М.: Мир, 1984. — 304 с.: ил. — (Современная математика.
Вводные курсы).
Изображение с текстовым слоем и закладками. Написанное английским математиком введение в геометрические методы математической физики. Содержит основные сведения по дифференциальной геометрии вплоть до понятий римановой геометрии и общей теории связностей, а также некоторые физические приложения, — в частности, из общей теории относительности и теории калибровочных полей. Для математиков и физиков, желающих ознакомиться с приложениями геометрии в математической физике. Оглавление (под спойлером).
Некоторые основные математические понятия
Пространство Rn и его топология
Отображения
Вещественный анализ (вещественные функции вещественных переменных)
Теория групп
Линейная алгебра
Алгебра квадратных матриц
Дифференцируемые многообразия и тензоры
Определение многообразия
Сфера как многообразие
Другие примеры многообразий
О свойствах многообразий "в целом"
Кривые
Функции на М
Векторы и векторные
Базисные векторы и базисные векторные поля
Расслоенные пространства
Примеры расслоенных пространств
Более глубокий взгляд на расслоенные пространства
Векторные поля и интегральные кривые
Экспонента от оператора d/dλ
Скобки Ли и некоординатные базисы
Когда базис является координатным?
Один-формы
Примеры один-форм
Дельта-функция Дирака
Градиент и наглядное изображение один-форм
Базисные один-формы и компоненты один-форм
Индексные обозначения
Тензоры и тензорные поля
Примеры тензоров
Компоненты тензоров и тензорное произведение
Свёртка
Замена базиса
Тензорные операции над компонентами
Функции и скаляры
Метрический тензор в векторном пространстве
Поле метрического тензора на многообразии
Специальная теория относительности
Производные ли и группы Ли
Введение: как векторное поле отображает многообразие в себя
Действие переноса Ли на функции
Действие переноса Ли на векторные поля
Производные Ли
Производная Ли один-формы
Подмногообразия
Теорема Фробениуса на языке векторных полей
Доказательство теоремы Фробениуса
Пример: генераторы вращений
Инвариантность
Векторные поля Киллинга
Векторы Киллинга и сохраняющиеся величины в динамике частицы
Осевая симметрия
Абстрактные группы Ли
Примеры групп Ли
Алгебры Ли и отвечающие им группы Ли
Реализации и представления
Сферическая симметрия, сферические гармоники и представления группы вращений
Дифференциальные формы. Алгебра и интегральное исчисление форм
Определение объёма: геометрическая роль дифференциальных форм
Обозначения и определения, касающиеся антисимметричных тензоров
Дифференциальные формы
Обращение с дифференциальными формами
Ограничение форм
Поля форм
Ориентируемость
Объёмы и интегрирование на ориентируемых многообразиях
N-векторы, дуальные величины и символ εij…k
Тензорные плотности
Обобщённые символы Кронекера
Определители и εij…k
Метрический элемент объёма
Дифференциальные формы. Дифференциальное исчисление форм и его приложения
Внешняя производная
Обозначения для частных производных
Хорошо знакомые примеры внешнего дифференцирования
Условия интегрируемости дифференциальных уравнений в частных производных
Точные формы
Доказательство локальной точности замкнутых форм
Производные Ли от форм
Производные Ли и внешние производные коммутируют
Теорема Стокса
Теорема Гаусса и определение дивергенции
Краткий экскурс в теорию когомологий
Дифференциальные формы и дифференциальные уравнения
Теорема Фробениуса на языке дифференциальных форм
Доказательство эквивалентности двух вариантов теоремы Фробениуса
Законы сохранения
Векторные сферические гармоники
Физические приложения. Термодинамика
Простые системы
Тождества Максвелла и другие математические тождества
Композитные термодинамические системы; теорема Каратеодори
Физические приложения. Гамильтонова механика
Гамильтоновы векторные поля
Канонические преобразования
Соответствие между векторами и один-формами, устанавливаемое формой ω
Скобка Пуассона
Многочастичные системы; симплектические формы
Линейные динамические системы; симплектическое скалярное произведение и сохраняющиеся величины
Уравнения Гамильтона и расслоения
Физические приложения. Электромагнетизм
Уравнения Максвелла на языке дифференциальных форм
Заряд и топология
Вектор-потенциал
Плоские волны: простой пример
Физические приложения. Динамика идеальной жидкости
Роль производных Ли
Полная производная по времени
Уравнение движения
Сохранение вихрей
Физические приложения. Космология
Космологический принцип
Алгебра Ли максимальной симметрии
Метрика сферически-симметричного трёхмерного пространства
Построение шести векторов Киллинга
Открытая, замкнутая и плоская Вселенные
Связности на римановых многообразиях и калибровочные теории
Параллельность на искривлённых поверхностях
Ковариантная производная
Компоненты: ковариантные производные базиса
Кручение
Геодезические
Нормальные координаты
Тензор Римана
Геометрическая интерпретация тензора Римана
Плоские пространства
Согласованность связности с объёмом или метрикой
Метрическая связность
Аффинная связность и принцип эквивалентности
Связности и калибровочные теории на примера электромагнетизма
Изображение с текстовым слоем и закладками. Написанное английским математиком введение в геометрические методы математической физики. Содержит основные сведения по дифференциальной геометрии вплоть до понятий римановой геометрии и общей теории связностей, а также некоторые физические приложения, — в частности, из общей теории относительности и теории калибровочных полей. Для математиков и физиков, желающих ознакомиться с приложениями геометрии в математической физике. Оглавление (под спойлером).
