М.: Наука, 1970. — 512 с. Изд. 2-е, переработанное и дополненное.
17 рис, библ. 202 названия.
В книге изложено современное состояние общей теории вариационных
методов для линейных задач и дан ряд приложений этой теории к более
конкретным классам задач математической физики и теории упругости.
Изложение базируется на элементах теории гильбертовых пространств;
необходимые факты этой теории сообщаются без доказательств.
Развивается энергетический метод для положительных и положительно
определенных задач; этот метод конкретизируется для ряда одно- и
многомерных задач математической физики. Изложен процесс Ритца для
краевых задач и для задач о спектре; подробно исследована
сходимость процесса Ритца. Даны априорные и апостериорные оценки
погрешности приближетюго решения. Апостериорные оценки связаны с
использованием «встречных методов», из которых обстоятельно
рассмотрены метод ортогональных проекций и метод Трефтца.
Существенно расширен вопрос о двусторонних оценках собственных
чисел. Здесь большое внимание уделено весьма интересным результатам
Г. Фикера и А. Вайнштейна.
Оглавление.
Предисловие ко второму изданию.
Из предисловия к первому изданию.
Введение. Исторический очерк. Гильбертово пространство.
Интеграл Лебега.
Гильбертово пространство.
Предельный переход в гильбертовых пространствах.
Ортогональность и ортогональные ряды. Подпространства.
Функционалы и операторы.
Вполне непрерывные операторы. Энергетическое пространство.
Краевая задача н ее оператор.
Положительные н положительно определенные операторы.
Энергетическое пространство положительно определенного оператора.
Энергетическое пространство только положительного оператора.
О сепарабельности энергетического пространства.
Главные и естественные краевые условия. Энергетический метод для положительно определенных операторов.
Теорема о функционале энергии.
Обобщенное решение задачи о минимуме функционала энергии.
Минимизирующая последовательность и ее сходимость.
Расширение положительно определенного оператора.
Процесс Рнтца.
Другие методы построения минимизирующей последовательности.
Метод сеток. Вариационно-разностные схемы.
Более общая задача о минимуме квадратичного функционала. Важнейшие применения энергетического метода.
Краевые задачи для обыкновенного дифференциального уравнения.
Изгиб балки переменного сечения, лежащей па упругом основании.
Системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Основные краевые задачи для неоднородного уравнения Лапласа.
Случай неоднородных краевых условий.
Задачи о кручении стержня и об изгибе стержня поперечной силой.
Уравнения с переменными коэффициентами.
Вырождающиеся эллиптические уравнения.
Принцип минимума потенциальной энергии в теории упругости.
Изгиб тонких пластинок.
Изгиб тонких сжатых пластинок.
Метод минимальных поверхностных интегралов. Энергетический метод для только положительных операторов.
Решения с конечной энергией.
Процесс Ритца.
Эллиптические уравнения в бесконечной области.
Вырождающиеся эллиптические уравнения в конечной области.
Пластинка переменной толщины с острым краем. Проблема собственных чисел.
Задача о собственных числах; ее связь с задачами о собственных колебаниях и об устойчивости системы.
Собственные числа и собственные элементы симметричного оператора.
Энергетические теоремы в проблеме собственных чисел.
Минимаксимальный принцип.
Процесс Ритца в проблеме собственных чисел.
Другая форма процесса Ритца; случай естественных краевых условий.
Уравнения вида Au-kBu=0.
Собственные числа обыкновенного дифференциального уравнения.
Устойчивость сжатого стержня.
Собственные числа невырождающихся эллиптических операторов.
Собственные числа вырождающегося эллиптического оператора.
Устойчивость сжатой пластинки.
Собственные частоты пластинки с острым краем.
Собственные колебания упругих тел. Априорная оценка погрешности приближенного решения.
Оценки через наилучшее приближение.
Проекционная схема.
Применение к процессу Ритца.
О норме производной полинома.
Полиномиальные приближения для обыкновенного дифференциального уравнения.
Полиномиальные приближения в многомерных пространствах.
Применение собственных элементов сходного оператора. Встречные методы и апостериорная оценка погрешности.
Метод ортогональных проекций в задаче Дирихле.
Общая формулировка метода ортогональных проекций.
