Сборник задач. /Аленицын А.Г., Благовещенский А.С., Лялинов М.А.,
Суханов В.В. -СПб.: СПБГУ, физический факультет. - 100 с.
Предлагаемый сборник задач и упражнений охватывает материал для практических занятий по математической физике. Он обобщает опыт, накопленный сотрудниками кафедры высшей математики и математической физики физического факультета Санкт-Петербургского государственного университета. Около половины задач сборника не являются оригинальными, они заимствованы из известных задачников (Л.И.Волковыского, Г.Л.Лунца и И.Г.Арамановича; Н.М.Гюнтера и Р.О.Кузьмина; М.А.Евграфова; В.С.Владимирова), ссылки на которые не приведены. Использованы также материалы из пособия "Методические указания к практическим занятиям по курсу математической физики, написанного сотрудниками кафедры. Подбор задач и их последовательность соответствуют курсу "Методы математической физики", читаемому на физическом факультете Санкт-Петербургского университета в первом и втором семестрах третьего курса. Сборник состоит из 5 глав, разбитых на параграфы. Нумерация параграфов сквозная по всему сборнику, причем полный номер задачи состоит из номера параграфа и номера задачи внутри параграфа, разделённых точкой. Некоторые более трудные задачи снабжены указаниями; для всех задач, кроме задач на доказательство, в конце каждого параграфа даны ответы. Несколько оригинальных задач (автор — А.С.Благовещенский) выделены в тексте в виде Дополнений. В каждом параграфе приведены определения, формулы и теоремы, нужные для решения задач. Во многих случаях кратко описаны методы решения. Сборник предназначен для студентов и преподавателей физических и физико-математических факультетов университетов и других высших учебных заведений.
Содержание
Функции комплексного переменного
Однозначные регулярные функции
Комплексные числа
Условия Коши-Римана
Степенные ряды. Ряд Тейлора
Интеграл по контуру на комплексной плоскости
Ряд Лорана. Особые точки функции
Вычеты и их применение
Принцип аргумента. Теорема Руше
Разложение функций в ряды простых дробей и в бесконечные произведения
Многозначные аналитические функции
Регулярные ветви
Римановы поверхности
Интегралы от многозначных функций
Конформные отображения
Дробно-линейная функция
Степенная функция
Функция Жуковского
Функции exp(z), ln(z), sin(z) и cos(z)
Интеграл Кристоффеля-Шварца
Применение конформных отображений в электростатике
Обобщенные функции
Пространство K основных функций
Пространство S основных функций
Регулярные и сингулярные обобщённые функции
Действия с обобщёнными функциями
Локальное поведение обобщённых функций
Основные и обобщённые функции многих переменных
Предельный переход в пространстве обобщённых функций. Обобщённые функции, зависящие от параметра
Свёртка
Дифференциальные уравнения с обобщёнными функциями
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Уравнения с частными производными
Фундаментальные решения
Преобразование Фурье
Дополнение
Дифференциальные уравнения математической физики
Классификация уравнений 2-го порядка
Метод разделения переменных (метод Фурье). Элементарные функции
Две независимых переменных
Три или четыре независимых переменных
Метод Даламбера для уравнения колебаний струны
Неограниченная струна
Ограниченная струна
Метод разделения переменных. Специальные функции
Цилиндрические функции
Сферические функции
Асимптотические разложения
Понятие асимптотического разложения
О-символика. Асимптотическая последовательность
Асимптотическое разложение функции
Асимптотика интегралов типа Лапласа
Монотонная фазовая функция
Фазовая функция с наибольшим значением внутри промежутка
Асимптотика интегралов типа Фурье
Монотонная фазовая функция
Немонотонная фазовая функция
Асимптотика кратных интегралов типа Фурье
Метод перевала
Дифференциальные уравнения в комплексной плоскости
Построение решений с помощью рядов
Неособые точки уравнения
Регулярная особая точка уравнения
Уравнения с линейными коэффициентами: построение решений методом Лапласа
