Математика
  • формат djvu
  • размер 6,12 МБ
  • добавлен 05 июля 2016 г.
Курант Р. Геометрическая теория функций комплексной переменной
Учебник для вузов. — Пер. с 3-го нем. издания под ред. Н.Е. Кочина. — Л.-М.: ОНТИ, 1934. — 372 с.

При развитии теории функций можно характеризовать аналитические функции такими свойствами, которые опираются на геометрические представления и позволяют с большей легкостью, чем степенные ряды, обозреть поведение функции в целом. Построение теории функций с такой точки зрения примыкает в основном к работам Римана, проложившим новые пути и основанным не только на геометрических, но и на физических представлениях.
Целью настоящей книги и является: дать вводный обзор этой "геометрической теории функций".
Предварительные понятия.
Комплексные числа.
Основные геометрические понятия.
Криволинейные интегралы.
Основы теории аналитических функций.
Условие дифференцируемости.
Обратная функция.
Определенный интеграл аналитической функции.
Теорема Коши.
Интегралы в многосвязных областях.
Примеры. Элементарные функции.
Интегральная формула Коши.
Конформное отображение.
Следствия интегральной формулы Коши.
Теорема о среднем арифметическом. Принцип максимума и лемма Шварца.
Некоторые неравенства. Теорема Лиувилля.
Равномерная сходимость. Теорема Вейерштрасса.
Ряды Тэйлора и Лорана.
Приложения теоремы Коши и теоремы о вычетах.
Принцип сходимости для аналитических функций.
Связь с теорией потенциала.
Представление аналитических и гармонических функций интегралов Пуассона.
Следствия.
Решение предельной задачи теории потенциала для круга.
Граничные значения аналитической функции.
Потоки.
Специальные функции и их особые точки.
Особые точки и точки скрещивания.
Наглядное представление особых простейших точек и точек скрещивания.
Линейные функции.
Функция ζ=zn.
Функция ζ=1/2(z+1/z).
Логарифмическая и показательная функции.
Тригонометрические функции.
Степенная функция с произвольным показателем степени. Круговые двуугольники.
Добавление. Геометрическое значение в пространстве линейных подстановок.
Аналитическое продолжение и поверхности Римана.
Понятие аналитического продолжения.
Принцип непрерывности и принцип симметрии.
Римановы поверхности аналитических функций.
Алгебраические функции.
Конформное отображение односвязных однолистных областей.
Предварительные замечания и вспомогательные теоремы.
Доказательство теоремы Римана о конформном отображении.
Теорема однозначности.
Соответствие между контурами при конформном отображений.
Функция Грина и предельная задача теории потенциала.
Знакопеременная метода Шварца. Свойства непрерывности отображающих функций.
Теоремы искажения.
Приложения принципа максимума.
Специальные конформные отображения.
Отображение произвольного многоугольника.
Функции прямолинейного треугольника.
Отображение прямоугольника. Эллиптические функции.
Модулярные и автоморфные функции.
Теорема Пикара.
Другое доказательство теоремы Пикара.
Отображение функции круговых многоугольников, как решение дифференциальных уравнений.
Обобщение теоремы Римана. Принцип Дирихле.
Эвристические изыскания. Плоскость с надрезами.
Интеграл Дирихле и формула Грина.
Принцип Дирихле.
Постановка задачи в общем виде.
Предельная задача и минимальный принцип для круга.
Леммы.
Решение минимальной задачи для специальных областей.
Непрерывная зависимость потенциалов потока от области. Решение общей минимальной задачи.
Конформное отображение на плоскость с надрезами.
Единственность конформного отображения на плоскость с надрезами.
Дальнейшие теоремы существования теории функций.
Analysis situs алгебраических Римановых поверхностей.
Абелевы интегралы и алгебраические функции на заданной Римановой поверхности.
Существование автоморфных функций с данной фундаментальной областью.
Униформизация алгебраических и аналитических функций посредством автоморфных функций с предельным кругом.
Конформное отображение подобных однолистных областей на круговые области. Теорема об униформизации с возвратными сечениями.
Модули области, подобной однолистной.
Общее понятие Римановой поверхности.
Исторические указания к последним главам.