Зазуляк П.М., Гавриш В.І. Євсєєва Е.М., Йосипчук М.Д. Основи математичного опрацювання геодезичних вимірювань
Подождите немного. Документ загружается.
Методи врівноваження багатьох виміряних величин З і
Рівняння (5.115), (5.116) є умовними полюсними рівняннями у загалі,
вигляді та лінійному для поправок відповідно для віяла.
Слід відзначити, що умовні полюсні рівняння не містять кутів, що є виміря
при полюсі. Тому за полюс можна приймати формальні точки перетину дови:
напрямків. Цей факт, зокрема, використовується при врівноваженні геодези»
чотирикутника, коли при складанні умовного полюсного рівняння за п
приймається точка перетину діагоналей.
Розглянемо мережу (див. Рис.5.9), коли виникають умови дирекційних і
Як уже було сказано, наявність додаткової сторони з дирекційним к
приводить до появи умови дирекційного кута.
А
Рис.
5.9
Умовне рівняння дирекційних кутів у загальному вигляді запишеться т
звідки отримується умовне рівняння поправок
з
v„ -v„ +2У,=0,
а
ОА
a
OB Д '
де W
=
{a
OA
)-{a
OB
)+i(i).
і=1
Якщо у мережі, зображеній рисунком 5.10, сторони OA та ОБ утво]
твердий кут АОБ, то виникає умова суми і умовне рівняння для цього вил
загальному вигляді буде таким:
ІМ = [4],
/=і
а умовне рівняння поправок запишеться у вигляді
344 Розділ V
iv
f
~[4] + W = 0,
/=1
Тут й^=І(і)-(4).
i=i
Припустимо, що в мережі, зображеній рисунком 5.9, дирекційні кути а
0А
та а
ов
сторін OA та ОВ відповідно є вихідними (відомі без похибок). Тоді умовне рівняння
поправок вихідних дирекційних кутів запишеться в такому вигляді:
= (5.117)
і=і
де W = [a
OA
]-[a
OB
]+i(i).
і=1
Із рівняння (5.117) видно, що в ньому відсутні поправки до дирекційних
кутів а
ОА
і а
ов
.
Розглянемо мережу, зображену рисунком 5.4. Припустимо, що сторони АВ та
ВС є твердими. Тоді умовне рівняння базисів або вихідних сторін можна записати
у загальному вигляді так:
4
, п sin[3i]
f^ = (5-118)
Івс
П sin[2 + З/]
/=0
Лінеаризувавши його згідно формули (5.81), отримаємо умовне лінійне
рівняння поправок, у якому відсутні поправки до сторін АВ та ВС
b
v
ctg[3i] - Іv
1+v
ctg[2 + 3/] + W = 0.
і=І (=0
Методи врівноваження багатьох виміряних величин З і
[l
AB
]- rising)
Тут W = ^ 1.
['яс
] •
П(2 + Зі)
•
sin(2 + Зі)
/=о
Припустимо, що сторони АВ та ВС мережі, поданій рисунком 5.4 не є тверді
Тоді умовне рівняння сторін у загальному вигляді запишеться аналогі
рівнянню (5.118), а лінійне рівняння поправок буде таким:
- ^
£
-+b
ii
ctg(li)-b
2+ii
ctg(2 + 3i) + W = 0,
Uab) VBC) '=' '=°
(U)-nsin(30
де W = ^ ^ 1.
(І
вс
)
•
п sin(2 + 30
•
sin(2 + Зі)
1=0
Перейдемо до розгляду умовних рівнянь у мережах нівелювання. Відзнач
що в цих мережах як для умов полігонів так і для умов твердих реперів
yw.
рівняння в загальному вигляді є лінійними. Тому немає потреби їх лінеаризуі
Для мережі нівелювання, зображеній на рисунку 5.5, незалежні умовні рівн
полігонів у загальному вигляді запишуться так:
[hj-[h
l
] +
[h
5
]
= 0,
[/g-[/g-[/g = o,
[h
2
]-[h
l
] + [hj-[h
3
] = 0,
а умовні рівняння поправок матимуть вигляд
у
2
-У, + У
5
+Ж, = 0,
v
4
-V
3
-V
5
+^
2
= 0,
V
2
-V
1
+ V
4
-V
3
+ W
3
= 0,
де W
]
= (h
2
) - (1г+ (//.); W
2
= (h
4
) - (h
}
) - (h)- W
}
= (h
2
) - (h,) + (h
4
) - (Л,); [Л.],
врівноважені та виміряні перевищення; v., і =
1,5
- поправки до перевищен
Якщо розглянути мережу нівелювання, зображену рисунком 5.6, то уі
рівняння твердих реперів у загальному вигляді буде таким:
а умовне рівняння поправок запишеться у вигляді
v, - v
2
- v
3
+ v
4
- v
5
+ W- 0.
