Зазуляк П.М., Гавриш В.І. Євсєєва Е.М., Йосипчук М.Д. Основи математичного опрацювання геодезичних вимірювань
Подождите немного. Документ загружается.
Методи врівноваження багатьох виміряних величин З і
F = tj,j = l,k. (5
Знайдемо її обернену вагу, використавши співвідношення (5.72). Для і
продиференціюємо вираз (5.73) за аргументами t, (/ = 1 ,к)
dF
Л
, . dF ... т-Г
^- = 0, l*j, — =
1,
l,j = \,k
dt, dt j
та запишемо вектор коефіцієнтів вагової функції F, який містить один*
j-ому рядку, а решту всі нулі
/ =
0
Згідно формули (5.72)
0
v. У
— = — = (0 0...1...0)
рр
F
r
t.
Qn Qn
Qi\ Qn
Qi
k
Q
2k
Q
k
1 Q, k2
0
0
kk
0
1
0
v у
= (G,, Qj2-Qji-Qjk)
0
V У
= Qa-
Таким чином, ми показали, що обернена вага параметра t дорівнює ва
коефіцієнту Q . А оскільки у-довільне ціле число, що міститься між одиниц
(кількість параметрів), то робимо висновок, що обернені ваги врівнові
параметрів дорівнюють діагональним елементам вагової матриці, тобто
324
Розділ V
Отже, друга частина задачі врівноваження, а саме, знаходження оцінки
точності є цілком розв'язаною. Щоб її виконати, потрібно:
1) обчислити середню квадратичну похибку т одного рівноточного
вимірювання або середню квадратичну похибку одиниці ваги ц нерівноточного
вимірювання за формулами (5.51) або (5.52); для цього суму [V
2
] або [PV
2
] знайти
одним із наведених п'яти способів;
2) визначити обернену вагу вагової функціїF3a однією із формул (5.64), (5.67),
(5.68), (5.72), після чого обчислити середню квадратичну похибку її, використавши
рівність
т
р
=±ф=; (5.75)
3) знайти обернені ваги врівноважених параметрів (j = \,k) із рівностей
(5.74), а після цього їх середні квадратичні похибки за такими формулами:
а) для рівноточних вимірювань
т
;
=±т^,и = їк); (5-76)
б) для нерівноточних вимірювань
m
J
=±nJP
lj
,U = lk). (5.77)
§ 5.6. Основи корелатного методу врівноваження
Розглянемо результати вимірювань х. із вагами р. у геодезичній мережі якихось
величин, істинні значення яких дорівнюють X. (і =
1,
п)
•
Серед п виміряних величин
є к необхідних і r = п - к - надлишкових. Наявність надлишкових виміряних
величин приводить до появи г умов, яким повинні задовольняти виміряні значення
х
і
(і =
1,
л). Ці умови запишемо у вигляді нелінійних рівнянь
(p
j
(X
l
,X
2
,...,X
n
) = 0, j = \,r. (5.78)
Якщо замість істинних значень X. (і =
1, ті)
виміряних величин у рівняння (5.78)
підставити їх результати вимірювань х. (і = \,п), то дані рівності строго
виконуватись не будуть. У зв'язку з цим у правих частинах (5.78) появляться
величини Wj (і = \,г) замість нулів, які називаються нев'язками і виникають за
рахунок наявності похибок у результатах спостережень х. (і = 1,и), тобто
Методи врівноваження багатьох виміряних величин З і
(p
j
{x
i
,x
2
,...,x
n
) = W
j
, j = l,r. (
Вирази (5.79) служать для обчислення нев'язок.
Якщо у формулах (5.79) замість виміряних значень х. (і = 1,п) розг;
врівноважені значення х. + v. (і = 1,п), то поправки v. (/ = 1,л) повинні у<
нев'язки W. (і = 1,/-) і тоді отримані вирази
<рДх, + V|,х
2
+ v
2
,...,x„ + v„) = 0, j = \,r
(
називаються умовними рівняннями поправок у загальному вигляді.
Наведені рівняння у загальному випадку є нелінійними, і прої
розв'язування їх за методом найменших квадратів є складною. Ті
лінеаризуємо, для чого функції
(р.
(/ = 1,г) розкладемо в ряд Тейлора в окол:
(х
р
х
2
,..., xj і, оскільки поправки v. (і = 1,п) є малими, то обмежимось ліні
членами розкладу. У результаті отримаємо
« 9 ф:
q>
i
(x
l
,x
2
,...,x„) + V,- =0, j = l,r .
