Москва: МЦНМО, 2009. — ISBN 978-5-94057-252-7.
Для освоения теории вероятностей и математической статистики
тренировка в решении задач и выработка интуиции важны не меньше,
чем изучение доказательств теорем; большое разнообразие задач по
этому предмету затрудняет студентам переход от лекций к
экзаменационным задачам, а от них к практике. Специфический предмет
этого тома, цепи Маркова и их применения, переживает последнее
время большой подъем. Многие замечательные теоретические результаты
были получены в этой области, которая долгое время рассматривалась
многими специалистами как мертвая зона. Активную роль в развитии
этой области играют именно прикладные исследования. Предмет этой
книги критически важен как для современных приложений (финансовая
математика, менеджмент, телекоммуникации, обработка сигналов,
биоинформатика), так и для приложений классических (актуарная
математика, социология, инженерия). Авторы собрали большое
количество упражнений, снабженных полными решениями. Эти решения
адаптированы к нуждам и умениям учащихся. Необходимые теоретические
сведения приводятся по ходу изложения; кроме того, текст снабжен
историческими отступлениями.
Цепи Маркова с дискретным временем.
Марковское свойство и немедленные следствия из него.
Разбиение состояний на классы.
Времена и вероятности достижения.
Строго марковское свойство.
Возвратность и невозвратность: определения и основные факты.
Возвратность и невозвратность: случайные блуждания на кубических решетках.
Инвариантные распределения: определения и основные факты. Положительная и нулевая возвратность. I.
Положительная и нулевая возвратность. II.
Сходимость к положению равновесия. Предельные пропорции.
Детальный баланс и обратимость.
Управляемые и частично наблюдаемые цепи Маркова.
Геометрическая алгебра цепей Маркова, I. Собственные значения и спектральные щели.
Геометрическая алгебра цепей Маркова, II. Случайные блуждания на графах.
Геометрическая алгебра цепей Маркова, III. Границы Пуанкаре и Чигера.
Большие уклонения для цепей Маркова с дискретным временем.
Вопросы по теории цепей Маркова с дискретным временем на экзаменах «Математические треножники» в Кембриджском университете. Цепи Маркова с непрерывным временем.
Матрицы перехода и Q-матрицы.
Марковские цепи с непрерывным временем: определения и основные конструкции. Марковское и строго марковское свойства.
Процесс Пуассона.
Неоднородный процесс Пуассона.
Процессы рождения и гибели. Взрыв.
Инвариантные распределения счетных цепей Маркова. Цепь скачков.
Времена и вероятности достижения. Возвратность и невозвратность. Положительная и нулевая возвратность.
Сходимость к инвариантному распределению. Обратимость.
Применения к теории очередей. Марковские очереди.
Ветвящиеся процессы с непрерывным временем. Марковские процессы миграции и сети с очередями Джексона.
Большие уклонения для цепей Маркова с непрерывным временем.
Вопросы к теории цепей Маркова с непрерывным временем, заданные на экзаменах «Математические треножники» в Кембриджском университете. Статистика цепей Маркова с дискретным временем.
Введение.
Функции правдоподобия, I. Оценки максимального правдоподобия.
Состоятельность оценок. Различные виды сходимости.
Функции правдоподобия, II. Формула Уиттла.
Байесовский анализ цепей Маркова: априорные и апостериорные распределения.
Элементы теории управления и теории информации.
Скрытые марковские модели, I. Оценивание состояний марковских цепей.
Скрытые марковские модели, II. Обучающий алгоритм Баума-Уэлча.
Обобщения алгоритма Баума-Уэлча. Глобальная сходимость итераций. Приложение I. Андрей Андреевич Марков и его время.
Приложение II. Пирсон, Максвелл и другие знаменитые Кембриджские лауреаты: уроки, которые следует усвоить.
Список литературы
Марковское свойство и немедленные следствия из него.
Разбиение состояний на классы.
Времена и вероятности достижения.
Строго марковское свойство.
Возвратность и невозвратность: определения и основные факты.
Возвратность и невозвратность: случайные блуждания на кубических решетках.
Инвариантные распределения: определения и основные факты. Положительная и нулевая возвратность. I.
Положительная и нулевая возвратность. II.
Сходимость к положению равновесия. Предельные пропорции.
Детальный баланс и обратимость.
Управляемые и частично наблюдаемые цепи Маркова.
Геометрическая алгебра цепей Маркова, I. Собственные значения и спектральные щели.
Геометрическая алгебра цепей Маркова, II. Случайные блуждания на графах.
Геометрическая алгебра цепей Маркова, III. Границы Пуанкаре и Чигера.
Большие уклонения для цепей Маркова с дискретным временем.
Вопросы по теории цепей Маркова с дискретным временем на экзаменах «Математические треножники» в Кембриджском университете. Цепи Маркова с непрерывным временем.
Матрицы перехода и Q-матрицы.
Марковские цепи с непрерывным временем: определения и основные конструкции. Марковское и строго марковское свойства.
Процесс Пуассона.
Неоднородный процесс Пуассона.
Процессы рождения и гибели. Взрыв.
Инвариантные распределения счетных цепей Маркова. Цепь скачков.
Времена и вероятности достижения. Возвратность и невозвратность. Положительная и нулевая возвратность.
Сходимость к инвариантному распределению. Обратимость.
Применения к теории очередей. Марковские очереди.
Ветвящиеся процессы с непрерывным временем. Марковские процессы миграции и сети с очередями Джексона.
Большие уклонения для цепей Маркова с непрерывным временем.
Вопросы к теории цепей Маркова с непрерывным временем, заданные на экзаменах «Математические треножники» в Кембриджском университете. Статистика цепей Маркова с дискретным временем.
Введение.
Функции правдоподобия, I. Оценки максимального правдоподобия.
Состоятельность оценок. Различные виды сходимости.
Функции правдоподобия, II. Формула Уиттла.
Байесовский анализ цепей Маркова: априорные и апостериорные распределения.
Элементы теории управления и теории информации.
Скрытые марковские модели, I. Оценивание состояний марковских цепей.
Скрытые марковские модели, II. Обучающий алгоритм Баума-Уэлча.
Обобщения алгоритма Баума-Уэлча. Глобальная сходимость итераций. Приложение I. Андрей Андреевич Марков и его время.
Приложение II. Пирсон, Максвелл и другие знаменитые Кембриджские лауреаты: уроки, которые следует усвоить.
Список литературы