Зазуляк П.М., Гавриш В.І. Євсєєва Е.М., Йосипчук М.Д. Основи математичного опрацювання геодезичних вимірювань
Подождите немного. Документ загружается.
Методи врівноваження багатьох виміряних величин З і
Але згідно рівностей (5.102) вирази у круглих дужках є рівними нулепі і
отриманий вираз перепишемо
п
1
і=І
BF
= [аЛ]л
х
+[ЬЛ]л
2
+... + [иЛ]л
г
+ [Я ]. (5.1
(
дх,-
V ' У
' Щоб одержати формулу (5.106) у матричній формі, потрібно праву часі
рівності (5.105) помножити ліворуч на вираз А
Т
+ л
Т
А, а ліву-на
dF_
дХ
, то
8F
K
BX
J
3F
дх
• (Я
+л А)(Л +А л) =
А, Л
+
А
А я + л АЛ + л АА п =
=
Л
т
Л
+ л
г
АЛ + (Л
Г
А
Г
+л
Г
АА
т
)л
і, оскільки вираз у круглій дужці є рівним нулеві згідно рівностей (5.102
остаточно матимемо
— =
Л
т
Л
+ л
Г
АЛ.
дХ
Використавши рівність (4.65), отримаємо формулу для знаходження оберт
ваги функції F
1
або у матричному вигляді
=
[аЛ]л
х
+[ЬА]л
2
+... +
[иЛ]л
,+[Я
2
],
1
— =Л Л + л Ал .
(5.1
(5.1
Якщо застосовувати метод Ґаусса, то можна одержати співвідношенні
знаходження оберненої ваги функції врівноважених величин для рівноточних виміри
[яЯ]
2
[ЬЛ.Ї]
2
[иЛ.{г-1)]
2
-f- =
[A
. г] =
[Л
]-
"F
або нерівноточних вимірювань
[а
2
] [М
[и
2
.(г-1)]
(5.1
334
Розділ V
Таким чином, нами отримано формули для знаходження оберненої ваги
функції врівноважених величин, тобто друга частина задачі врівноваження
корелатним методом - знаходження оцінки точності є розв'язаною. Щоб її
виконати, потрібно:
1) обчислити середню квадратичну похибку т одного рівноточного
вимірювання або середню квадратичну похибку одиниці ваги ц, нерівноточного
вимірювання за формулами (5.91) або (5.92); для цього суму [v
2
] або [pv
2
] знайти
одним із наведених чотирьох способів;
2) знайти середні квадратичні похибки елементів вектора корелат ЛТза такими
формулами:
а) для рівноточних вимірювань
mj=±mjQ~ = (5.111)
де QjjU = \г) - вагові коефіцієнти корелат (їх обернені ваги), які знаходяться на
головній діагоналі матриці Q = (АА
1
)'
1
;
б) для нерівноточних вимірювань
mj = ±ц^
<J
= hr), (5.112)
Д
е
Qjj(j
=
hr) - елементи головної діагоналі матриці Q = (АР-^А
7
)'
1
;
3) визначити обернену вагу вагової функції F за однією із формул (5.107) -
(5.110), після чого обчислити середню квадратичну похибку її, використавши
рівність
т
Р
=±ф=. (5.113)
§ 5.9. Види геометричних умов, що виникають
в геодезичних мережах
У геодезичних мережах виникає багато різноманітних умов. Тут ми розглянемо
лише основні з них кутові та лінійно-кутові для плоских мереж.
Геодезичні мережі бувають вільними та невільними, простими та складними.
Вільні мережі містять тільки необхідні вихідні дані, яких достатньо для визначення
координат пунктів чи якихось інших геодезичних елементів. Якщо в мережі є
надлишкові вихідні дані, то вона називається невільною. Мережа називається
простою, якщо в ній геометричні фігури не перекриваються, інакше вона є
складною.
Методи врівноваження багатьох виміряних величин З і
У вільних мережах виникають три види геометричних умов:
1) умови фігури;
2) умови горизонту;
3) умови полюса.
