1, 2,.., 1

iii

in

−

Δ=Δ−Δ = −

•

второго порядка

2

;

1

, 1, 2,.., 2

iii

in

−

Δ=Δ−Δ = −

•

- ого порядка k

,

11

1

, 1, 2,..,

kk k

ii i

ink

−−

−

Δ=Δ −Δ = −

а также величин

() 2

()

1

2

1

()

nk

k

i

k

i

k

nk

d

c

−

=

⋅Δ

∑

−

=

, (4.2.6)

где - означает сочетание, определяемое по формуле

2

k

c

2

(2 )!

(!)

k

c

k

=

. Величина первоначально убывает с ростом , а

затем , начиная с некоторого значения стабилизируется, оста-

ваясь приблизительно на одном уровне при дальнейшем росте .

Тогда степень полинома определяется по формуле

()k

d k

0

k

0

1pk

=

− .

После выбора вида функции

()t

τ

строят уравнение регрес-

сии

()t

τ

)

, зависящее от коэффициентов , которые яв-

ляются оценками для коэффициентов

01

, ,..,

k

bb b

01

, ,..,

k

β

ββ

функции тренда

()t

τ

.

Так

для полиномиального тренда (4.2.1) уравнение регрессии примет

вид:

01

() ..

p

tbb b

τ

ττ

=+ ++

)

(4.2.7)

Для вычисления коэффициентов используется метод

наименьших квадратов, т.е. коэффициенты находятся из условия

минимума функционала

01

, ,..,

k

bb b

i

2

01

1

( , ,.., ) ( ( ))

n

ki

i

Fb b b t t

τ

=

=−

∑

)

, (4.2.8)

где

)

ˆ

(

i

t

τ

- значение уравнения регрессии в точке

i

τ

=

.

(t

Использование нелинейных функций

)

τ

обуславливает

следующие виды нелинейности уравнения регрессии: нелиней-

ность по переменной и нелинейность по коэффициентам, рас-

смотренные в параграфе 2.6. Напомним, что в этих случаях ис-

пользуются два подхода для вычисления коэффициентов регрес-

сии:

а) путем замены переменной или нелинейными преобразова-

ниями осуществляется линеаризация уравнения регрессии, к ко-

торому применяется метод наименьших квадратов;

б) непосредственное вычисление коэффициентов из условий

минимума функционала (4.2.8).

Первый подход рассмотрен в параграфе 2.6, а второй – в па-

раграфе 2.7 и он является более универсальным, так как позволя-

ет при вычислении коэффициентов учесть априорные ограниче-

ния (в общем случае, нелинейные) на искомые коэффициенты

(например, 0, 0,1, 2,..,

i

ik

β

≥ = ).

После вычисления коэффициентов , уравнение

регрессии принимается в качестве оценки для функции тренда

()t

01

, ,..,

k

bb b

τ

и может быть использовано для дальнейшего анализа вре-

менного ряда или его прогнозирования.

Пример 4.2.1. В таблице 4.1 приведены данные, отражаю-

щие спрос (в условных единицах) на некоторый товар за восьми-

летний период.

Таблица 4.1.

По этим данным (которые являются временной выборкой) найти

оценку

ˆ

()t

τ

, предполагая, что ()t

τ

является квадратичной функ-

цией. Выполнить прогноз временного ряда для десятого года.

Год 1 2 3 4 5 6 7 8

Спрос 213 171 291 309 317 362 351 361

157 158

Решение. При сделанном предположении оценка

ˆ

()t

τ

имеет

вид

2

01 2

()tbbb

τ

ττ

=+ +

)

(4.2.9)

и это уравнение регрессии нелинейно по переменным. Для пере-

хода к линейному уравнению регрессии введем новые перемен-

ные

2

12

;xx

τ

= =

и получим множественную линейную регрес-

сию:

212 0 11 2

(, )txx b bx bx=+ +

)

вектор коэффициентов

0

1

2

b

bb

b

=

находим методом наименьших

квадратов, решая уже известную систему нормальных уравнений

(см. параграф 3.2):

( )

TT

X

Xb Xy= ,

где

X

- матрица размером , а 83×

y

- вектор наблюдений. Фор-

мирование матрицы

X

и решение системы показано на рисунке

4.3. Вычисленный вектор коэффициентов (ячейки F16 – F18 вы-

деленные цветом) имеет следующие проекции

132.3

55.09 .