і=І дх,
(
_ . д(р
х
д(р
2
Ввівши позначення -—- = a
t
,—=
дх,
d<Pj
dXj dx, dx,-
вирази (5.79), рівності (5.81) запишуться у вигляді
[av] +
W
x
= 0
[bv] + W
2
=0
b
i
,...,—
L
= u
i
(/ = !,«), та враху
або у матричній формі
[uv]
+ W
r
=0,
AV+ W- 0,
де А-
ь
\
Ь
2
и
Л
и
2
\
лінійному вигляді
«и
ь„
- матриця коефіцієнтів умовних рівнянь попр
326
Розділ V
V
•
V " У
ґп/ \
вектор поправок до результатів вимірювань;
W
Щ
Ж,
W
\ '•
- вектор нев'язок, або вільних членів системи.
Рівняння (5.82) називаються умовними рівняннями поправок у лінійному
вигляді, а (5.83) - умовне матричне лінійне рівняння.
Розв'язок матричного рівняння (5.83) будемо шукати, використавши умову
V
T
PV = І
Pi
vf min, (5.84)
і=І
і знайдені таким чином поправки будуть надійними.
Отже, задачу зведено до визначення екстремуму функції (5.84), для якої
виконується умова (5.83). Наведену задачу на умовний екстремум функції можна
розв'язати методом Лагранжа, тобто вона зводиться до задачі на абсолютний
екстремум нової функції
ф = V
T
PV- 2К
Т
(А F + min,
'О
(5.85)
де К =
k
v "/
вектор неозначених множників Лагранжа.
Необхідною умовою мінімуму функції від багатьох змінних є рівність нулеві її
часткових похідних або рівність нулеві її повного диференціалу першого порядку, тобто
d<P= 0.
Знайдемо повний диференціал функції Ф, поданої виразом (5.85)
dO = 2V
T
P
•
dV - 2К
Т
А
•
dV = 0,
' dv
x
dv
{
або, скоротивши на подвоєний диференціал вектора поправок 2dV = 2
dv,
приидемо до рівності
v ' J
Методи врівноваження багатьох виміряних величин З і
V
T
P = K
r
A,
протранспонувавши яку, отримаємо
PV=A
T
K,
звідки знайдемо вектор поправок
V - Р
Л
А
Т
К,
(5
або в розгорнутому вигляді
v. = — (aJc, +b
i
k
2
+ ... + u
j
k
r
), і = \,п.
Pi
(і
Тут k. [і = 1,/-) - неозначені множники. їх ще називають корелатами.}
визначення підставимо вектор поправок, виражений формулою (5.86), в у
матричне лінійне рівняння (5.83). У результаті отримаємо
АР
Л
А
Т
К+ W= 0.
С
Рівняння (5.88) називається матричним нормальним рівнянням ко]
Запишемо його в розгорнутому вигляді. Для цього спочатку знайдемо ма
-
коефіцієнтів нормальних рівнянь корелат
АР'
1
А
Т
а
і
а
г
b
{
b
2
••• Ь
п
и, щ ••• и
V
і 1
"
У
'Р? 0
0 РІ'
0
0
0 о - р;
1
а, Ь
х
а
2
Ь
2
к
а
„ К
U
n
Іц
Ва-
Рі Рг
Рп
k
h.
. к
Рі
Рг Рп
щ_ и
2
Рі Р2
Рп
Ґ
а
2
' 'ab аи
\
Р Р
_
Р .
ab
Ь
2
Ьи
. Р .
_Р _
. Р .
аи
Ьи
~и
2
'
V
_
Р _
. Р . _ Р _
/
Тоді система нормальних рівнянь корелат запишеться у вигляді
328
Розділ V
а
2
к\
+
'ab'
+ .
аи
_ Р
_
[ Р \
[ Р \
'ab
+
V
+ .
bu
1 Р \
L
Р \
[ Р J
аи
к]
+
bu
к,
+ .
V"
Р Р
р
K
R
+
W
X
=0
k
r
+W
2
=0
k
r
+W
r
= 0.
(5.89)
Розв'язавши матричне нормальне рівняння корелат (5.88) відносно вектора
корелат К, або систему нормальних рівнянь корелат (5.89) відносно k. (j = 1,г)
одним із раніше наведених методів та підставивши одержані результати у вираз
для вектора поправок (5.86) або у рівності (5.87) відповідно, отримаємо надійні
шукані поправки
v.
до виміряних значень х. (і = 1,и).