Случай: А0 # 0
Случай: А0 = 0
Предлагаемый сборник задач и упражнений охватывает материал для практических занятий по математической физике. Он обобщает опыт, накопленный сотрудниками кафедры высшей математики и математической физики физического факультета Санкт-Петербургского государственного университета. Около половины задач сборника не являются оригинальными, они заимствованы из известных задачников (Л.И.Волковыского, Г.Л.Лунца и И.Г.Арамановича; Н.М.Гюнтера и Р.О.Кузьмина; М.А.Евграфова; В.С.Владимирова), ссылки на которые не приведены. Использованы также материалы из пособия "Методические указания к практическим занятиям по курсу математической физики, написанного сотрудниками кафедры. Подбор задач и их последовательность соответствуют курсу "Методы математической физики", читаемому на физическом факультете Санкт-Петербургского университета в первом и втором семестрах третьего курса. Сборник состоит из 5 глав, разбитых на параграфы. Нумерация параграфов сквозная по всему сборнику, причем полный номер задачи состоит из номера параграфа и номера задачи внутри параграфа, разделённых точкой. Некоторые более трудные задачи снабжены указаниями; для всех задач, кроме задач на доказательство, в конце каждого параграфа даны ответы. Несколько оригинальных задач (автор — А.С.Благовещенский) выделены в тексте в виде Дополнений. В каждом параграфе приведены определения, формулы и теоремы, нужные для решения задач. Во многих случаях кратко описаны методы решения. Сборник предназначен для студентов и преподавателей физических и физико-математических факультетов университетов и других высших учебных заведений.
Содержание
Функции комплексного переменного
Однозначные регулярные функции
Комплексные числа
Условия Коши-Римана
Степенные ряды. Ряд Тейлора
Интеграл по контуру на комплексной плоскости
Ряд Лорана. Особые точки функции
Вычеты и их применение
Принцип аргумента. Теорема Руше
Разложение функций в ряды простых дробей и в бесконечные произведения
Многозначные аналитические функции
Регулярные ветви
Римановы поверхности
Интегралы от многозначных функций
Конформные отображения
Дробно-линейная функция
Степенная функция
Функция Жуковского
Функции exp(z), ln(z), sin(z) и cos(z)
Интеграл Кристоффеля-Шварца
Применение конформных отображений в электростатике
Обобщенные функции
Пространство K основных функций
Пространство S основных функций
Регулярные и сингулярные обобщённые функции
Действия с обобщёнными функциями
Локальное поведение обобщённых функций
Основные и обобщённые функции многих переменных
Предельный переход в пространстве обобщённых функций. Обобщённые функции, зависящие от параметра
Свёртка
Дифференциальные уравнения с обобщёнными функциями
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Уравнения с частными производными
Фундаментальные решения
Преобразование Фурье
Дополнение
Дифференциальные уравнения математической физики
Классификация уравнений 2-го порядка
Метод разделения переменных (метод Фурье). Элементарные функции
Две независимых переменных
Три или четыре независимых переменных
Метод Даламбера для уравнения колебаний струны
Неограниченная струна
Ограниченная струна
Метод разделения переменных. Специальные функции
Цилиндрические функции
Сферические функции
Асимптотические разложения
Понятие асимптотического разложения
О-символика. Асимптотическая последовательность
Асимптотическое разложение функции
Асимптотика интегралов типа Лапласа
Монотонная фазовая функция
Фазовая функция с наибольшим значением внутри промежутка
Асимптотика интегралов типа Фурье
Монотонная фазовая функция
Немонотонная фазовая функция
Асимптотика кратных интегралов типа Фурье
Метод перевала
Дифференциальные уравнения в комплексной плоскости
Построение решений с помощью рядов
Неособые точки уравнения
Регулярная особая точка уравнения
Уравнения с линейными коэффициентами: построение решений методом Лапласа
Случай: А0 # 0
Случай: А0 = 0