Афанасьев, Ю.О. Гидрогазомеханика

Подождите немного. Документ загружается.

Выберем произволь-

но горизонтальную плос-

кость сравнения 0-0 и не-

которую точку А внутри

жидкости, лежащую в

этой плоскости. Если счи-

тать точку А принадлежа-

щей правому сосуду, то

согласно уравнению (2.2) давление в ней равно

0 0

p p gz



  

, ес-

ли переместить по горизонтали 0-0 точку А в левый сосуд, то

давление в точке составит

0 0

p p gz



  

. С учетом уравнения

гидростатики (2.14) для однородной жидкости в сообщающихся

сосудах

0 0

z z

 



Таким образом, в открытых или закрытых, находящихся

под одинаковым давлением, сообщающихся сосудах, запол-

ненных однородной жидкостью, уровни ее располагаются на

одной высоте независимо от формы и поперечного сечения

сосудов.

Этот принцип используется, в частности, для измерения

уровня жидкости в закрытых аппаратах с помощью водомерных

стекол.

Если сообщающиеся сосуды заполнены двумя несмеши-

вающимися жидкостями с разными плотностями



, как по-

казано на рис. 6, то при

проведении плоскости

сравнения 0-0 через гра-

ницу раздела жидкостей

получим:

0 0

' "

z z

 

  

или











Очевидно, что высо-

ты уровней разнородных

жидкостей над поверхностью раздела обратно пропорциональны

плотностям этих жидкостей.

Если сосуды заполнены одной жидкостью с плотностью ρ,

но давления над уровнем жидкости в них неодинаковы и равны

Рис. 5. Условия равновесия

в сообщающихся сосудах









Рис. 6. Условия равновесия в сообщаю-

щихся сосудах, заполненных двумя

несмешивающимися жидкостями

Рис. 8. Пневматический

измеритель уровня жидкости





, как показано на рис. 7, то разность уровней жидкости

в сосудах определяется:

0 0

p p

z z

 



 

 



. (3.1)

Данное уравнение

применяют при измере-

нии давлений или разно-

сти давлений между раз-

личными точками с по-

мощью дифференциаль-

ных U-образных мано-

метров. Если давле-

ние



равно атмосферно-

му, то избыточное давление в

первом сосуде равно

0 0

( )

p g z z

  

  

3.2. Пневматический измеритель уровня жидкости

На рис. 8 представлена схема измерения уровня жидкости

пневматическим методом. Для контроля за уровнем жидкости

в подземном резервуаре 1 в него помещают трубу 2, нижний ко-

нец которой доходит почти до днища резервуара. Давление над

жидкостью в резервуаре равно

. По трубе 2 подают сжатый

воздух или другой газ, постепенно повышая его давление, изме-

ряемое манометром 3. Когда газ преодолеет сопротивление стол-

ба жидкости в резервуаре и начнет барботировать сквозь жид-

кость, давление

, фиксируемое манометром, перестанет возрас-

тать

и будет равно, согласно уравнению (2.2),

0 0

p p gz

  

. Уровень

жидкости в резервуаре определяется как





Рис. 7. Определение давления

в сообщающихся сосудах, заполненных

однородной жидкостью

p p







. (3.2)

По величине z

и известной площади поперечного сечения

резервуара определяют объем находящейся в нем жидкости.

3.3. Гидравлический затвор

Условия равновесия жидкостей в сообщающихся сосудах

используют также для определения высоты гидравлического за-

твора в различных аппаратах. На рис. 9 показана схема непре-

рывно действующего сепаратора, работающего следующим обра-

зом.

Смесь жидкостей различной плотности (эмульсия) непре-

рывно поступает в аппарат 1 по центральной трубе и расслаива-

ется в нем. Более легкая жидкость с плотностью





удаляется

сверху через штуцер 3, а более тяжелая, имеющая плотность





– снизу через U-образный затвор 4. Если принять, что уровень

границы раздела фаз поддер-

живается на границе цилинд-

рической и конической частей

аппарата, и провести через эту

границу плоскость сравнения

0-0, то необходимая высота

гидравлического затвора со-

ставит:

0 0

z z





 







. (3.3)

При этом допускается,

что давление над жидкостью

внутри аппарата и на выходе

из затвора одинаково.