Якщо вимірювання є рівноточними, то матричне нормальне рівняння корелат
та вираз для вектора поправок (5.86) відповідно будуть такими:
АА
Т
К+ W- 0,
V— А
Т
К. (5.90)
Таким чином, перша частина задачі врівноваження корелатним методом є
розв'язаною, тобто знайдені надійні поправки до виміряних величин. Переходимо
до другої частини задачі врівноваження - знаходження оцінки точності.
§ 5.7. Оцінка точності результатів врівноваження
корелатним методом
Друга частина задачі врівноваження корелатним методом - знаходження оцінки
точності вимірювань та величин, що визначаються, принципово не відрізняється
від оцінки точності, виконаної при параметричному методі врівноваження.
Щоб її отримати, потрібно:
а) знайти середню квадратичну похибку одного рівноточного вимірювання
або середню квадратичну похибку одиниці ваги нерівноточного вимірювання;
б) оцінити точність вектора корелат;
в) визначити вагу та середню квадратичну похибку функції врівноважених
величин.
Методи врівноваження багатьох виміряних величин З і
Середню квадратичну похибку одного рівноточного вимірювання і
середню квадратичну похибку одиниці ваги /і для нерівноточного вимірюн;
можна одержати за такими формулами:
™
=
л > М
=
л
. (5.
(
або у матричній формі
IV V \V
T
PV
т =
\~У~'
М =
\ г '
(5;
де г - кількість умовних рівнянь, а всі інші величини є такими ж, яі
параметричному методі.
Наведемо способи обчислення сум [v
2
] або [pv
2
] для корелатного ме
врівноваження.
Перший спосіб полягає у безпосередньому їх обчисленні за формулою (
або (5.87) для нерівноточних вимірювань, або за формулою (5.90) для рівното
вимірювань.
Для обчислення наведених сум другим способом, використаємо ріві
\pv
2
] - -[wk], [v
2
] = -[wk], справедливість яких покажемо на прикладі нерівното
вимірювань. Для цього розглянемо вектор поправок, поданий формулою (!
Праву та ліву частини даної рівності ліворуч помножимо на діагональну мат(
ваг Р виміряних величин, тобто
PV= РР
]
А
Т
К=* PV= А
Т
К,
після чого отриманий результат ліворуч помножимо на транспонований ве
поправок F
7
". У результаті прийдемо до такого виразу:
yrp
V=
yrjr
K=>
yrp
V=
(
AV)
T
K (5
Але із умовного матричного рівняння поправок (5.83) видно, що А V =
тому співвідношення (5.93) можна переписати
V
r
PV=-W
r
K, (5.
або, записавши його у розгорнутому вигляді
tp/vj =[pv
2
] = -w,/c, -w
2
k
2
- ...-w
r
k
r
=-[wk], (5,
м
ми отримали рівність, яку необхідно було довести. Аналогічно можна пок<
справедливість рівності [v
2
] = -[wk].
Розглянемо матричне нормальне рівняння корелат (5.88), у якому матри
вираз АР~
1
А
Т
є матрицею коефіцієнтів системи нормальних рівнянь корелат (
Введемо позначення
330
Розділ V
N=AP'A
T
і рівняння (5.88) перепишемо у вигляді
N-K+ W= 0,
звідки визначимо вектор корелат
К = -N'
X
W
і отриманий вираз підставимо у співвідношення (5.94). У результаті отримаємо
VPV= mQW, (5.96)
де Q = N-
1
.
Третій спосіб обчислення суми \pv
2
] полягає у використанні формули (5.96).
Якщо вимірювання є рівноточними, то в цьому випадку для знаходження суми [v
2
]
вираз (5.96) запишеться так:
VV= mQW.
Тут Q = N~
l
\N=AA
T
.
Із використанням методу Ґаусса можна одержати такі вирази:
[pv
2
] =
щ
w
2
\ w;.(r-1)
'а
2
'
+
-
V.f
+ ... +
-
~и
2
.{г-\)
_
Р _
р
Р
[v
2
]
^
і
—
__!
w; w
2
\
+ — + ...+
W
2
.{r-1)
(5.97)
[fl
2
] [b
2
A] [u\(r-1)]
Суть четвертого способу полягає у використанні формул (5.97) для обчислення
сум [/;у
2
] та [v
2
].
Таким чином, визначивши одним із наведених способів суму [v
2
] або [pv
2
] та
використавши після цього формули (5.91), (5.92), отримаємо значення середньої
квадратичної похибки т для рівноточного вимірювання або середню квадратичну
похибку одиниці ваги ц для нерівноточного вимірювання.
