Учебник. — 15-е изд., стер. — СПб.: Лань, 2009. — 432 с.: ил. —
(Учебники для вузов. Специальная литература).
Учебник отличается строгостью выводов и простотой изложения
материала. Рассмотрены, в частности, следующие темы: конформные
отображения, линейные преобразования, интеграл Коши, теоремы Коши и
Пикара, ряды аналитических функций, ряды Лорана, особые точки,
вычеты, бесконечные произведения, аналитическое продолжение,
эллиптические функции.
В настоящей книге мы буде заниматься изучением свойств функций комплексного переменного z = x + y*(-1)1/2, где х и у суть действительные независимые переменные. Функции комплексного переменного находят себе многочисленные приложения, с одной стороны, в различных прикладных математических дисциплинах, как-то: теоретическая физика, гидродинамика, теория упругости, небесная механика, с другой стороны, в различных отделах чистой математики, как-то: алгебра, аналитическая теория чисел, дифференциальные уравнения и др. Кроме того, теория функций комплексного переменного представляет собою логически стройное и гармонически связное здание, и знакомство с основными вопросами этой теории, бесспорно, является необходимым элементом математического образования.
Учебник предназначен для студентов математических, физических и технических специальностей вузов. Предисловие
Введение Комплексные числа
Комплексные числа и действия над ними
Геометрическое изображение комплексных чисел. Теоремы о модуле и аргументе
Пределы
Числовая сфера. Бесконечно удалённая точка
Ряды
Упражнения Комплексное переменное и функции комплексного переменного
Функции комплексного переменного
Ряды функций
Степенные ряды
Дифференцирование функций комплексного переменного. Элементарные функции
Конформное отображение
Упражнения
Линейные и другие простейшие преобразования
Линейная функция
Линейные преобразования и геометрия Лобачевского
Некоторые элементарные функции и отображения, даваемые ими
Упражнения Теорема Коши. Интеграл Коши
Интегралы по комплексному переменному
Теорема Коши
Интеграл Коши
Упражнения
Ряды аналитических функций, разложение аналитической функции в степенной ряд
Равномерно сходящиеся ряды аналитических функций
Ряд Тейлора
Упражнения
Изолированные особые точки однозначной функции
Ряд Лорана
Классификация особых точек однозначной функции
Поведение аналитической функции в бесконечности
Простейшие классы аналитических функций
Приложения к гидродинамике
Упражнения
Теория вычетов
Общая теория вычетов
Приложения теории вычетов
Упражнения Теорема Пикара
Предложение Блоха
Теорема Ландау
Неравенство Шоттки
Общая теорема Пикара
Упражнения
Бесконечные произведения и приложения их к аналитическим функциям
Бесконечные произведения
Приложения бесконечных произведений к теории целых функций
Обобщение теоремы единственности аналитических функций
Упражнения
Аналитическое продолжение
Принцип аналитического продолжения
Примеры
Упражнения
Элементы теории эллиптических функций
Общие свойства эллиптических функций
Функции Вейерштрасса
Простейшие аналитические представления произвольной эллиптической функции
Функции σk
Эллиптические функции Якоби
Функции тэта
Представление эллиптических функций Якоби посредством функций тэта
Формулы сложения для эллиптических функций Якоби
Упражнения
Общие принципы теории конформного отображения
Условия, определяющие конформное отображение
Основные принципы теории конформного отображения
Общие преобразования единичного круга во внутреннюю область
Единственность аналитических функций
Конформные отображения на верхнюю полуплоскость областей, ограниченных линиями второго порядка
Конформное отображение односвязных областей
Соответствие границ при конформном отображении
Отображение прямоугольника и произвольного многоугольника на верхнюю полуплоскость
Упражнения
Общие свойства однолистных функций
Проблема коэффициентов
Границы выпуклости и звёздообразности
Свойства функций, дающих однолистные конформные отображения единичного круга на области специального вида
Экстремальные свойства функции, отображающей область на круг Предметный указатель
В настоящей книге мы буде заниматься изучением свойств функций комплексного переменного z = x + y*(-1)1/2, где х и у суть действительные независимые переменные. Функции комплексного переменного находят себе многочисленные приложения, с одной стороны, в различных прикладных математических дисциплинах, как-то: теоретическая физика, гидродинамика, теория упругости, небесная механика, с другой стороны, в различных отделах чистой математики, как-то: алгебра, аналитическая теория чисел, дифференциальные уравнения и др. Кроме того, теория функций комплексного переменного представляет собою логически стройное и гармонически связное здание, и знакомство с основными вопросами этой теории, бесспорно, является необходимым элементом математического образования.
Учебник предназначен для студентов математических, физических и технических специальностей вузов. Предисловие
Введение Комплексные числа
Комплексные числа и действия над ними
Геометрическое изображение комплексных чисел. Теоремы о модуле и аргументе
Пределы
Числовая сфера. Бесконечно удалённая точка
Ряды
Упражнения Комплексное переменное и функции комплексного переменного
Функции комплексного переменного
Ряды функций
Степенные ряды
Дифференцирование функций комплексного переменного. Элементарные функции
Конформное отображение
Упражнения
Линейные и другие простейшие преобразования
Линейная функция
Линейные преобразования и геометрия Лобачевского
Некоторые элементарные функции и отображения, даваемые ими
Упражнения Теорема Коши. Интеграл Коши
Интегралы по комплексному переменному
Теорема Коши
Интеграл Коши
Упражнения
Ряды аналитических функций, разложение аналитической функции в степенной ряд
Равномерно сходящиеся ряды аналитических функций
Ряд Тейлора
Упражнения
Изолированные особые точки однозначной функции
Ряд Лорана
Классификация особых точек однозначной функции
Поведение аналитической функции в бесконечности
Простейшие классы аналитических функций
Приложения к гидродинамике
Упражнения
Теория вычетов
Общая теория вычетов
Приложения теории вычетов
Упражнения Теорема Пикара
Предложение Блоха
Теорема Ландау
Неравенство Шоттки
Общая теорема Пикара
Упражнения
Бесконечные произведения и приложения их к аналитическим функциям
Бесконечные произведения
Приложения бесконечных произведений к теории целых функций
Обобщение теоремы единственности аналитических функций
Упражнения
Аналитическое продолжение
Принцип аналитического продолжения
Примеры
Упражнения
Элементы теории эллиптических функций
Общие свойства эллиптических функций
Функции Вейерштрасса
Простейшие аналитические представления произвольной эллиптической функции
Функции σk
Эллиптические функции Якоби
Функции тэта
Представление эллиптических функций Якоби посредством функций тэта
Формулы сложения для эллиптических функций Якоби
Упражнения
Общие принципы теории конформного отображения
Условия, определяющие конформное отображение
Основные принципы теории конформного отображения
Общие преобразования единичного круга во внутреннюю область
Единственность аналитических функций
Конформные отображения на верхнюю полуплоскость областей, ограниченных линиями второго порядка
Конформное отображение односвязных областей
Соответствие границ при конформном отображении
Отображение прямоугольника и произвольного многоугольника на верхнюю полуплоскость
Упражнения
Общие свойства однолистных функций
Проблема коэффициентов
Границы выпуклости и звёздообразности
Свойства функций, дающих однолистные конформные отображения единичного круга на области специального вида
Экстремальные свойства функции, отображающей область на круг Предметный указатель