Курс лекций для вечернего факультета, Москва, МИФИ, 138 стр.
Содержание.
Условные обозначения.
Основные понятия.
Комплексные числа и действия над ними.
Сфера Римана. Расширенная комплексная плоскость .
Предел последовательности комплексных чисел.
Числовые ряды на комплексной плоскости. Критерий Коши. Необходимое условие сходимости. Абсолютная сходимость.
Функции комплексного переменного.
Определение, предел, непрерывность.
Обратные функции. Однолистность.
Функциональные ряды.
Основные понятия.
Критерий Коши. Необходимое условие сходимости. Абсолютная сходимость.
Степенные ряды.
Показательная, тригонометрические и гиперболические функции.
Аналитические функции.
Производная функции комплексного переменного.
Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции.
Понятие и свойства аналитической функции.
Гармонические функции.
Сопряжённые гармонические функции.
Геометрический смысл модуля и аргумента производной.
Конформные отображения.
Понятие конформного отображения.
Теорема Римана и принцип соответствия границ.
Дробно-линейная функция.
Понятие и простейшие свойства дробно-линейной функции.
Круговое свойство дробно-линейной функции.
Леммы об окружностях.
Симметричное свойство и свойство о трёх точках.
Отображения стандартных областей элементарными функциями.
Интеграл функции комплексного переменного.
Понятие и свойства интеграла функции комплексного переменного.
Интегральная теорема Коши.
Интегральная теорема Коши для односвязной области.
Интегральная теорема Коши для многосвязной области.
Первообразная.
Интегральная формула Коши.
Бесконечная дифференцируемость аналитической функции.
Интеграл типа Коши.
Теорема Лиувилля.
Теорема Морера.
Теорема о среднем и принцип максимума модуля.
Ряд Тейлора.
Почленное дифференцирование и интегрирование рядов.
Вывод формулы суммы геометрической прогрессии.
Ряд Тейлора.
Изолированные нули и теорема единственности.
Ряд Лорана.
Разложение аналитической в кольце функции в ряд.
Неравенства Коши.
Изолированные особые точки и их классификация 74.
Определение и примеры изолированных особых точек.
Поведение функции в окрестности изолированной особой точки.
Поведение функции в окрестности устранимой особой точки (УОТ).
Поведение функции в окрестности полюса порядка k (ППk).
Поведение функции в окрестности существенно особой точки (СОТ).
Критерий УОТ, ППk и СОТ.
Бесконечно удалённая особая точка.
Приёмы, упрощающие классификацию изолированных особых точек.
Вычеты в изолированных особых точках.
Определение и формулы вычисления вычета.
Вычет в устранимой особой точке.
Вычет в полюсе первого порядка.
Вычет в полюсе порядка k.
Вычет в существенно особой точке.
Вычет в z = ∞.
Основная теорема о вычетах и следствие из неё.
Вычисление интегралов с помощью вычетов и леммы Жордана.
Вычисление контурных интегралов с помощью вычетов.
Интегралы вида.
+∞.
⌠
⌡ eiaxf(x)dx.
-∞.
Лемма Жордана.
Интегралы вида:
+∞
⌠
⌡ f (x)dx.
-∞
Интегралы вида:
+∞
⌠
⌡ eiaxf(x)dx и
∞ +∞
⌠
⌡ f(x)dx с полюсами на R .
-∞
Операционное исчисление.
Преобразование Лапласа. Свойства изображения.
Свойства преобразования Лапласа.
Применение преобразования Лапласа к решению дифференциальных уравнений.
Применение преобразования Лапласа к решению интегральных и интегро - дифференциальных уравнений.
Обращение преобразования Лапласа. Формула Меллина.
Дополнения.
Свойства интегралов, зависящих от параметра:
Собственные интегралы, зависящие от параметра.
Несобственные интегралы, зависящего от параметра.
Важные формулы.
Вопросы к экзамену.
Список литературы.
Содержание.
Условные обозначения.
Основные понятия.
Комплексные числа и действия над ними.
Сфера Римана. Расширенная комплексная плоскость .
Предел последовательности комплексных чисел.
Числовые ряды на комплексной плоскости. Критерий Коши. Необходимое условие сходимости. Абсолютная сходимость.
Функции комплексного переменного.
Определение, предел, непрерывность.
Обратные функции. Однолистность.
Функциональные ряды.
Основные понятия.
Критерий Коши. Необходимое условие сходимости. Абсолютная сходимость.
Степенные ряды.
Показательная, тригонометрические и гиперболические функции.
Аналитические функции.
Производная функции комплексного переменного.
Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции.
Понятие и свойства аналитической функции.
Гармонические функции.
Сопряжённые гармонические функции.
Геометрический смысл модуля и аргумента производной.
Конформные отображения.
Понятие конформного отображения.
Теорема Римана и принцип соответствия границ.
Дробно-линейная функция.
Понятие и простейшие свойства дробно-линейной функции.
Круговое свойство дробно-линейной функции.
Леммы об окружностях.
Симметричное свойство и свойство о трёх точках.
Отображения стандартных областей элементарными функциями.
Интеграл функции комплексного переменного.
Понятие и свойства интеграла функции комплексного переменного.
Интегральная теорема Коши.
Интегральная теорема Коши для односвязной области.
Интегральная теорема Коши для многосвязной области.
Первообразная.
Интегральная формула Коши.
Бесконечная дифференцируемость аналитической функции.
Интеграл типа Коши.
Теорема Лиувилля.
Теорема Морера.
Теорема о среднем и принцип максимума модуля.
Ряд Тейлора.
Почленное дифференцирование и интегрирование рядов.
Вывод формулы суммы геометрической прогрессии.
Ряд Тейлора.
Изолированные нули и теорема единственности.
Ряд Лорана.
Разложение аналитической в кольце функции в ряд.
Неравенства Коши.
Изолированные особые точки и их классификация 74.
Определение и примеры изолированных особых точек.
Поведение функции в окрестности изолированной особой точки.
Поведение функции в окрестности устранимой особой точки (УОТ).
Поведение функции в окрестности полюса порядка k (ППk).
Поведение функции в окрестности существенно особой точки (СОТ).
Критерий УОТ, ППk и СОТ.
Бесконечно удалённая особая точка.
Приёмы, упрощающие классификацию изолированных особых точек.
Вычеты в изолированных особых точках.
Определение и формулы вычисления вычета.
Вычет в устранимой особой точке.
Вычет в полюсе первого порядка.
Вычет в полюсе порядка k.
Вычет в существенно особой точке.
Вычет в z = ∞.
Основная теорема о вычетах и следствие из неё.
Вычисление интегралов с помощью вычетов и леммы Жордана.
Вычисление контурных интегралов с помощью вычетов.
Интегралы вида.
+∞.
⌠
⌡ eiaxf(x)dx.
-∞.
Лемма Жордана.
Интегралы вида:
+∞
⌠
⌡ f (x)dx.
-∞
Интегралы вида:
+∞
⌠
⌡ eiaxf(x)dx и
∞ +∞
⌠
⌡ f(x)dx с полюсами на R .
-∞
Операционное исчисление.
Преобразование Лапласа. Свойства изображения.
Свойства преобразования Лапласа.
Применение преобразования Лапласа к решению дифференциальных уравнений.
Применение преобразования Лапласа к решению интегральных и интегро - дифференциальных уравнений.
Обращение преобразования Лапласа. Формула Меллина.
Дополнения.
Свойства интегралов, зависящих от параметра:
Собственные интегралы, зависящие от параметра.
Несобственные интегралы, зависящего от параметра.
Важные формулы.
Вопросы к экзамену.
Список литературы.