3.4. Гидростатические машины

Рис. 9. Непрерывно действующий

жидкостной сепаратор





Работа гидростатических машин (гидравлических прессов,

домкратов и т.д.) основана на использовании основного уравне-

ния гидростатики. Рас-

смотрим принцип действия

гидравлического пресса,

применяемого в промыш-

ленности для прессования

и брикетирования различ-

ных материалов. Схема

пресса изображена

на рис. 10. Если приложить

относительно небольшое

усилие к поршню 1 в цилиндре меньшего диаметра d

и создать

давление p на поршень, то, согласно закону Паскаля, такое же

давление p будет приходиться на поршень 2 большего диаметра

. При этом сила давления на поршень 1 составит

P p





а сила давления на поршень 2 –

P p





В результате поршень в цилиндре большого диаметра пере-

даст силу давления, во столько раз большую, чем сила, прило-

женная к поршню в цилиндре меньшего диаметра, во сколько

поперечное сечение цилиндра 2 больше, чем цилиндра 1. Таким

образом, с помощью сравнительно небольших усилий осуществ-

ляют прессование материала 3, помещенного между поршнем 2

и неподвижной плитой 4.

ГИДРОДИНАМИКА

Глава 4. Основные характеристики движущейся жидкости

Движущей силой при течении жидкостей является перепад

(разность) давлений, создаваемый с помощью насосов или ком-

прессоров либо вследствие разности уровней или плотностей

жидкостей. Законы гидрогазомеханики позволяют определять

разность давлений, необходимую для перемещения заданного

количества жидкости с необходимой скоростью, а также расход

Рис. 10. Схема работы

гидравлического пресса

энергии на его перемещение [2]. По известному перепаду давле-

ний можно рассчитать скорость и расход перекачиваемой жидко-

сти.

4.1. Расход, скорость и поле скоростей

Количество жидкости, протекающей через поперечное се-

чение потока (его ¬живое° сечение, т.е. затопленное сечение

канала) в единицу времени, называют расходом жидкости.

Различают объемный и массовый расходы жидкости. Объемным

расходом Q жидкости (газа) называют объем вещества,

проходящий через поперечное сечение канала в единицу времени

(м

/с). Массовым расходом М называют массу вещества,

проходящую через поперечное сечение канала в единицу

времени (кг/с). Массовый

и объемный расходы жидкости связаны между собой соотноше-

нием М = ρQ. (4.1)

В разных точках ¬живого° сечения потока скорость частиц

жидкости неодинакова. Многочисленные исследования показы-

вают, что жидкость не скользит по твердой стенке канала, а при-

липает к ней. Вследствие прилипания жидкости к стенке ее ско-

рость на стенке принимается равной нулю. В центре сечения ка-

нала или по оси трубопровода скорость жидкости достигает сво-

его максимального значения. Во многих случаях закон распреде-

ления скоростей в поперечном сечении потока неизвестен или

его трудно учесть. Поэтому в расчетах обычно используют не

истинные (локальные) скорости, а фиктивную среднюю ско-

рость. Средняя скорость выражается отношением объемного

расхода жидкости Q (м

/с) к площади поперечного сечения пото-

ка S (м

ср



. (4.2)

Если истинные скорости жидкости в каждой точке про-

странства, заполненного потоком, представить в виде вектора, то

можно получить векторное поле скоростей. В каждой точке

поля скоростей вектор определяет величину и направление ис-

тинной скорости.

4.2. Стационарное и нестационарное движение жидкости

Движение жидкости является стационарным или устано-

вившимся, если скорости частиц потока, а также все другие,

влияющие на его движение параметры (плотность, температура,

давление и др.) не изменяются во времени в каждой фиксирован-

ной точке пространства, через которую проходит жидкость.