346
Розділ V
Тут W = H
Rp ]
- H
Rp l
+ (Л,) - (h
2
) - (Л
3
) + (h
4
) - (h
5
); H
Rp2
, H
RpA
- висоти твердих
реперів.
§ 5.11. Вагові функції для геодезичних мереж
Одним із важливих пунктів задачі врівноваження є побудова вагової функції.
Як правило, в геодезичних мережах за вагову функцію приймають міру
майслабшого елемента, тобто довжину найвіддаленішої сторони від твердих
вихідних даних. При врівноваженні мереж нівелювання ваговою функцією є
висота репера, який найдальше знаходиться від вихідного твердого репера.
Так, для мережі нівелювання, зображеної на рисунку 5.11, ваговою функцією F
буде висота репера D, подана лінійною функцією
F=H
D
= [H
RpA
] + [h
i
} + [h
i
],
або
F=H
D
= [H
Rp2
}-[hJ + [h
6
].
Ввівши поправки v,, v
3
до перевищень h
v
h
v
її перепишемо як функцію
поправок
Рис. 5.11. Схема нівелірної мережі
Розглянемо таку геодезичну мережу:
«
Методи врівноваження багатьох виміряних величин З і
с
Рис. 5.12.
Схема
геодезичної мережі
Із рисунка 5.12 видно, що найвіддаленішою стороною від врівноважен
вихідних даних буде сторона DE. Отже, за вагову функцію Сприймемо довжи
цієї сторони. Виразимо довжину її через довжину твердої сторони АВ та кут
Для цього запишемо співвідношення для довжин сторін
I
DEI
I
DO
I I
BO
I
\DE\
\DO\ \ВО\
І
АВІ \АВ\
звідки, із використанням теореми синусів, отримаємо вираз для вагової функ:
F
=
|^H^l
sin[1]
-
sin[3]
-
sin[13]
sin[4]
*
sin[6]
•
sin[l 1]
Лінеаризуємо одержану вагову функцію F, для чого введемо nonpar
виміряних кутів № 1, 3, 4, 6, 11, 13 та в околах цих кутів функцію F розкладем
ряд Тейлора, обмежившись лінійними членами розкладу. Але для цього споча
-
знайдемо всі часткові похідні першого порядку функції F за вказаними кутаїу
F' = \AB\ с
0
^
1
)
5
'^
3
)^
13
) =\ЛВ\ sin(l)sin(3)sin(13) ^
1
sin(4)sin(6)sin(l 1) sin(4)sin(6)sin(ll)
cos(l)sin(3) sin(13) sin(l)sin(3)sin(13)
3
sin(4)sin(6)sin(l 1)
13
sin(4)sin(6)sin(l 1)
sin(l) sin(3) sin(l
3)
cos(4) sin(6) sin(l
1)
. . sin(l) sin(3) sin(l
3)
1 1 ; =
— \
AB\ <
sin (4) sin (6) sin (11) sin(4)sin(6)sin(l 1)
cos(l)sin(3)sin(13)
B
cos(l)sin(3)sin(13)
sin(4)sin(6)sin(l 1)
11
sin(4)sin(6)sin(l 1)
348
Розділ V
Врахувавши отримані вирази часткових похідних, лінеаризована вагова
функція F набуває вигляду
F=
F
0
( 1
+ v,c/g(l) + v
3
ctg(3) + v
l3
ctg( 13) - v
4
ctg(4) - v
6
ctg(6) - v
u
ctg( 11)),
де /г -| |.
0
sin(4)sin(6)sin(l 1)
або, ввівши позначення/ = F- F
Q
, остаточно отримаємо
/= Fp^tgil) + v
3
ctg(3) + v
13
cte(13) - v
4
ctg(4) - v
6
ctg(6) - v„c^(l 1)).