3.26

b =

−

Возвращаясь к уравнению (4.2.9), получаем следующую

оценку для тренда временного ряда:

2

( ) 132.3 55.09 3.26t

τ

ττ

=

+⋅−⋅

)

, (4.2.10)

На рисунке 4.4 показана временная выборка

, 1, 2,..,8

i

yi

=

(кри-

вая 1, маркированная квадратиками) и график функции

ˆ

()t

τ

(кривая 2 – маркированная ромбами). Для выполнения прогноза

достаточно в (4.2.10) подставить

10

τ

=

. Получаем значение

(10) 356.41t =

)

. ☻

Выделение тренда методами фильтрации. Строится оцен-

ка для значения функции

()t

ˆ

j

t

τ

в точке

j

τ

как взвешенное

среднее тех исходных значений

i

y

, которые находятся в некото-

рой близости от точки

j

τ

, т.е.

L

, 1, 2,..,

L

jljl

lL

tcyjLLn

=

+

=−

= + + −

∑

)

, (4.2.10)

где - весовые множители, удовлетворяющие условию

l

c

1

L

l

lL

c

=−

=

∑

Рис. 4.3. Вычисление коэффициентов квадратичного тренда

Видно, что суммируются значений, находящихся левее

точки

L

τ

, L значений правее точки

j

τ

и само значение . Дли-

j

y

159 160

на интервала суммирования равна точки и этот интервал

“скользит” по исходным данным. Наиболее часто используют ме-

тод скользящего среднего, в котором множители задаются выра-

жением:

(2 1)L +

1

, ,..,0,..,

21

l

clLL

L

==−

+

.

Так, если , то

1L =

101

1/3ccc

−

=

== , а сам метод скользящего

среднего примет вид:

11

)

j+

. (4.2.11)

1

(

3

jjj

tyyy

−

=++

)

Рис. 4.4. Графики временной выборки и оценок тренда

Очевидно, что чем больше величина , тем меньше уровень

“остаточных” возмущений в оценке

ˆ

. Действительно, если

L

j

t

2

(( ))

j

M

τ

σ

ε=

, то после алгоритма (4.2.11) дисперсия оценки

будет равна

2

σ

. Однако, следует помнить, что

при возрастании увеличивается систематическая ошибка.

ˆ

j

t

2

/(2 1) / 3L

σ

+=

L

Систематическая ошибка будет мала, если графическое изо-

бражение временного ряда напоминает прямую линию. Если же

тренд имеет явно нелинейный характер, то фильтр скользящего

среднего может привести к значительным искажениям (т.е. к

большой систематической ошибке). В таких случаях предпочти-

тельнее использовать метод экспоненциального сглаживания,

описанный ниже.

К сожалению, выражение (4.2.10) не определяет «отфильтро-

ванные» значения в первых

L

точках и последних

L

точках

временного ряда. В этих случаях можно изменить алгоритм

(4.2.10), используя под знаком суммирования только известные

i

y

. Например, в точке

1

τ

алгоритм (4.2.11) имеет вид

112

),y

а в точке

1

ˆ

(

2

ty=+

n

τ

-

1

ˆ

nn

()

2

ty

−

=+

n

y.

Рассмотренные методы фильтрации оценивают значение

тренда только в точках

, 1, 2,.., n

i

τ

=

, что не позволяет непо-

средственно использовать этот метод для прогнозирования вре-

менного ряда.

Пример 4.2.2. По данным таблицы 4.1 вычислить значение

тренда в точках

,1,2,..,8

j

τ

=

, используя алгоритм (4.2.11).

Решение. Фрагмент документа Excel, вычисляющий значе-

ния

ˆ

по формуле (4.2.11) приведен на рисунке 4.5, сами значе-

ния нанесены на рис. 4.4 (кривая 3, маркированная треугольни-

ками) Сравнивая эти значения со значением оценки

ˆ

()

j

t

τ

, по-

строенной в примере 2.1, видим некоторые отличия, которые

можно объяснить использованием разных методов для выделения

тренда временного ряда. ☻

Выделение тренда методом экспоненциального сглажи-

вания.

В отличие от метода скользящего среднего в определении

161 162

Воскобойников Ю.Е. Эконометрика в Excel

Подождите немного. Документ загружается.