Умови фігури появляються тоді, коли в замкнутому багатокутн
виміряними всі внутрішні кути. Тоді для п - кутника сума кутів поі
дорівнювати 180°-(и-2).
Якщо на якомусь із пунктів є виміряними всі кути, що прилягають о і
одного (див. Рис. 5.1, а), то виникає умова горизонту, тобто сума всіх вимі
кутів є рівною 360°. Точку О (див. Рис. 5.1, б) у цьому випадку називають йол
а замкнену низку трикутників навколо полюса - центральною системою.
в
Рис.
5.1
Умова полюса появляється у фігурі, одна зі сторін якої може бути обчислет
У геодезичному чотирикутнику полюсом може бути як точка перетину діаг
О, так і кожна з вершин А, В, С, D (див. Рис. 5.2, а), у центральній системі пол
точка О (див. Рис. 5.2, б), так зване віяло (див. Рис. 5.2, в) полюсом має точк;
в с
а)
б)
Рис.
5.2
в)
336
Розділ V
У невільних мережах крім розглянутих трьох видів геометричних умов
виникають ще три:
1) умова дирекційних кутів;
2) умова базисів;
3) умова координат.
Умова дирекційних кутів появляється в мережі при наявності більше ніж однієї
сторони з твердим дирекційним кутом. Наприклад, якщо в мережі (див. Рис. 5.3)
є заданими дирекційні кути сторін А В та EF
і
виміряні всі позначені кути, то для
дирекційного кутаа
£/г
сторони EF можна записати таку умову:
в с F
Рис. 5.3
\.
a
EF
]
- ]
-
[2] + [6] -
[8]
+ [10] ± 180°
•
4,
де [«£,,], [а,
в
] - тверді дирекційні кути сторін EFта АВ.
Окремим випадком дирекційних кутів є умова сум, коли дві тверді сторони АВ
і
ВС
у
творюють твердий кут Л£С(див. Рис 5.4). Для цього випадку отримаємо умову суми
[ABC] =
[2]
+
[5]
+
[8]
+ [11]
Е
Рис. 5.4
*
Методи врівноваження багатьох виміряних величин З і
Для мережі, поданої рисунком 5.4, якщо твердий кут ABC є невідомим,
умову дирекційних кутів можна записати так:
[а
яс
] = [а^] + [2] + [5] +
[8]
+ [И].
Умова базисів буває у тих випадках, коли в мережі відомими є довжини білі
ніж однієї твердої сторони. Розглянемо мережу, зображену рисунком 5
припустимо, що є відомими довжини 1
АВ
та І
вс
. У цьому випадку умова базі
полягатиме в тому, що довжина / сторони ВС дорівнюватиме значенню вир;
який містить довжину І твердої сторони А В та значення виміряних кутів, то
/гс reel [BFJ |ЯЕ| \BD\ й
5іп(3і)
„ , , й,-
5
""
30
l
M
-\BF\ \ВЕ\ \BD\ М«Г nsin(2 + 30 * ~ " A-sin(2
+ 3
/)
1=0 і=0
Наведений вираз для довжини І
вс
сторони ВС отримано з використан
теореми синусів.
Умови координат містять умовні рівняння ординат і умовні рівняння абі
та випливають із того, що сума приростів координат замкнутого багатокуті
дорівнює нулеві.
У мережах нівелювання виникають два типи умов: умови полігонів та у\
твердих реперів.
Умови полігонів появляються у замкнених полігонах, утворених кільк
ходами нівелювання, і полягають у тому, що сума перевищень, обчислена
довільного напрямку обходу дорівнює нулеві. Наприклад, у мережі, под
рисунком 5.5 дану умову можна записати так:
[А
2
]-[Л,] + [Л
5
] = 0,
338
Розділ V
або [/g-[/g~[/g = о.
або [AJ-[A,] + [AJ-[A3] = 0,
де у квадратних дужках вказано врівноважені перевищення відповідних ходів.
Умови твердих реперів записуються для суми перевищень ходів, прокладених
між двома реперами, висоти яких є відомими і полягають у тому, що сума
перевищень таких ходів дорівнює різниці висот вихідних реперів, тобто
[А,] - [А
2
] - [Л
3
] + [AJ - [А
5
] = Н - Н (див. Рис.5.6).
Рис. 5.6
При написанні геометричних умов у геодезичних мережах важливим є
правильно визначити незалежні умови. Якщо в процесі врівноваження не
враховано якусь незалежну умову, то після врівноваження вона задовольнятись
не буде і задача врівноваження у зв'язку з цим не в повній мірі є розв'язаною.
Якщо в процесі врівноваження враховано якусь залежну геометричну умову,
то це приводить до збільшення обсягу непотрібних обчислень.
Для геодезичного чотирикутника (див. Рис. 5.2, а), в якому виміряно вісім
кутів між діагоналями і сторонами, можна записати п'ять умов фігури, із
яких чотири є умовами фігури трикутника і одна - умовою фігури
чотирикутника. Але незалежними будуть тільки три умови фігури,
наприклад, трикутника.
Наведемо співвідношення, якими визначається кількість необхідних умов для
врівноваження кутів в мережі (див. Табл.5.1).
Методи врівноваження багатьох виміряних величин
З і
Таблиця .
Кількість необхідних умов в мережі
Види умов
Кількість умов
фігури
1-р +1
полюса
L-2(p+q) + 3
горизонту
о
-/
дирекційних кутів
k-r
+ a
+ 2f-\
сторін
k-r+s-/-1
Тут / - кількість неперервних ліній; р - кількість всіх пунктів в мережі;
кількість всіх ліній (неперервних та розривних); q - кількість пунктів, визначеі
прямими засічками; 0 - кількість пунктів, на яких до всіх кутів, розташова!
навколо них, визначаються поправки (кількість центральних систем);/- кількі
фігур, утворених твердими сторонами; кількість вихідних пунктів; г- кількі
окремих груп вихідних пунктів (у групу входять всі вихідні пункти, що маї
між собою твердий зв'язок); а - кількість астрономічних азимутів, що вважакл
твердими;
.У
- кількість сторін, довжини яких є твердими.
У деяких нескладних мережах кількість незалежних умов можна визначі
користуючись такими положеннями:
1) кількість умов фігури дорівнює кількості трикутників, що не перетинают
плюс кількість геодезичних чотирикутників;
2) кількість умов горизонту дорівнює кількості центральних систем;
3) кількість умов полюса дорівнює кількості центральних систем плюс кільк
геодезичних чотирикутників;
4) кількість умов дирекційних кутів дорівнює кількості сторін, дирекційні
1
яких є твердими, мінус одиниця;
5) кількість умов сторін дорівнює кількості сторін, довжини яких є тверді
мінус одиниця.
Наведеними положеннями користуються у випадку, якщо в мережі є:
1) тільки неперервні лінії; 2) одна група вихідних пунктів;
3) відсутні фігури, утворені твердими сторонами.
§ 5.10. Умовні рівняння поправок у геодезичних мережах при
використанні корелатного методу врівноваження
Розглянемо побудову умовних рівнянь поправок у геодезичних мережа;
наведених геометричних умов при застосуванні корелатного методу врівноваж
340
Розділ V
У випадку умов фігури для багатокутника із п внутрішніми кутами умовне
рівняння у загальному вигляді буде таким:
£[а,]-180°-(н-2) = 0,
і=1
а відповідне умовне рівняння поправок запишеться так:
£
V|
. +
и>
= 0,
і=і
" п •
де w = £(«,)-180 -(п- 2) -нев язка суми виміряних кутів и-кутника; v.-поправки
і=і '
до кутів; [а], (а) - врівноважені та виміряні кути багатокутника відповідно.
