Афанасьев, Ю.О. Гидрогазомеханика

Подождите немного. Документ загружается.

В прямых вертикальных трубках жидкость поднимается на

высоту, отвечающую гидростатическому давлению в точках их

погружения, т.е. трубки Прандтля будут измерять пьезометриче-

ские напоры в соответствующих точках

1 2

p p

g g

 

 

 

 

. В трубках

с нижними концами, направленными навстречу потоку, уровень

жидкости будет выше, чем в соседних, прямых трубках Прандт-

ля, так как трубки Пито будут показывать сумму пьезометриче-

ского и динамического (скоростного) напоров. Однако, соглас-

но уравнению (5.15), во всех трубках Пито жидкость поднимется

на одну и ту же высоту относительно произвольной горизонталь-

ной плоскости сравнения, равную гидродинамическому напору

Н, как показано на рис. 15.

Площадь поперечного сечения 2-2 трубопровода меньше

сечения 1-1. Поэтому скорость жидкости w

при данном ее рас-

ходе, согласно уравнению неразрывности потока, будет больше

. Соответственно,

, а

 



 



 

 



 



 

. Приве-

денный пример демонстрирует взаимный переход потенциаль-

ной энергии в кинетическую и, наоборот, при изменении пло-

щади сечения трубопровода, а также постоянство суммы

этих энергий в любом поперечном сечении трубопровода.

Глава 6. Движение реальной жидкости

/ρg

/2g

/ρg

Рис. 15. К уравнению Бернулли

для идеальной жидкости

При рассмотрении движения реальной, вязкой жидкости

полагают, что течение ограничено твердыми стенками [2]. В за-

висимости от относительной величины сил вязкости и инерции

характер течения и распределения скоростей и давлений сильно

отличаются. Это обстоятельство служит основой двух важней-

ших принципов в классификации типов течений и их аналитиче-

ском исследовании. Один из них опирается на различие между

ламинарными и турбулентными течениями – двумя возмож-

ными режимами течений, другой – на различие между ползущи-

ми течениями и течениями с пограничным слоем, являющи-

мися крайними случаями проявления эффекта вязкости.

6.1. Дифференциальные уравнения движения Навье – Стокса

При движении реальной (вязкой) жидкости в потоке жидко-

сти помимо сил давления и тяжести действуют также силы тре-

ния.

Действие сил трения на выделенный в потоке вязкой жид-

кости параллелепипед (рис. 16) проявляется в возникновении на

его поверхности касательных напряжений τ.

Рассмотрим первоначально относительно простой случай

одномерного плоского потока капельной жидкости в направле-

нии оси х, когда проекция скорости w

зависит только от рас-

стояния z до горизонтальной плоскости отсчета.

В этих условиях каса-

тельные напряжения возни-

кают лишь на поверхностях

dF верхней и нижней грани

параллелепипеда, причем

dF = dxdy. Если касательное

напряжение на нижней гра-

ни параллелепипеда равно

τ, то на верхней оно состав-

ляет



 

 

 



 

. Производ-

Рис. 16. К выводу дифференциальных

ура

нений

движения Навье

–

Стокса

+ d







ная





выражает изменение касательного напряжения вдоль оси

в точках, лежащих на нижней грани параллелепипеда, а





представляет собой изменение этого напряжения вдоль всей дли-

ны dz ребра параллелепипеда.

Проекция равнодействующей сил трения на ось х:

d d d d d d d d

x y z x y x y z

z z

 

 

     

 

 

 

Подставив в это выражение значение касательного напря-

жения τ по уравнению (1.7), получим:

d d d d d d

x y z x y z

z z



 



 



 

  

 

В более общем случае трехмерного потока составляющая

скорости w

будет изменяться не только в направлении z, но

и в направлениях всех трех осей координат. Тогда проекция рав-

нодействующей сил трения на ось х примет вид

2 2 2

d d d

x x x

w w w

x y z

 

  

  

 

  

 

Сумму вторых производных по осям координат называют

оператором Лапласа:

2 2 2

x x x

w w w

x y z

  

   

  

Соответственно, проекция равнодействующей сил трения на

ось х может быть представлена как

d d d

w x y z

 .

Соответственно, проекции равнодействующей сил трения:

на ось у

2 2 2

d d d

y y y

w w w

x y z

 

  

  

 

  

 

d d d

w x y z



на ось z

2 2 2

d d d

z z z

w w w

x y z

 

  

  

 

  

 

d d d

w x y z

 .

Проекции на оси координат равнодействующей всех сил

(тяжести, давления и трения), действующих на элементарный

объем капельной жидкости (с учетом проекций сил тяжести и

давления, полученных при выводе уравнений Эйлера), составля-

ют:

на ось х

d d d

w x y z



 

  

 



 

на ось у

d d d

w x y z

 



  

 



 

на ось z

d d d

g w x y z



 

   

 



 

Суммы проекций сил на оси координат, в соответствии

с принципом динамики, должны быть равны произведению мас-

сы жидкости ρdxdydz, заключенной в элементарном объеме, на

проекции ускорения на оси координат. Поэтому, приравнивая

проекции равнодействующей произведениям массы на проекции

ускорения, после сокращения на dxdydz получим:

;

w p

t x

t y

w p

g w

t z





    











    









     







(6.1)

где соответствующие субстациональные производные выражены

для стационарного и нестационарного потоков уравнениями

(5.11) или (5.12).