§ 5.12. Приклади врівноваження геодезичних
мереж корелатним методом
Приклад 1. Розглянемо задачу врівноваження геодезичного чотирикутника,
в якому при вершинах А, В, С, D між сторонами та діагоналями виміряно вісім
кутів (див. Рис.5.13). Сторона АС є твердою.
с
Рис. 5.13
Таблиця вихідних даних
№
кута
Значення виміряних кутів
№
кута
Градуси мінути
секунди
1
22 14
18,69
2
56 46
07,94
3 69
08
25,03
4
31
51
07,10
5
52
35 54,94
6 26
24
37,36
7
38
21
41,03
8 62
37
49,64
Методи врівноваження багатьох виміряних величин З і
2. Запишемо всі геометричні умови, що виникають у наведеній мережі,
а). Умови фігури
/,=£[0 = 180°
1=3
•
трикутника
/
2
=Ш + [2] + [7] +
[8]
= 180°
/з = £[/] = 180°
(=5
Л = £[/] = 180°
і=І
8 І
/
5
= X[г] = 360°
!•
- чотирикутника.
/=і
J
Дані умови є лінійно залежними. Навіть, якщо розглянути умови фіг)
трикутника, то можна отримати співвідношення
/з +/
4
-/, -f
2
= °>
яке говорить про їх лінійну залежність, або для умов фігур трикутника
чотирикутника рівність
2 А = Ь
І
1=1
вказує на лінійну залежність всіх умов фігури.
Але вже виконання нерівності
І//*0
і=і
говорить про лінійну незалежність трьох умов фігури,
б). Умови полюса
, _ sin[3]sin[l + 8]sin[5]
6
~sin[4 + 5]sin[2]sin[8]~
j. _ sin[l]sin[6 + 7]sin[3]
7
~sin[2 + 3]sin[8]sin[6]~
_ sin[7] sin[4 +
5]
sin[l] _ j
8
~ sin[l +
8]
sin[6]sin[4] ~
, _ sin[5]sin[2 + 3]sin[7] _
~ sin[6 +
7] sin[4]
sin[2]
_
350
Розділ V
Легко бачити, що для наведених умов має місце таке співвідношення:
f(,fi ~ fif у
із якого довільну величину /.(/ = 6,9) можна виразити через інші.
Таким чином, для даного геодезичного чотирикутника буде чотири
незалежних умови, три з яких є умовами фігури і одна - умовою полюса.
3. Складемо умовні рівняння фігури та рівняння поправок, які подамо
таблицею 5.2.
Таблиця
5.2
Трикут-
ник
№
кута
Значення виміряних кутів Умовні рівняння
Умовні
Трикут-
ник
№
кута
градуси мінути секунди
в загальному
вигляді
рівняння
поправок
1
2
22
56
14
46
18,69
07,94
і V,.-1,24 = 0
ABC
3
4
69
31
08
51
25,03
07,10
І[І]-180° = 0
/=і
2
W,
179 59
58,76
-01,24
Щ = X (0-180°
f=i
3
4
69
31
08
51
25,03
07,10
Sv, +4,43 = 0
BCD
5
6
52
26
35
24
54,94
37,36
£[;'] -180° =0
і=3
1=3
2
W
2
180
00
04,43
04,43
^
2
= І (0-180°
і=3
5
6
52
26
35
24
54,94
37,36
і V,.+2,94 = 0
CDA
7
8
38
62
21
37
41,03
49,64
І[/]-180° = 0
і=5
'=5
E
W
3
180 00
02,97
02,94
Щ = 1(0-180°
/=5
4. Прийнявши за полюс точку О перетину діагоналей геодезичного
чотирикутника, запишемо умовне полюсне рівняння в загальному вигляді
П sin[2/ -1]
^
1
= ^4. (5.119)
П sin[2/]
і=і
або, лінеаризувавши його із використанням співвідношення (5.81), отримаємо
відповідне умовне лінійне рівняння поправок
Іv
2M
ctg(2i-1)- iv
2i
ctg(2i) + W
4
=0.
і=1 /=1
(5.120)
Методи врівноваження багатьох виміряних величин З і
П sin(2i
—
1)
Тутж
4
=Ь1_ 1.