Некоторые основные математические понятия
Пространство Rn и его топология
Отображения
Вещественный анализ (вещественные функции вещественных переменных)
Теория групп
Линейная алгебра
Алгебра квадратных матриц
Дифференцируемые многообразия и тензоры
Определение многообразия
Сфера как многообразие
Другие примеры многообразий
О свойствах многообразий "в целом"
Кривые
Функции на М
Векторы и векторные
Базисные векторы и базисные векторные поля
Расслоенные пространства
Примеры расслоенных пространств
Более глубокий взгляд на расслоенные пространства
Векторные поля и интегральные кривые
Экспонента от оператора d/dλ
Скобки Ли и некоординатные базисы
Когда базис является координатным?
Один-формы
Примеры один-форм
Дельта-функция Дирака
Градиент и наглядное изображение один-форм
Базисные один-формы и компоненты один-форм
Индексные обозначения
Тензоры и тензорные поля
Примеры тензоров
Компоненты тензоров и тензорное произведение
Свёртка
Замена базиса
Тензорные операции над компонентами
Функции и скаляры
Метрический тензор в векторном пространстве
Поле метрического тензора на многообразии
Специальная теория относительности
Производные ли и группы Ли
Введение: как векторное поле отображает многообразие в себя
Действие переноса Ли на функции
Действие переноса Ли на векторные поля
Производные Ли
Производная Ли один-формы
Подмногообразия
Теорема Фробениуса на языке векторных полей
Доказательство теоремы Фробениуса
Пример: генераторы вращений
Инвариантность
Векторные поля Киллинга
Векторы Киллинга и сохраняющиеся величины в динамике частицы
Осевая симметрия
Абстрактные группы Ли
Примеры групп Ли
Алгебры Ли и отвечающие им группы Ли
Реализации и представления
Сферическая симметрия, сферические гармоники и представления группы вращений
Дифференциальные формы. Алгебра и интегральное исчисление форм
Определение объёма: геометрическая роль дифференциальных форм
Обозначения и определения, касающиеся антисимметричных тензоров
Дифференциальные формы
Обращение с дифференциальными формами
Ограничение форм
Поля форм
Ориентируемость
Объёмы и интегрирование на ориентируемых многообразиях
N-векторы, дуальные величины и символ εij…k
Тензорные плотности
Обобщённые символы Кронекера
Определители и εij…k
Метрический элемент объёма
Дифференциальные формы. Дифференциальное исчисление форм и его приложения
Внешняя производная
Обозначения для частных производных
Хорошо знакомые примеры внешнего дифференцирования
Условия интегрируемости дифференциальных уравнений в частных производных
Точные формы
Доказательство локальной точности замкнутых форм
Производные Ли от форм
Производные Ли и внешние производные коммутируют
Теорема Стокса
Теорема Гаусса и определение дивергенции
Краткий экскурс в теорию когомологий
Дифференциальные формы и дифференциальные уравнения
Теорема Фробениуса на языке дифференциальных форм
Доказательство эквивалентности двух вариантов теоремы Фробениуса
Законы сохранения
Векторные сферические гармоники
Физические приложения. Термодинамика
Простые системы
Тождества Максвелла и другие математические тождества
Композитные термодинамические системы; теорема Каратеодори
Физические приложения. Гамильтонова механика
Гамильтоновы векторные поля
Канонические преобразования
Соответствие между векторами и один-формами, устанавливаемое формой ω
Скобка Пуассона
Многочастичные системы; симплектические формы
Линейные динамические системы; симплектическое скалярное произведение и сохраняющиеся величины
Уравнения Гамильтона и расслоения
Физические приложения. Электромагнетизм
Уравнения Максвелла на языке дифференциальных форм
Заряд и топология
Вектор-потенциал
Плоские волны: простой пример
Физические приложения. Динамика идеальной жидкости
Роль производных Ли
Полная производная по времени
Уравнение движения
Сохранение вихрей
Физические приложения. Космология
Космологический принцип
Алгебра Ли максимальной симметрии
Метрика сферически-симметричного трёхмерного пространства
Построение шести векторов Киллинга
Открытая, замкнутая и плоская Вселенные
Связности на римановых многообразиях и калибровочные теории
Параллельность на искривлённых поверхностях
Ковариантная производная
Компоненты: ковариантные производные базиса
Кручение
Геодезические
Нормальные координаты
Тензор Римана
Геометрическая интерпретация тензора Римана
Плоские пространства
Согласованность связности с объёмом или метрикой
Метрическая связность
Аффинная связность и принцип эквивалентности
Связности и калибровочные теории на примера электромагнетизма