Современная математика. Фундаментальные направления. Том 13 (2005).
С. 1-135.
Эта монография посвящена исследованию в окрестности особых точек границы поведения сильных решений краевых задач для эллиптических уравнений второго порядка (линейных и квазилинейных) с коэффициентами, которые могут вырождаться в особых точках границы. Нашей главной целью является точное описание скорости убывания решений и нахождение неулучшаемых условий для этого. Вырожденные эллиптические уравнения возникают в теории малых изгибов поверхностей вращения, в теории оболочек и т. д. Такие уравнения играют значительную роль в газовой динамике. Содержание.
введение.
Предварительные сведения.
Список обозначений.
Элементарные неравенства.
Области с конической точкой.
Функция квазирасстояния rε и ее свойства.
Функциональные пространства.
Пространства функций, непрерывных по Дини.
Некоторые сведения из функционального анализа.
Задача Коши для дифференциального неравенства.
Дополнительные вспомогательные результаты.
Замечания.
Интегральные неравенства.
Классические неравенства Харди.
Неравенство Виртингера.
Неравенства типа Харди—Фридрихса—Виртингера.
Замечания.
Уравнение Пуассона в гладких областях.
Оценки Дини обобщенного ньютоновского потенциала.
Оценки Дини для первых производных слабых решений.
Оператор Лапласа в пространствах Соболева с весом.
Замечания.
Сильные решения задачи Дирихле для линейных уравнений.
Задача Дирихле в областях общего вида.
Задача Дирихле в конической области.
Однозначная разрешимость.
Замечания.
Сильные решения задачи Дирихле для квазилинейных уравнений в недивергентной форме.
Задача Дирихле в гладких областях.
Оценки вблизи конической точки.
Разрешимость.
Замечания.
Поведение слабых решений краевых задач для квазилинейных эллиптических уравнений с тройным вырождением в окрестности ребра.
Введение. Предположения.
Слабый принцип сравнения. Сильный принцип максимума Хопфа.
Ограниченность слабых решений.
Построение барьерной функции.
Оценки слабых решений в окрестности ребра.
Доказательство основной теоремы.
Замечания.
Список литературы.
Список основных обозначений.
Предметный указатель.
Эта монография посвящена исследованию в окрестности особых точек границы поведения сильных решений краевых задач для эллиптических уравнений второго порядка (линейных и квазилинейных) с коэффициентами, которые могут вырождаться в особых точках границы. Нашей главной целью является точное описание скорости убывания решений и нахождение неулучшаемых условий для этого. Вырожденные эллиптические уравнения возникают в теории малых изгибов поверхностей вращения, в теории оболочек и т. д. Такие уравнения играют значительную роль в газовой динамике. Содержание.
введение.
Предварительные сведения.
Список обозначений.
Элементарные неравенства.
Области с конической точкой.
Функция квазирасстояния rε и ее свойства.
Функциональные пространства.
Пространства функций, непрерывных по Дини.
Некоторые сведения из функционального анализа.
Задача Коши для дифференциального неравенства.
Дополнительные вспомогательные результаты.
Замечания.
Интегральные неравенства.
Классические неравенства Харди.
Неравенство Виртингера.
Неравенства типа Харди—Фридрихса—Виртингера.
Замечания.
Уравнение Пуассона в гладких областях.
Оценки Дини обобщенного ньютоновского потенциала.
Оценки Дини для первых производных слабых решений.
Оператор Лапласа в пространствах Соболева с весом.
Замечания.
Сильные решения задачи Дирихле для линейных уравнений.
Задача Дирихле в областях общего вида.
Задача Дирихле в конической области.
Однозначная разрешимость.
Замечания.
Сильные решения задачи Дирихле для квазилинейных уравнений в недивергентной форме.
Задача Дирихле в гладких областях.
Оценки вблизи конической точки.
Разрешимость.
Замечания.
Поведение слабых решений краевых задач для квазилинейных эллиптических уравнений с тройным вырождением в окрестности ребра.
Введение. Предположения.
Слабый принцип сравнения. Сильный принцип максимума Хопфа.
Ограниченность слабых решений.
Построение барьерной функции.
Оценки слабых решений в окрестности ребра.
Доказательство основной теоремы.
Замечания.
Список литературы.
Список основных обозначений.
Предметный указатель.