М.: МИФИ, 2007
Во второй части рассматриваются: метод интегральных преобразований,
формула Пуассона для уравнения теплопроводности, фундаментальное
решение уравнения Лапласа, функция Грина, объемный потенциал,
функции Бесселя, метод Фурье для уравнения Лапласа в шаре и
сферические функции. Также даны образцы домашних заданий и описания
лабораторных работ.
Данное пособие ориентировано на студентов факультета К, однако будет полезно всем, кто изучает курс математической физики.
Оглавление (13 глав):
Преобразование Фурье для задач УМФ
Основные сведения о преобразовании Фурье
Примеры решения задач
Многомерное преобразование Фурье для задач УМФ
Двумерное преобразование Фурье для задач УМФ
Примеры решения задач
Фундаментальное решение уравнения Лапласа
Оператор Лапласа в криволинейных координатах
Двумерный случай
Трехмерный случай
n-мерный случай
Примеры решения задач
Формулы Грина
Первая формула Грина
Вторая формула Грина
Основная формула Грина
Дельта-функция Дирака
Уравнение Пуассона для фундаментального решения
Функция Грина задачи Дирихле для уравнения Лапласа
Примеры решения задач
Метод электростатических изображений (метод отражений)
Физическая интерпретация для R³
Алгоритм
Алгоритм для случая n = 2
Алгоритм для случая n = 3
Примеры решения задач
Введение в теорию потенциала
Объемный потенциал. Определение и свойства
Примеры решения задач
Теоремы Ньютона
Примеры решения задач
Задача для уравнения теплопроводности в шаре. Сферически симметричный случай
Постановка 1-й, 2-й и 3-й краевых задач в шаре
Соерические координаты
1-я краевая задача в соерических координатах
Примеры решения задач
Применение цилиндрических функций
Рекуррентные формулы для цилиндрических функций
Интегральные формулы для цилиндрических функций
Поведение оункций Бесселя и Неймана
Задачи Штурма-Лиувилля для уравнения Бесселя на [0, R]
Задача Штурма-Лиувилля для уравнения Бесселя на [a, b]
Примеры решения задач
Применение сферических функций
Полиномы Лежандра
Присоединенные функции Лежандра
Уравнение Лапласа в шаре
Внутренняя задача Дирихле для уравнения Лапласа
Внешняя задача Дирихле для уравнения Лапласа
Примеры решения задач
Уравнение теплопроводности в сферических координатах
Задача об остывании шара
Дополнение к разделу Дифференцирование обобщенных функций
Дополнение к разделу Подробно о цилиндрических функциях. Некоторые доказательства
Определение и взаимосвязь цилиндрических функций
Рекуррентные формулы для цилиндрических функций
Интегральные формулы для функций Бесселя
Поведение функций Бесселя и Неймана
Скалярное произведение, ортогональность и норма функций Бесселя
Задачи Штурма-Лиувилля для уравнения Бесселя на [0, 1]
Задачи Штурма-Лиувилля для уравнения Бесселя на [0, R]
Задачи Штурма-Лиувилля для уравнения Бесселя на [a, b]
Примерные домашние задания и лабораторные работы
Список литературы
Данное пособие ориентировано на студентов факультета К, однако будет полезно всем, кто изучает курс математической физики.
Оглавление (13 глав):
Преобразование Фурье для задач УМФ
Основные сведения о преобразовании Фурье
Примеры решения задач
Многомерное преобразование Фурье для задач УМФ
Двумерное преобразование Фурье для задач УМФ
Примеры решения задач
Фундаментальное решение уравнения Лапласа
Оператор Лапласа в криволинейных координатах
Двумерный случай
Трехмерный случай
n-мерный случай
Примеры решения задач
Формулы Грина
Первая формула Грина
Вторая формула Грина
Основная формула Грина
Дельта-функция Дирака
Уравнение Пуассона для фундаментального решения
Функция Грина задачи Дирихле для уравнения Лапласа
Примеры решения задач
Метод электростатических изображений (метод отражений)
Физическая интерпретация для R³
Алгоритм
Алгоритм для случая n = 2
Алгоритм для случая n = 3
Примеры решения задач
Введение в теорию потенциала
Объемный потенциал. Определение и свойства
Примеры решения задач
Теоремы Ньютона
Примеры решения задач
Задача для уравнения теплопроводности в шаре. Сферически симметричный случай
Постановка 1-й, 2-й и 3-й краевых задач в шаре
Соерические координаты
1-я краевая задача в соерических координатах
Примеры решения задач
Применение цилиндрических функций
Рекуррентные формулы для цилиндрических функций
Интегральные формулы для цилиндрических функций
Поведение оункций Бесселя и Неймана
Задачи Штурма-Лиувилля для уравнения Бесселя на [0, R]
Задача Штурма-Лиувилля для уравнения Бесселя на [a, b]
Примеры решения задач
Применение сферических функций
Полиномы Лежандра
Присоединенные функции Лежандра
Уравнение Лапласа в шаре
Внутренняя задача Дирихле для уравнения Лапласа
Внешняя задача Дирихле для уравнения Лапласа
Примеры решения задач
Уравнение теплопроводности в сферических координатах
Задача об остывании шара
Дополнение к разделу Дифференцирование обобщенных функций
Дополнение к разделу Подробно о цилиндрических функциях. Некоторые доказательства
Определение и взаимосвязь цилиндрических функций
Рекуррентные формулы для цилиндрических функций
Интегральные формулы для функций Бесселя
Поведение функций Бесселя и Неймана
Скалярное произведение, ортогональность и норма функций Бесселя
Задачи Штурма-Лиувилля для уравнения Бесселя на [0, 1]
Задачи Штурма-Лиувилля для уравнения Бесселя на [0, R]
Задачи Штурма-Лиувилля для уравнения Бесселя на [a, b]
Примерные домашние задания и лабораторные работы
Список литературы