Уравнения (6.1) представляют собой уравнения Навье –

Стокса, описывающие движение вязкой капельной жидко-

сти.

Левые части уравнений (6.1) выражают произведение массы

единицы объема ρ на проекцию ее ускорения, т.е. представляют

собой проекции равнодействующей сил инерции, возникающих

в движущейся жидкости.

В правых частях тех же уравнений произведение ρg отража-

ет влияние сил тяжести, частные производные



–

влияние изменения гидростатического давления, а произведение

динамического коэффициента вязкости μ на сумму вторых про-

изводных проекций скорости – влияние сил трения на движу-

щуюся жидкость.

Каждый член уравнений имеет размерность соответствую-

щей силы (тяжести, давления, трения или инерции), отнесенной

к единице объема жидкости.

При движении идеальной жидкости, когда силы трения от-

сутствуют, при подстановке μ = 0 в уравнение (6.1) последнее

совпадает с уравнением (5.10), т.е. уравнения движения Эйлера

можно получить как частный случай уравнений Навье – Стокса.

Полное описание движения вязкой жидкости в его наиболее

общей форме возможно путем решения уравнений Навье – Сто-

кса совместно с уравнением неразрывности потока. Однако урав-

нения Навье – Стокса не могут быть решены в общем виде. По-

лучены решения этой сложной системы уравнений только для

некоторых частных случаев стационарного ламинарного движе-

ния жидкости.

6.2. Условия однозначности

Дифференциальные уравнения описывают целый класс од-

нородных по своей сущности явлений, и для выделения из него

конкретного явления необходимо ограничивать указанные урав-

нения дополнительными условиями – условиями однозначно-

сти.

Условия однозначности содержат геометрические, физиче-

ские, временные и граничные условия.

Геометрические условия – определяют форму, размеры

канала или обтекаемого твердого тела, в окрестностях которого

следует определить гидродинамические характеристики.

Физические условия – определяют численные значения фи-

зических констант и свойств жидкости или газа (g, μ, ρ, λ и т.д.).

Временные (начальные) условия – определяют особенно-

сти протекания процесса во времени и задаются в виде начально-

го распределения скоростей, ускорений и др.

Граничные условия – определяют условия на поверхностях

контакта с твердой стенкой, телом и на границах потока. Напри-

мер, из-за прилипания реальной жидкости к стенке скорость

жидкости на стенке равна нулю (w

ст

= 0).

Глава 7. Гидродинамическое подобие

Многие процессы химической технологии характеризуются

большим числом переменных, очень сложны и часто удается дать

лишь математическую формулировку задачи и поставить условия

однозначности. Примером являются уравнения Навье – Стокса,

решение которых сопряжено с громоздкими вычислениями, что

в большинстве случаев невыполнимо, как, например, при опре-

делении потери давления Δp при турбулентном течении

жидкости

в трубах.Если аналитически решить задачу невозможно, то зависи-

мость между основными параметрами можно найти либо числен-

ными методами с большим объемом вычислений, либо с помо-

щью экспериментального исследования. Отличаясь по способу

получения искомых величин, оба этих метода по существу рав-

ноценны по возможностям при определении зависимости между

величинами. Каждое отдельное численное решение, так же как

и каждый отдельный эксперимент, дают одно конкретное зна-

чение искомой величины (Δр) при заданных вполне определен-

ных значениях исходных аргументов (w

, w

, μ, ρ и др.). Что-

бы найти зависимость Δр хотя бы от одного из аргументов, необ-

ходимо провести множество экспериментов или численных ре-

шений при различных значениях данного аргумента, оставляя

другие неизменными. Результатом работы может быть эмпири-

ческая формула, связывающая Δр с w

, w

, μ, ρ и др., которая,

как правило, не отражает физическую сущность процесса и спра-

ведлива только в заданном (исследованном) диапазоне аргумен-

тов. Таким образом, численные и экспериментальные методы по-

зволяют получить лишь разрозненные зависимости, обобщение

которых чрезвычайно затруднено большим числом аргументов,

от которых зависит искомая величина.

Эти трудности позволяет преодолеть теория подобия –

учение о методах научного обобщения результатов числен-

ных или экспериментальных исследований. Теория подобия

определяет условия подобия физических явлений и на этой осно-

ве дает возможность существенно сократить число переменных.

Один из принципов теории подобия заключается в выделе-

нии из класса явлений группы подобных явлений. Например, та-

кие, разные на первый взгляд, явления, как движение атмосфер-

ного воздуха и движение капельной жидкости по трубопроводу

в основе своей однородны, так как по существу представляют со-

бой перемещение вязкой жидкости под действием разности дав-

лений. Данные явления описываются едиными уравнениями На-

вье – Стокса и принадлежат к одному классу. Вместе с тем дви-

жение вязких жидкостей (капельных и упругих) через трубы

и аппараты различного профиля и размера составляет группу по-

добных явлений, входящую в этот класс.

