М.: Просвещение, 1976. — 137 с.
Задачник-практикум предназначен для студентов-математиков заочных
отделений педагогических институтов. Он составлен в соответствии с
действующей программой курса «Математический анализ и теория
функций» и охватывает раздел «Теория аналитических функций».
Значительно большее внимание по сравнению с другими сборниками
подобного рода здесь уделено упражнениям, которые могут быть
использованы на факультативных занятиях в школе, и упражнениям,
позволяющим учителю более глубоко осмыслить отдельные вопросы
школьного курса математики.
Предисловие.
Комплексные числа и числовые ряды.
Комплексные числа и их геометрические истолкования на плоскости.
Комплексная числовая сфера и стереографическая проекция.
Комплексные числовые последовательности и ряды.
Функции комплексного переменного.
Кривые и области на комплексной плоскости.
Функции комплексного переменного и их геометрическое истолкование. Предел, непрерывность.
Понятие производной. Условия дифференцируемости. Понятие об аналитических и гармонических функциях. Понятие конформного отображения. Геометрический смысл модуля и аргумента производной.
Линейные и дробно-линейные функции.
Показательная и тригонометрические функции комплексного переменного.
Логарифмы комплексных чисел. Степень с произвольным показателем.
Примеры конформных отображений, даваемых элементарными функциями.
Степенные ряды и интеграл в комплексной области.
Степенные ряды.
Комплексные интегралы.
Интегральная формула Коши.
Разложение функций в ряд Тейлора.
Теорема единственности. Нули аналитических функций. Аналитическое продолжение.
Особые точки аналитических функций. Вычеты и их приложения.
Ряд Лорана.
Изолированные особые точки однозначной аналитической функции.
Поведение аналитической функции в бесконечности. Целые и мероморфные функции.
Вычеты и их приложения.
Ответы.
Комплексные числа и числовые ряды.
Комплексные числа и их геометрические истолкования на плоскости.
Комплексная числовая сфера и стереографическая проекция.
Комплексные числовые последовательности и ряды.
Функции комплексного переменного.
Кривые и области на комплексной плоскости.
Функции комплексного переменного и их геометрическое истолкование. Предел, непрерывность.
Понятие производной. Условия дифференцируемости. Понятие об аналитических и гармонических функциях. Понятие конформного отображения. Геометрический смысл модуля и аргумента производной.
Линейные и дробно-линейные функции.
Показательная и тригонометрические функции комплексного переменного.
Логарифмы комплексных чисел. Степень с произвольным показателем.
Примеры конформных отображений, даваемых элементарными функциями.
Степенные ряды и интеграл в комплексной области.
Степенные ряды.
Комплексные интегралы.
Интегральная формула Коши.
Разложение функций в ряд Тейлора.
Теорема единственности. Нули аналитических функций. Аналитическое продолжение.
Особые точки аналитических функций. Вычеты и их приложения.
Ряд Лорана.
Изолированные особые точки однозначной аналитической функции.
Поведение аналитической функции в бесконечности. Целые и мероморфные функции.
Вычеты и их приложения.
Ответы.