В этих условиях для каждого сечения потока расходы жидкости

постоянны во времени.

В то же время значения скорости одной и той же частицы

могут различаться между собой при нахождении этой частицы

в разных точках пространства, т.е. скорость является функцией

только координат:

= f(x, y, z),







; (4.3)

= f(x, y, z),







; (4.4)

= f(x, y, z),







. (4.5)

При нестационарном, или неустановившемся, движении

параметры, влияющие на течение жидкости, изменяются во вре-

мени. Скорости жидкости в проекциях на оси координат уже за-

висят не только от координат, но и от времени. В общем случае:

= f

(x, y, z, t),







; (4.6)

= f

(x, y, z, t),







; (4.7)

= f

(x, y, z, t),







. (4.8)

Примером нестационарного движения может служить исте-

чение жидкости из отверстия при переменном уровне ее в резер-

вуаре. Понижение высоты столба жидкости в нем вызывает

уменьшение скорости истечения.

4.3. Режимы движения жидкости. Критерий Рейнольдса

В 1883 году О. Рейнольдс очень наглядно доказал сущест-

вование двух режимов

движения жидкости и

предложил параметр (ко-

торый теперь носит его

имя) как критерий для оп-

ределения существующего

режима движения. Режи-

мы течения изучались

Рейнольдсом на установке,

изображенной на рис. 11.

К сосуду 1, в котором под-

держивается постоянный уровень воды, присоединена горизон-

тальная стеклянная труба 2. В эту трубу по ее оси через капил-

лярную трубку из бака 3 вводится тонкая струйка окрашенной

воды (индикатор). При небольшой скорости воды в трубе 2

струйка индикатора вытягивается в горизонтальную нить, кото-

рая, не размываясь, достигает конца трубы (рис. 11, а). Это сви-

детельствует

о том, что пути частиц прямолинейны и параллельны друг другу.

Движение, при котором все частицы жидкости движутся по

параллельным траекториям, называют струйчатым, или лами-

нарным.

Если скорость воды в трубе 2 увеличивать сверх определен-

ного предела, то окрашенная струйка сначала приобретает вол-

нообразное движение, а затем начинает размываться, смешиваясь

с основной массой воды. Это объясняется тем, что отдельные

частицы жидкости движутся уже не параллельно оси трубы, а пе-

ремешиваются в поперечном направлении (рис. 11, б).

Неупорядоченное движение, при котором отдельные части-

цы жидкости движутся по запутанным, хаотическим траектори-

ям, в то время как вся масса жидкости в целом перемещается в

одном направлении, называют турбулентным.

В турбулентном потоке происходит пульсация скоростей,

под действием которых частицы жидкости, движущиеся в глав-

ном (осевом) направлении, получают также поперечные переме-

Рис. 11. Опыт Рейнольдса:

а – ламинарное движение;

б – турбулентное движение

щения, приводящие к интенсивному перемешиванию потока по

сечению и требующие соответственно большей затраты энергии

на движение жидкости, чем при ламинарном потоке.

Рейнольдс установил, что переход от ламинарного течения

к турбулентному происходит тем легче, чем больше средняя мас-

совая скорость жидкости и диаметр трубы и чем меньше вязкость

жидкости. Он показал, что указанные величины можно объеди-

нить в безразмерный комплекс, значение которого позволяет су-

дить о режиме движения жидкости. Этот комплекс носит назва-

ние критерия Рейнольдса (Re):

ср

w d







или

w d





. (4.9)

Критерий Re является мерой соотношения между си-

лами вязкости и инерции в движущемся потоке.

Переход от ламинарного к турбулентному движению харак-

теризуется критическим значением Re

кр

. При движении жидко-

стей по прямым гладким трубам Re

кр

≈ 2320. При Re < 2320 те-

чение обычно является ламинарным, поэтому данную область

значений Re называют областью устойчивого ламинарного

режима течения. При Re > 2320 чаще всего наблюдается

турбулентный характер движения. Однако при 2300 < Re < 10000

режим течения еще неустойчиво турбулентный (эту область

значений Re часто называют переходной). Хотя турбулентное

движение при таких условиях более вероятно, но иногда при этих

значениях Re может и наблюдаться ламинарный поток. Лишь

при Re > 10000 турбулентное движение становится устойчивым

(развитым).