Основные положения теории подобия обобщаются тремя

теоремами подобия. Эти теоремы лежат в основе практического

применения теории подобия.

Первая теорема подобия была сформулирована Ньюто-

ном.

Подобные явления характеризуются численно равными

критериями подобия.

Критерии подобия можно просто получить, разделив пра-

вую часть дифференциального уравнения на левую, с последую-

щим отбрасыванием знаков математических операторов.

Вторая теорема подобия была доказана Бэкингемом, Фе-

дерманом и Афанасьевой – Эренфест.

Решение любого дифференциального уравнения, связы-

вающего между собой переменные, влияющие на процесс,

может быть представлено в виде зависимости между без-

размерными комплексами этих величин, т.е. между крите-

риями подобия.

Такие зависимости называют критериальными уравнения-

ми.

Критерии подобия, которые составлены только из величин,

входящих в условия однозначности, называют определяющими.

Критерии же, включающие также величины, которые не являют-

ся необходимыми для однозначной характеристики данного про-

цесса, а сами зависят от этих условий, называют определяемы-

ми. Какой из критериев является определяемым, зависит от фор-

мулировки задачи.

Третья теорема подобия или теорема Кирпичева и Гухма-

на формулирует необходимые и достаточные условия подобия

явлений.

Подобны те явления, которые описываются одной и

той же системой дифференциальных уравнений и у которых

соблюдается подобие условий однозначности.

Исследование гидродинамических процессов методом тео-

рии подобия должно состоять из двух этапов:

1. Получив полное математическое описание процесса, т.е.

составив дифференциальное уравнение и поставив условия одно-

значности, проводят подобное преобразование этого уравнения

и находят критерии подобия.

2. Опытным путем на моделях устанавливают конкретный

вид зависимости между критериями подобия, причем полученное

обобщенное расчетное уравнение справедливо для всех подоб-

ных явлений в исследованных пределах изменения определяю-

щих критериев подобия.

7.1. Критерии гидродинамического подобия

Теория подобия позволяет преобразовать уравнения Навье –

Стокса и получить из них некоторую общую функциональную

зависимость между критериями подобия, характеризующими си-

лы, действующие при движении вязкой жидкости.

Перепишем уравнение Навье – Стокса для капельной жид-

кости (6.1) в развернутом виде для одной из осей – вертикальной

оси z:

2 2 2

z z z z z z z

x y z

w w w w p w w w

w w w g

t x y z z x y z

 

       

          

 

       

 

Для подобного преобразования этого уравнения воспользу-

емся правилом теории подобия: критерии подобия можно полу-

чить путем деления одной части дифференциального уравнения

на другую и последующего отбрасывания знаков математических

операторов.

При стационарном движении жидкости ее скорость не зави-

сит от времени, т.е. член







. При этом, заменяя в левой час-

ти уравнения, характеризующей силу инерции, дифференциалы

конечными величинами, находим:

x z

x y z

w w

w w w w

x y z l l



 

 



    

 

  

 

 ,

где l – определяющий линейный размер.

В правой части уравнения член, отражающий действие си-

лы тяжести, равен ρg. Член



, характеризующий действие силы

давления, можно заменить отношением

, т.е.



. Наконец,

последнее слагаемое правой части, отражающее действие силы

трения:

2 2 2

2 2 2 2

z z z

w w w

x y z l

 

  



  

 

  

 

 .

Разделив члены одной части уравнения на члены другой его

части, найдем, таким образом, выражения, характеризующие со-

отношения между соответствующими силами и силой инер-

ции. Иначе говоря, выразим эти силы в относительных еди-

ницах, приняв за масштаб силу инерции. В результате получим

безразмерные соотношения величин – критерии подобия.

Выражение, характеризующее отношение силы тяжести

к силе инерции, имеет вид

2 2

g gl

w l w







Безразмерный комплекс

gl w

представляет собой крите-

рий Фруда и обозначается через Fr. Чтобы избежать чисел, мень-

ших единицы, предпочитают пользоваться обратным выражени-

ем, и, таким образом, критерием Фруда обычно называют вели-

чину

 . (7.1)

Критерий Фруда отражает влияние сил тяжести, или

собственного веса, на движение жидкости. В виде выражения

(7.1) он является мерой соотношения силы инерции и силы тяже-

сти в подобных потоках.

Соотношение между силами давления и инерции может

быть охарактеризовано выражением

2 2

p l p

w l w



 

Полученный комплекс



называют критерием Эйлера

и обозначают через Eu. Обычно ему придают несколько иной

вид, вводя в него вместо абсолютного давления р разность дав-

лений Δр между какими-либо двумя точками жидкости:







. (7.2)

Критерий Эйлера отражает влияние перепада гидро-

статического давления на движение жидкости. Он характе-

ризует отношение изменения силы гидростатического давления

к силе инерции в подобных потоках.

Найдем выражение, являющееся мерой отношения силы

трения к силе инерции, приняв за критерий подобия (для того

чтобы избежать чисел, меньших единицы) обратное отношение: