В архиве содержатся рукописные ответы на билеты к
экзамену по комплексному анализу,Механико-Математический факультет
МГУ,3-ий поток, зима 2011
Билет 1
1. Комплексные числа. Полярное представление.
2. Принцип максимума модуля (две теоремы).
Билет 2
1. Пути и кривые в комплексной плоскости.
2. Описание группы автоморфизмов единичного круга, плоскости и расширенной комплексной плоскости.
Билет 3
1. Дробно-линейные функции. Групповое и круговое свойство.
2. Принцип сохранения области.
Билет 4
1. Дробно-линейные функции. Свойство симметрии и свойство трех точек.
2. Теорема Вейерштрасса о пределе последовательности голоморфных функций.
Билет 5
1. Дробно-линейные автоморфизмы комплексной плоскости и расширенной комплексной плоскости.
2. Теорема Гурвица.
Билет 6
1. Элементарные функции комплексного переменного: целые степени, корень квадратный.
2. Три эквивалентных определения голоморфной функции.
Билет 7
1. Элементарные функции комплексного переменного: экспонента, логарифм, тригонометрические и гиперболические функции.
2. Основная теорема алгебры.
Билет 8
1. R-дифференцируемость и C-дифференцируемость функций комплексного переменного.
2. Задача об аппроксимации голомофрных функций полиномами и рациональными дробями.
Билет 9
1. Конформные отображения. Конформность элементарных функций.
2. Лемма Жордана. Интегрирование преобразований Фурье от рациональных дробей.
Билет 10
1. Интеграл по кривой. Свойства интеграла вдоль пути.
2. Теорема Морера.
Билет 11
1. Лемма Гурса.
2. Описание целых и мероморфных функций с полюсом на бесконечности.
Билет 12
1. Первообразная вдоль пути.
2. Теорема Сохоцкого.
Билет 13
1. Теорема Коши о гомотопных путях.
2. Изолированные особые точки однозначного характера. Описание устранимых особых точек.
Билет 14
1. Существование первообразной в односвязной области.
2. Разложение голоморфной функции в ряд Тейлора.
Билет 15
1. Теорема Коши для многосвязной области (без строгого доказательства, но с идеей доказательства).
2. Изолированные особые точки однозначного характера. Описание полюсов.
Билет 16
1. Стереографическая проекция. Расстояния на комплексной плоскости.
2. Интегральная формула Коши.
Билет 17
1. Области. Связность и линейная связность.
2. Лемма Шварца.
Билет 18
1. Дробно-линейные автоморфизмы единичного круга и верхней полуплоскости.
2. Множество точек сходимости степенного ряда по целым степеням. Голоморфность суммы.
Билет 19
1. Элементарные функции комплексного переменного: функция Жуковского и обратная функция к функции Жуковского.
2. Голоморфность суммы степенного ряда по неотрицательным степеням.
Билет 20
1. Производная по направлению. Геометрический смысл производной.
2. Теорема Коши о вычетах.
Билет 21
1. Существование первообразной в круге.
2. Представление голоморфной функции в окрестности своего нуля.
Билет 22
1. Формула Ньютона-Лейбница.
2. Теорема единственности для голоморфных функций.
Билет 23
1. Множество точек сходимости степенного ряда по неотрицательным степеням.
2. Принцип аргумента (две теоремы).
Билет 24
1. Бесконечная дифференцируемость голоморфных функций.
2. Вычеты: определение и формулы подсчета.
Билет 25
1. Коэффициенты ряда Тейлора. Неравенства Коши. Теорема Лиувилля.
2. Теорема об обратной функции. Критерий локальной обратимости голоморфной функции.
Билет 26
1. Интегральная формула Коши для производных.
2. Теорема Руше.
Билет 27
1. Разложение голоморфной в кольце функции в ряд Лорана.
2. Интегрирование рациональных дробей по вещественной оси (в том числе, с использованием полувычетов).
1. Комплексные числа. Полярное представление.
2. Принцип максимума модуля (две теоремы).
Билет 2
1. Пути и кривые в комплексной плоскости.
2. Описание группы автоморфизмов единичного круга, плоскости и расширенной комплексной плоскости.
Билет 3
1. Дробно-линейные функции. Групповое и круговое свойство.
2. Принцип сохранения области.
Билет 4
1. Дробно-линейные функции. Свойство симметрии и свойство трех точек.
2. Теорема Вейерштрасса о пределе последовательности голоморфных функций.
Билет 5
1. Дробно-линейные автоморфизмы комплексной плоскости и расширенной комплексной плоскости.
2. Теорема Гурвица.
Билет 6
1. Элементарные функции комплексного переменного: целые степени, корень квадратный.
2. Три эквивалентных определения голоморфной функции.
Билет 7
1. Элементарные функции комплексного переменного: экспонента, логарифм, тригонометрические и гиперболические функции.
2. Основная теорема алгебры.
Билет 8
1. R-дифференцируемость и C-дифференцируемость функций комплексного переменного.
2. Задача об аппроксимации голомофрных функций полиномами и рациональными дробями.
Билет 9
1. Конформные отображения. Конформность элементарных функций.
2. Лемма Жордана. Интегрирование преобразований Фурье от рациональных дробей.
Билет 10
1. Интеграл по кривой. Свойства интеграла вдоль пути.
2. Теорема Морера.
Билет 11
1. Лемма Гурса.
2. Описание целых и мероморфных функций с полюсом на бесконечности.
Билет 12
1. Первообразная вдоль пути.
2. Теорема Сохоцкого.
Билет 13
1. Теорема Коши о гомотопных путях.
2. Изолированные особые точки однозначного характера. Описание устранимых особых точек.
Билет 14
1. Существование первообразной в односвязной области.
2. Разложение голоморфной функции в ряд Тейлора.
Билет 15
1. Теорема Коши для многосвязной области (без строгого доказательства, но с идеей доказательства).
2. Изолированные особые точки однозначного характера. Описание полюсов.
Билет 16
1. Стереографическая проекция. Расстояния на комплексной плоскости.
2. Интегральная формула Коши.
Билет 17
1. Области. Связность и линейная связность.
2. Лемма Шварца.
Билет 18
1. Дробно-линейные автоморфизмы единичного круга и верхней полуплоскости.
2. Множество точек сходимости степенного ряда по целым степеням. Голоморфность суммы.
Билет 19
1. Элементарные функции комплексного переменного: функция Жуковского и обратная функция к функции Жуковского.
2. Голоморфность суммы степенного ряда по неотрицательным степеням.
Билет 20
1. Производная по направлению. Геометрический смысл производной.
2. Теорема Коши о вычетах.
Билет 21
1. Существование первообразной в круге.
2. Представление голоморфной функции в окрестности своего нуля.
Билет 22
1. Формула Ньютона-Лейбница.
2. Теорема единственности для голоморфных функций.
Билет 23
1. Множество точек сходимости степенного ряда по неотрицательным степеням.
2. Принцип аргумента (две теоремы).
Билет 24
1. Бесконечная дифференцируемость голоморфных функций.
2. Вычеты: определение и формулы подсчета.
Билет 25
1. Коэффициенты ряда Тейлора. Неравенства Коши. Теорема Лиувилля.
2. Теорема об обратной функции. Критерий локальной обратимости голоморфной функции.
Билет 26
1. Интегральная формула Коши для производных.
2. Теорема Руше.
Билет 27
1. Разложение голоморфной в кольце функции в ряд Лорана.
2. Интегрирование рациональных дробей по вещественной оси (в том числе, с использованием полувычетов).