Москва: Мехмат МГУ, 2005 г., 62 стр.
Введение
Линейные уравнения в частных производных второго порядка
Задача Коши. Характеристики
Задача Коши с данными на характеристике Задача о слабом разрыве решения вдоль некоторой кривой y = ϕ(x)
Нехарактеристическая задача Коши для линейного уравнения в частных производных второго порядка
Теорема Ковалевской
Классификация линейных УРЧП 2-го порядка. О приведении их к каноническому виду
Задача Коши для волнового уравнения
Энергетическое неравенство. Единственность решения
Единственность классического решения задачи Коши
Энергетическое неравенство
Решение задачи Коши для случая n = 2
Формула Пуассона
Область зависимости решений от начальных данных
Обобщенные решения волнового уравнения
Обобщенные производные. Пространства Соболева
Пространство Соболева
Строго липшицева область
Неравенство Пуанкаре
Теорема Реллиха
Неравенство Фридрихса
След функции
Метод Фурье (метод разделения переменных)
Обобщенное решение первой начально-краевой задачи
Единственность решения смешанной задачи (1)-(3)
Задача Дирихле
Базис в пространстве H0
Обобщенное решение первой начально-краевой задачи
Теорема о существовании обобщенного решения задачи (1)
Гармонические функции, их свойства
Формулы Грина
Лемма о знаке нормальной производной гармонической функции в точке максимума
Основные краевые задачи для уравнения Лапласа и единственность решения этих задач
Задача Дирихле
Задача Неймана
Оценки производных гармонической функции
Аналитичность гармонических функций
Функция Грина. Задача Дирихле для уравнения Лапласа
Интеграл Пуассона
Неравенство Харнака
Обратная теорема о среднем
Теорема об устранимой особенности
Теория потенциала
Объёмный потенциал
Потенциал двойного слоя
Теорема о скачке потенциала двойного слоя
Потенциал простого слоя
Постановка краевых задач
Решение внутренней задачи Дирихле и внешней задачи Неймана в виде потенциала
Теоремы Фредгольма
Вариационный метод решения задачи ДирихлеМетод Ритца
Уравнение теплопроводности
Принципы максимума
Начально-краевые задачи
Теоремы единственности
Линейные уравнения в частных производных второго порядка
Задача Коши. Характеристики
Задача Коши с данными на характеристике Задача о слабом разрыве решения вдоль некоторой кривой y = ϕ(x)
Нехарактеристическая задача Коши для линейного уравнения в частных производных второго порядка
Теорема Ковалевской
Классификация линейных УРЧП 2-го порядка. О приведении их к каноническому виду
Задача Коши для волнового уравнения
Энергетическое неравенство. Единственность решения
Единственность классического решения задачи Коши
Энергетическое неравенство
Решение задачи Коши для случая n = 2
Формула Пуассона
Область зависимости решений от начальных данных
Обобщенные решения волнового уравнения
Обобщенные производные. Пространства Соболева
Пространство Соболева
Строго липшицева область
Неравенство Пуанкаре
Теорема Реллиха
Неравенство Фридрихса
След функции
Метод Фурье (метод разделения переменных)
Обобщенное решение первой начально-краевой задачи
Единственность решения смешанной задачи (1)-(3)
Задача Дирихле
Базис в пространстве H0
Обобщенное решение первой начально-краевой задачи
Теорема о существовании обобщенного решения задачи (1)
Гармонические функции, их свойства
Формулы Грина
Лемма о знаке нормальной производной гармонической функции в точке максимума
Основные краевые задачи для уравнения Лапласа и единственность решения этих задач
Задача Дирихле
Задача Неймана
Оценки производных гармонической функции
Аналитичность гармонических функций
Функция Грина. Задача Дирихле для уравнения Лапласа
Интеграл Пуассона
Неравенство Харнака
Обратная теорема о среднем
Теорема об устранимой особенности
Теория потенциала
Объёмный потенциал
Потенциал двойного слоя
Теорема о скачке потенциала двойного слоя
Потенциал простого слоя
Постановка краевых задач
Решение внутренней задачи Дирихле и внешней задачи Неймана в виде потенциала
Теоремы Фредгольма
Вариационный метод решения задачи ДирихлеМетод Ритца
Уравнение теплопроводности
Принципы максимума
Начально-краевые задачи
Теоремы единственности