Зокрема, для трикутника (див. Рис.5.7) умовні рівняння у загальному вигляді
і
а рівняння поправок відповідно будуть
І[/]-180° = 0,
і=і
£v
(
+w = 0,
/=і
де
W
= 2(0-180°.
і=і
Рис. 5.7
Якщо розглядати умови горизонту, то умовне рівняння у загальному вигляді
для п кутів запишеться так:
£[а,.]-360° = 0,
і=і
а відповідне умовне рівняння поправок буде таким :
+ w
=
0.
/•=і
Методи врівноваження багатьох виміряних величин
З і
Тут w =
X (ос •)
- 360° - нев'язка суми виміряних кутів на пункті між сусіднім
;=і '
напрямками.
Приклад. Розглянемо мережу, подану рисунком 5.8.
6 . . 6
- 360° = 0 -умовне рівняння
у
загальному вигляді, + w = 0 -вщповід
ш=1 >=\
б , . .
умовне рівняння поправок, де w = £ («,) - 360° нев язка суми виміряних кутів.
;=1
Запишемо умовне полюсне рівняння в загальному вигляді для геодезичне
чотирикутника (див. Рис.5.2, а). Як уже було сказано, полюсом може бути як то
1
перетину діагоналей (як правило її і приймають), так і довільна з вершин А, В, С,
Припустимо, що точка А є полюсом. Тоді запишемо таке співвідношення:
\АВ\
І
АС
І
\AD\_
\АС\ \AD\ \AB\~ '
або, використавши теорему синусів, отримаємо умовне полюсне рівнянн
загальному вигляді
sin[4]
•
sin([6] + [7])
•
sin[2] _
sin([2] + [3])-sin[5]-sin[7] ~ '
Лінеаризувавши його згідно формули (5.81), прийдемо до лінійного рівня]
поправок
v
4
•
ctg{4) + (v
6
+ v
7
)
•
ctg{(6) + (7)} + v
2
•
ctg{2)-
-(v
2
+ v
3
)
•
ctg{(2) +
(3)}
- v
5
•
ctg{5)-v
r
etg( 1) + w = 0,
342
Розділ V
__ sin(4)
•
sin{(6) + (7)}• sin(2)
l
sin {(2) + (3)}
•
sin(5)
•
sin(7)
Для центральної системи (див. Рис.5.2, б) запишемо співвідношення між
сторонами
I
AO
I
\ВО\ ICO
I
\DO\ \ЕО\
\ВО\
I
CO
I I
DO
I
\ЕО\
I
AO
І
або між синусами протилежних кутів відповідних кутів
5
П sin[2/]
= 1
- (5.114)
П sin[2i -1]
і=1
Рівняння (5.114) є умовним полюсним рівнянням у загальному вигляді для
центральної системи, зображеної рисунком 5.2, б. Лінеаризувавши його,
отримаємо умовне лінійне рівняння поправок
ю
• V; •
Ctg(i) +
W
= 0.
1=1
5
П sin(2/)
Тут w = 1.
П sin(2z -1)
І=І
Аналогічно, як для геодезичного чотирикутника та центральної системи,
можна отримати умовне полюсне рівняння в загальному вигляді та лінійне
рівняння поправок для віяла (див.Рис.5.2, б).
\АОI \ВО\ \СО\ IDO
І
А*
I
BO
I I
CO
I
IDOI IAO,
sin[3] sin[5] sin{[7] + [8]} sin[l]
sin
{[1]
+
[2]}
sin[4] sin[6] sin[8]
(5-115)
v
3
•
ctg(3) + v
5
•
ctg(5) + (v
7
+ v
8
)• ctg{( 1) +
(8)}
+ V,
•
ctg{ 1)-
(5 m)
- (v, +
v
2
)ctg{(
1)
+ (2)} - v
4
•
ctg(4) - v
6
•
ctg(6) - v
8
•
ctg(8) + w = 0,
де
u
,_ sin(3)-sin(5)-sin{(7) + (8)}-sin(l)
t
sin
{(1)
+ (2)}
•
sin(4)
•
sin(6)
•
sin(8)