Некоторые дополнительные соображения.
Задача Неймана.
Принцип Кастильяно и двусторонние оценки в теории упругости.
Метод Трефтца.
Бигармоническое уравнение. Метод негармонического остатка.
Обобщение метода Трефтца.
Применение к уравнению Пуассона.
Обобщение метода Трефтца на задачу об изгибе свободно опертой пластинки.
Прием М Г. Слободянского.
Двусторонние оценки функционалов
Оценка погрешности, проистекающей от ошибки в уравнении. Двусторонние оценки собственных чисел.
Теорема о приближениях по Ритцу.
Некоторые частные приемы.
Метод «промежуточных операторов».
Метод «промежуточных операторов» (продолжение).
Способы упрощения трансцендентного уравнения.
Метод Г. Фикера.
Применение к эллиптическим уравнениям.
Некоторые численные результаты. Численные примеры.
Построение координатных систем.
Об устойчивых координатных системах.
Кручение стержня прямоугольного сечения.
Изгиб прямоугольной пластинки, жестко закрепленной по краю.
Изгиб полукруглой пластинки, упруго закрепленной по краю.
Трехмерная задача теории упругости для полуцилиндра.
Вычисление собственных чисел обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка.
Собственные колебания стержня переменного сечения.
Радиальные собственные колебания упругого цилиндра.
Колебания упругой прямоугольной пластинки в ее плоскости.
Устойчивость сжатой эллиптической пластинки. Процесс Бубнова — Галеркина.
Описание процесса.
Доказательство сходимости для интегрального уравнения типа Фредгольма.
Достаточный признак сходимости процесса Бубнова — Галеркина.
Применение к обыкновенным дифференциальным уравнениям.
Задача Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка.
Вырождающиеся эллиптические уравнения.
Задача Неймана и смешанная задача для эллиптического уравнения второго порядка.
Видоизменение процесса Бубнова — Галеркина для случая естественных краевых условий.
Проекционный метод.
Процесс Бубнова — Галеркина в нестационарных задачах. Метод наименьших квадратов.
Основы метода.
Применение к интегральным уравнениям.
Применение к краевым задачам с однородными краевыми условиями.
Вспомогательные предложения теории аналитических функций.
Задача Дирихле и Неймана.
Задача Дирихле для эллипса.
Случай кусочно гладкого контура. Задача Дирихле.
Смешанная задача теории потенциала.
Плоская задача теории упругости.
Периодическая задача теории упругости.
Напряжения в упругой области, ограниченной синусоидой.
Об одном прямом методе, близком к методу наименьших квадратов.
Применение метода наименьших квадратов к отысканию собственных значений.
Пример. Литература.
Предметный указатель.
Из предисловия к первому изданию.
Введение. Исторический очерк. Гильбертово пространство.
Интеграл Лебега.
Гильбертово пространство.
Предельный переход в гильбертовых пространствах.
Ортогональность и ортогональные ряды. Подпространства.
Функционалы и операторы.
Вполне непрерывные операторы. Энергетическое пространство.
Краевая задача н ее оператор.
Положительные н положительно определенные операторы.
Энергетическое пространство положительно определенного оператора.
Энергетическое пространство только положительного оператора.
О сепарабельности энергетического пространства.
Главные и естественные краевые условия. Энергетический метод для положительно определенных операторов.
Теорема о функционале энергии.
Обобщенное решение задачи о минимуме функционала энергии.
Минимизирующая последовательность и ее сходимость.
Расширение положительно определенного оператора.
Процесс Рнтца.
Другие методы построения минимизирующей последовательности.
Метод сеток. Вариационно-разностные схемы.
Более общая задача о минимуме квадратичного функционала. Важнейшие применения энергетического метода.
Краевые задачи для обыкновенного дифференциального уравнения.
Изгиб балки переменного сечения, лежащей па упругом основании.
Системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Основные краевые задачи для неоднородного уравнения Лапласа.
Случай неоднородных краевых условий.
Задачи о кручении стержня и об изгибе стержня поперечной силой.
Уравнения с переменными коэффициентами.
Вырождающиеся эллиптические уравнения.
Принцип минимума потенциальной энергии в теории упругости.
Изгиб тонких пластинок.
Изгиб тонких сжатых пластинок.