§ 5.8. Визначення оберненої ваги та середньої квадратичної
похибки функції врівноважених величин
Розглянемо у загальному випадку вагову функцію F, аргументами якої є
врівноважені значення х. + v. виміряних величин х. (і = 1,гі)
Методи врівноваження багатьох виміряних величин
З і
F = F(x
{
+ Vp х
2
+ v
2
, ..., х + v„). (5.98)
Для простішого розв'язання задачі лінеаризуємо функцію F, подану виразе
(5.98), а для цього розкладемо її в ряд Тейлора в околі точки (х,, х
2
, ..., х
припустивши, що це можна зробити, та, обмежившись лінійними членаг
розкладу отримаємо
F = F(X
1
,X
2
,...,X„) + £A,V,
І=І
або в матричній формі
F= F
n
+ Я
Г
- V,
(5.99
(5.100
NEF
0
= F(X,,X
2
, ..., Х
Я
); X =
3/
7
(х
1
,х
2
,...,х
п
)
, А,- —,
І —
1,п
дх,
Для функції (5.99) або (5.100) не можна використати формулу (4.65), щоб знаі
її обернену вагу, оскільки поправки v. (г =
1,
п) є залежними. Тому проведемо де
перетворення функції F. Для цього вектор поправок, поданий виразом (5.1
підставимо у співвідношення (5.100)
F = F
0
+ Х
Т
Р'
]
А
Т
К
і до отриманого результату додамо вираз n
T
-{NK + W). У результаті прийдем<
такого зображення функції
F:
F = F
0
+Х P A К + п •(NK + W),
(5.10
де я =
Л-)
- вектор неозначених множників.
Формулу (5.101) для функції F перепишемо у вигляді
F = F
0
+{Х
т
Р~
х
А
т
+n
T
N)K + n
T
W
і вектор неозначених множників п підберемо так, щоб вираз у круглих ду>
дорівнював нулеві, тобто
332
Розділ V
А
Т
Р-
]
Л
Т
+п
т
N = 0, або Х
Т
А
Т
+п
т
АА
т
=0. (5.102)
Із врахуванням співвідношень (5.102), остаточно функцію ^запишемо у вигляді
F = F
0
+n
T
W (5.103)
і, оскільки Wj =(p
j
(x
l
,x
2
,...,x
n
), j = \,r, а вимірювання х. (/= 1,и) спостерігачі
стараються провести так, щоб вони були незалежними, то нами отримано таке
зображення функції
F,
для якої вже можна застосувати формулу (4.65) обчислення
її оберненої ваги. Для цього продиференціюємо вираз (5.103) за змінними
х. (і = 1 ,п), після чого одержимо
dF dF
n
г д(р, —
- + £ТГ,- L
=
Я,- + л
х
а
і
+л
2
Ь
і
+ ... + л
г
и
і
, і = 1,п, (5.104)
дх, дх,
7=1
дх.
або у матричній формі
dF _dF
0
dW
дер
Тут (р =
f\
<р
2
-
+ л = А + ~л =
Л
+ А
г
л
дх дх дх дх
dF_
дх
х
dF
дх
2
dF
dx„
(5.105)
- вектор незалежних умов;
dF_
дХ
вектор часткових
похідних функцій F.
Піднесемо часткові похідні функції F, подані виразами (104), до квадрату та
просумуємо їх за індексом і = \,п. У результаті матимемо
и
S
;=1
3F
2,,2
\2
= Е(А,. +п
2
Ь
і
+ ... + л
г
и
і
)
2
= £(Я
2
+ л
2
а
2
+ л]Ь
2
+ ...
/=і /=1
... + л
2
и• +л
х
Х
і
а
і
+л
2
Х
і
Ь
і
+... + л
г
Х
і
и
і
+л
і
л
2
а
і
Ь
і
+ ... + л
2
л
г
Ь
і
и
і
+...) =
= [Я
2
] + [ЯД]ЛГ, + [Щл
2
+... + [Ли]л
г
+ ([а
2
}л
х
+ [аЬ]л
2
+... + [аи]л
г
+ [АЯ])ТГ, +
+ ({аЬ\л
х
+ [Ь
2
]Л
2
+ ... + [ЬИ]л
г
+[ЬХ])л
2
+
+ ([аи]л
х
+[Ьи]л
2
+ ... + [и
2
]л
г
+ {иХ\)л
г
.