ГЬіп(20
і=І
Для обчислення коефіцієнтів рівняння поправок (5.120) побудуємо таблицю
Таблиця
№ Значення
ctg і
Значеним
кута і-го кута
sin і
COS ( ctg і
косфіціси
І
1
22° 14'18,69"
0,378463246 0,925616320
2,445723144
2,45
3
69°08'25,03"
0,934455075
0,356081048 0,381057429
0,38
5
52°35'54,94"
0,794399720
0,607395328
0,764596604 0,76
7
38°2Ґ41,03"
0,620619629 0,784111775
1,263433734
1,26
П
0,174359946
2
56°46'07,94"
0,836466709
0,548017742
0,655157864 0,66
4
31°5Г07,10"
0,527726505
0,849414349
1,609573029 1,61
6
26°24'37,36"
0,444797409 0,895631210
2,013571104 2,01
8
62°37'49,64"
0,888059879 0,459727802
0,517676581
0,52
П
0,174366105
Обчислимо нев'язку fV
4
=
0,174359946
-1 •р" = -0,0000353222 -20626
0,174366105
0 V •
= -7,29 та перепишемо рівняння поправок (5.119) із обчисленими значенії
коефіцієнтів
2,45у, - 0,66v
2
+ 0,38v
3
- l,61v
4
+ 0,76v
5
-
- 2,01v
6
+ 1,26V
7
- 0,52V
8
- 7,29 = 0.
5. Побудуємо вагову функцію, якою буде довжина діагоналі BD геодезичі
чотирикутника. Запишемо таке співвідношення для довжин сторін та діагон
чотирикутника:
(5.і:
І
BD
І
\АС
І І
AD
І
= 1,
\АС\ \AD\
I
BD
звідки, із використанням теореми синусів, матимемо
1
BP
I
sin[6 + 7] sin[2] _
\АС\ sin[5] sin[l + 8] ~ '
або|^НМС1
5ІП[5]8ІП[1 + 81
.
sin[2]sin[6 + 7]
Отже вагова функція кутів №1,2,5,6,7,8 в загальному вигляді запишетьсі
352
Розділ V
F-\AC
j
sin
[
5
l
sin
[
1 + 8
]
sin[2]sin[6 + 7] '
Лінеаризувавши її аналогічно полюсному рівнянню (5.119), отримаємо
функцію поправок вказаних кутів
F
0
.(l + v
5
c/g(5) + (v, + v
8
)c?g(l + 8) - v
2
ctg(2) - (v
6
+ v
7
)cfc(6 + 7)),
fl
eF
0
=MCl
Sin(5)si
"
(1 + 8)
.
sin(2)sin(6
-(-
7)
Обчисливши котангенси відповідних кутів та
F
0
,
лінеаризована вагова функція
поправок F остаточно буде такою:
F= 1292,3495(1 + 0,76v
5
+ 0,09(v, + v
8
) - 0,66v
2
- 0,47(v
6
+ v
7
)). (5.122)
6. Коефіцієнти умовних лінійних рівнянь поправок, що є наведеними в таблиці 5.2,
рівняння (5.121) та вагової функції (5.122) подано таблицею 5.4.
Таблиця 5.4
№ кута
ь,
Сі d, F,
2
1 1
0
0 2,45
0,09 3,54
2 1
0
0 -0,66
-0,66 -0,31
3 1
1
0
0,38
0,00
2,38
4
1
1 0
-1,61
0,00
0,39
5
0
1
1
0,76
0,76 3,53
6
0
1
1 -2,01
-0,47
' -0,48
7
0
0
1
1,26
-0,47
1,79
8
0
0 1
-0,52
0,09
0,57
2
4
4 4
0,06
-0,65 11,41
7. Побудуємо таблицю коефіцієнтів нормального матричного рівняння
корелат.
Таблиця 5.5
b]
c]
d]
F\
21
la
4,00
2,00 0,00
0,56
-0,56
6,00
[b
4,00
2,00
-2,48
0,30 5,82
[с
4,00
-0,50
-0,09 5,41
id
15,65
1,54
14,77
[F 1,47
2,65
2
34,65
Нормальне матричне рівняння корелат будемо розв'язувати методом Ґаусса.
Для цього скористаємося компактною схемою однотипних операцій, яка
називається схемою Ґаусса-Дулітля (див. Додаток, табл.8). Процес розв'язування
за вказаною схемою зобразимо таблицею 5.6.