Учебник. — М.: Наука, 1982. — 256 c.
В основу книги положен годовой курс лекций, читавшихся автором в
течение ряда лет на отделении математики механико-математического
факультета МГУ. Основные понятия и факты теории вероятностей
вводятся первоначально для конечной схемы. Математическое ожидание
в общем случае определяется так же, как интеграл Лебега, однако у
читателя не предполагается знание никаких предварительных сведений
об интегрировании по Лебегу. В книге содержатся следующие разделы:
независимые испытания и цепи Маркова, предельные теоремы Муавра -
Лапласа и Пуассона, случайные величины, характеристические и
производящие функции, закон больших чисел, центральная предельная
теорема, основные понятия математической статистики, проверка
статистических гипотез, статистические оценки, доверительные
интервалы. К важным достоинствам учебника следует также отнести
лаконичность изложения материала.
Для студентов младших курсов университетов и втузов, изучающих теорию вероятностей. Предисловие
Вероятностное пространство
Предмет теории вероятностей
События
Вероятностное пространство
Конечное вероятностное пространство. Классическое определение вероятности
Геометрические вероятности
Задачи
Условные вероятности. Независимость
Условные вероятности
Формула полной вероятности
Формулы Байеса
Независимость событий
Независимость разбиений, алгебр и а-алгебр
Независимые испытания
Задачи
Случайные величины (конечная схема)
Случайные величины. Индикаторы
Математическое ожидание
Многомерные законы распределения
Независимость случайных величин
Евклидово пространство случайных величин
Условные математические ожидания
Неравенство Чебышева. Закон больших чисел
Задачи
Предельные теоремы в схеме Бернулли
Биномиальное распределение
Теорема Пуассона
Локальная предельная теорема Муавра — Лапласа
Интегральная предельная теорема Муавра — Лапласа
Применения предельных теорем
Задачи
Цепи Маркова
Марковская зависимость испытании
Переходные вероятности
Теорема о предельных вероятностях
Задачи
Случайные величины (общий случай)
Случайные величины и их распределения
Многомерные распределения
Независимость случайных величин
Задачи
Математическое ожидание
Определение математического ожидания
Формулы для вычисления математического ожидания
Задачи
Производящие функции
Целочисленные случайные величины и их производящие функции
Факториальные моменты
Мультипликативное свойство
Теорема непрерывности
Ветвящиеся процессы
Задачи
Характеристические функции
Определение и простейшие свойства характеристических функций
Формулы обращения для характеристических функций
Теорема о непрерывном соответствии между множеством характеристических функций и множеством функций распределения
Задачи
Центральная предельная теорема
Центральная предельная теорема для одинаково распределенных независимых слагаемых
Теорема Ляпунова
Применения центральной предельной теоремы
Задачи
Многомерные характеристические функции
Определение и простейшие свойства
Формула обращения
Предельные теоремы для характеристических функций
Многомерное нормальное распределение и связанные с ним распределения
Задачи
Усиленный закон больших чисел
Лемма Бореля — Кантелли. Закон «0 или 1» Колмогорова
Различные виды сходимости случайных величин
Усиленный закон больших чисел
Задачи
Статистические данные
Основные задачи математической статистики
Выборочный метод
Задачи
Статистические критерии
Статистические гипотезы
Уровень значимости и мощность критерия
Оптимальный критерий Неймана — Пирсона
Оптимальные критерии для проверки гипотез о параметрах нормального и биномиального распределений
Критерии для проверки сложных гипотез
Непараметрические критерии
Задачи
Оценки параметров
Статистические оценки и их свойства
Условные законы распределения
Достаточные статистики
Эффективность оценок
Методы нахождения оценок
Задачи
Доверительные интервалы
Определение доверительных интервалов
Доверительные интервалы для параметров нормального распределения
Доверительные интервалы для вероятности успеха в схеме Бернулли
Задачи
Ответы к задачам
Таблицы нормального распределения
Литература
Предметный указатель
Для студентов младших курсов университетов и втузов, изучающих теорию вероятностей. Предисловие
Вероятностное пространство
Предмет теории вероятностей
События
Вероятностное пространство
Конечное вероятностное пространство. Классическое определение вероятности
Геометрические вероятности
Задачи
Условные вероятности. Независимость
Условные вероятности
Формула полной вероятности
Формулы Байеса
Независимость событий
Независимость разбиений, алгебр и а-алгебр
Независимые испытания
Задачи
Случайные величины (конечная схема)
Случайные величины. Индикаторы
Математическое ожидание
Многомерные законы распределения
Независимость случайных величин
Евклидово пространство случайных величин
Условные математические ожидания
Неравенство Чебышева. Закон больших чисел
Задачи
Предельные теоремы в схеме Бернулли
Биномиальное распределение
Теорема Пуассона
Локальная предельная теорема Муавра — Лапласа
Интегральная предельная теорема Муавра — Лапласа
Применения предельных теорем
Задачи
Цепи Маркова
Марковская зависимость испытании
Переходные вероятности
Теорема о предельных вероятностях
Задачи
Случайные величины (общий случай)
Случайные величины и их распределения
Многомерные распределения
Независимость случайных величин
Задачи
Математическое ожидание
Определение математического ожидания
Формулы для вычисления математического ожидания
Задачи
Производящие функции
Целочисленные случайные величины и их производящие функции
Факториальные моменты
Мультипликативное свойство
Теорема непрерывности
Ветвящиеся процессы
Задачи
Характеристические функции
Определение и простейшие свойства характеристических функций
Формулы обращения для характеристических функций
Теорема о непрерывном соответствии между множеством характеристических функций и множеством функций распределения
Задачи
Центральная предельная теорема
Центральная предельная теорема для одинаково распределенных независимых слагаемых
Теорема Ляпунова
Применения центральной предельной теоремы
Задачи
Многомерные характеристические функции
Определение и простейшие свойства
Формула обращения
Предельные теоремы для характеристических функций
Многомерное нормальное распределение и связанные с ним распределения
Задачи
Усиленный закон больших чисел
Лемма Бореля — Кантелли. Закон «0 или 1» Колмогорова
Различные виды сходимости случайных величин
Усиленный закон больших чисел
Задачи
Статистические данные
Основные задачи математической статистики
Выборочный метод
Задачи
Статистические критерии
Статистические гипотезы
Уровень значимости и мощность критерия
Оптимальный критерий Неймана — Пирсона
Оптимальные критерии для проверки гипотез о параметрах нормального и биномиального распределений
Критерии для проверки сложных гипотез
Непараметрические критерии
Задачи
Оценки параметров
Статистические оценки и их свойства
Условные законы распределения
Достаточные статистики
Эффективность оценок
Методы нахождения оценок
Задачи
Доверительные интервалы
Определение доверительных интервалов
Доверительные интервалы для параметров нормального распределения
Доверительные интервалы для вероятности успеха в схеме Бернулли
Задачи
Ответы к задачам
Таблицы нормального распределения
Литература
Предметный указатель