Метод минимальных поверхностных интегралов. Энергетический метод для только положительных операторов.
Решения с конечной энергией.
Процесс Ритца.
Эллиптические уравнения в бесконечной области.
Вырождающиеся эллиптические уравнения в конечной области.
Пластинка переменной толщины с острым краем. Проблема собственных чисел.
Задача о собственных числах; ее связь с задачами о собственных колебаниях и об устойчивости системы.
Собственные числа и собственные элементы симметричного оператора.
Энергетические теоремы в проблеме собственных чисел.
Минимаксимальный принцип.
Процесс Ритца в проблеме собственных чисел.
Другая форма процесса Ритца; случай естественных краевых условий.
Уравнения вида Au-kBu=0.
Собственные числа обыкновенного дифференциального уравнения.
Устойчивость сжатого стержня.
Собственные числа невырождающихся эллиптических операторов.
Собственные числа вырождающегося эллиптического оператора.
Устойчивость сжатой пластинки.
Собственные частоты пластинки с острым краем.
Собственные колебания упругих тел. Априорная оценка погрешности приближенного решения.
Оценки через наилучшее приближение.
Проекционная схема.
Применение к процессу Ритца.
О норме производной полинома.
Полиномиальные приближения для обыкновенного дифференциального уравнения.
Полиномиальные приближения в многомерных пространствах.
Применение собственных элементов сходного оператора. Встречные методы и апостериорная оценка погрешности.
Метод ортогональных проекций в задаче Дирихле.
Общая формулировка метода ортогональных проекций.
Некоторые дополнительные соображения.
Задача Неймана.
Принцип Кастильяно и двусторонние оценки в теории упругости.
Метод Трефтца.
Бигармоническое уравнение. Метод негармонического остатка.
Обобщение метода Трефтца.
Применение к уравнению Пуассона.
Обобщение метода Трефтца на задачу об изгибе свободно опертой пластинки.
Прием М Г. Слободянского.
Двусторонние оценки функционалов
Оценка погрешности, проистекающей от ошибки в уравнении. Двусторонние оценки собственных чисел.
Теорема о приближениях по Ритцу.
Некоторые частные приемы.
Метод «промежуточных операторов».
Метод «промежуточных операторов» (продолжение).
Способы упрощения трансцендентного уравнения.
Метод Г. Фикера.
Применение к эллиптическим уравнениям.
Некоторые численные результаты. Численные примеры.
Построение координатных систем.
Об устойчивых координатных системах.
Кручение стержня прямоугольного сечения.
Изгиб прямоугольной пластинки, жестко закрепленной по краю.
Изгиб полукруглой пластинки, упруго закрепленной по краю.
Трехмерная задача теории упругости для полуцилиндра.
Вычисление собственных чисел обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка.
Собственные колебания стержня переменного сечения.
Радиальные собственные колебания упругого цилиндра.
Колебания упругой прямоугольной пластинки в ее плоскости.
Устойчивость сжатой эллиптической пластинки. Процесс Бубнова — Галеркина.
Описание процесса.
Доказательство сходимости для интегрального уравнения типа Фредгольма.
Достаточный признак сходимости процесса Бубнова — Галеркина.
Применение к обыкновенным дифференциальным уравнениям.
Задача Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка.
Вырождающиеся эллиптические уравнения.
Задача Неймана и смешанная задача для эллиптического уравнения второго порядка.
Видоизменение процесса Бубнова — Галеркина для случая естественных краевых условий.
Проекционный метод.
Процесс Бубнова — Галеркина в нестационарных задачах. Метод наименьших квадратов.
Основы метода.
Применение к интегральным уравнениям.
Применение к краевым задачам с однородными краевыми условиями.
Вспомогательные предложения теории аналитических функций.
Задача Дирихле и Неймана.
Задача Дирихле для эллипса.
Случай кусочно гладкого контура. Задача Дирихле.
Смешанная задача теории потенциала.
Плоская задача теории упругости.
Периодическая задача теории упругости.
Напряжения в упругой области, ограниченной синусоидой.
Об одном прямом методе, близком к методу наименьших квадратов.
Применение метода наименьших квадратов к отысканию собственных значений.
Пример. Литература.
Предметный указатель.