Указанное значение Re

кр

≈ 2320 является условным, так как

оно относится лишь к стабилизированному изотермическому по-

току в прямых трубах с очень малой шероховатостью стенок. На-

личие различных возмущений, обусловленных шероховатостью

стенок трубы, изменением значения скорости потока или ее на-

правления, близостью входа в трубу и т.п., может существенно

снижать величину Re

кр

В случае движения жидкости через каналы некруглого се-

чения при расчете критерия Re вместо d используют эквивалент-

ный диаметр, определяемый через гидравлический радиус. Под

гидравлическим радиусом r

(м) понимают отношение пло-

щади затопленного сечения трубопровода или канала, через

которое протекает жидкость, т.е. °живого± сечения пото-

ка, к смоченному периметру:



, (4.10)

где S – площадь сечения потока жидкости, м

; П – смоченный

периметр, м.

Для круглой трубы с внутренним диаметром d и, значит,

площадью свободного сечения S = πd

/4 при сплошном заполне-

нии его жидкостью П = πd, откуда гидравлический радиус

П 4

S d d



  



Диаметр, выраженный через гидравлический радиус, пред-

ставляет собой эквивалентный диаметр: d = d

=4r

Следовательно, согласно уравнению (4.10):

d  . (4.11)

Эквивалентный диаметр равен диаметру гипотетического

трубопровода круглого сечения, для которого отношение площа-

ди S к смоченному периметру П то же, что и для данного трубо-

провода некруглого сечения.

Глава 5. Движение идеальной жидкости

Идеальной жидкостью в гидродинамике называют жид-

кость, движущуюся без трения. В идеальной жидкости давле-

ние обладает теми же свойствами, что и гидростатическое давле-

ние, а именно: всегда направлено по внутренней нормали к по-

верхности выделенного объема и в любой другой точке потока

жидкости одинаково по всем направлениям.

При выводе уравнений гидродинамики жидкость рассмат-

ривается как сплошная среда (континуум). Это значит, что все

размеры в объеме жидкости считаются большими по сравнению

с междумолекулярными расстояниями. Это значит также, что все

свойства жидкости и параметры движения меняются непрерывно

от точки к точке в заданном объеме среды.

5.1. Дифференциальное уравнение неразрывности

Уравнение неразрывности устанавливает зависимость меж-

ду скоростями в потоке жидкости, для которого соблюдается ус-

ловие сплошности, или неразрывности, движения [3].

Для вывода дифференциального уравнения неразрывности

выделим внутри потока элементарный параллелепипед объемом

dV = dxdydz, ребра которого ориентированы параллельно осям

координат (рис. 12). Пусть составляющая скорости потока вдоль

оси x в точках, лежащих на левой грани параллелепипеда площа-

дью dS = dydz, равна w

. Тогда, согласно уравнению расхода, че-

рез эту грань в параллелепипед войдет вдоль оси x в единицу

времени масса жидкости ρw

dydz, а за промежуток времени dt –

масса жидкости m

= ρw

dydzdt, где ρ – плотность жидкости на

левой грани параллелепипеда.

На противоположной (правой) грани параллелепипеда ско-

рость и плотность жидкости могут отличаться от соответствую-

щих величин на левой грани и будут равны

( d )

w x







( d )



 



. Тогда через правую грань параллелепипеда за то же

время dt выйдет масса жидкости

( )

[ d ]d d d

x x x

m w x y z t



 

  



Приращение массы жидкости вдоль оси x:

( )

d d d d d

x x x x

m m m x y z t



 

   



Если составляющие ско-

рости вдоль осей y и z равны

и w

соответственно, то

приращения массы в элемен-

Рис. 12. К выводу дифференциальных

уравнений неразрывности потока

z+dz

x+dx

y+dy