Афанасьев, Ю.О. Гидрогазомеханика

Подождите немного. Документ загружается.

тарном объеме вдоль этих осей по аналогии составят:

( )

d d d d d

m y x z t

 

 



;

( )

d d d d d

m z y x t

 

 



Общее накопление массы жидкости в параллелепипеде за

время dt равно сумме ее приращений вдоль всех осей координат:

( )

( ) ( )

d [ ]d d d d

x z

w w

m x y z t

x y z

 

   

   

  

Вместе с тем изменение массы в полностью заполненном

жидкостью объеме параллелепипеда возможно только вследствие

изменения плотности жидкости в этом объеме, поэтому

d d d d d

m x y z t







Приравнивая оба выражения dm, сокращая на (–dxdydzdt)

и перенося





в левую часть уравнения, окончательно получим:

( )

( ) ( )

x z

w w

t x y z

 

   

   

   

. (5.1)

Уравнение (5.1) представляет собой дифференциальное

уравнение неразрывности потока для неустановившегося

движения сжимаемой жидкости.

В установившемся потоке плотность не изменяется во вре-

мени, т.е.







, и уравнение (5.1) принимает вид

( )

x z

w w

x y z

 

   

  

  

. (5.2)

Для капельных жидкостей, которые практически несжимае-

мы, а также для газов в условиях изотермического потока при

скоростях, значительно меньших скорости звука, ρ = const и, сле-

довательно,

x z

w w

x y z



 

  

  

. (5.3)

Уравнение (5.3) является дифференциальным уравнением

неразрывности потока несжимаемой жидкости.

Сумма изменений скорости вдоль осей координат в левой

части уравнения (5.3) называется дивергенцией вектора скорости

и обозначается через div w. Поэтому данное уравнение можно

представить как

div w = 0. (5.4)

Для того чтобы перейти от элементарного объема ко всему

объему жидкости, движущейся сплошным потоком (без разрывов

и пустот) по трубопроводу переменного сечения, проинтегрируем

дифференциальное уравнение (5.2).

Если бы площадь поперечного сечения трубопровода не из-

менялась, то для стационарного движения вдоль оси х интегри-

рование уравнения (5.2) дало бы зависимость

const

 

где w – средняя скорость жидкости.

Если же площадь сечения S трубопровода переменна, то ин-

тегрирование также по площади дает уравнение постоянства

расхода

ρwS = const. (5.5)

Для трех различных сечений трубопровода:

1 1 1 2 2 2 3 3 3

w S w S w S

    

(5.6)

или

= М

где М = ρwS – массовый расход жидкости, кг/с.

Выражения (5.5) или (5.6) представляют собой уравнение

неразрывности (сплошности) потока в его интегральной

форме для стационарного движения. Это уравнение называется

также уравнением постоянства расхода.

Согласно уравнению постоянства расхода, при установив-

шемся движении жидкости, полностью заполняющей тру-

бопровод, через каждое его поперечное сечение проходит в

единицу времени одна и та же масса жидкости.

Для капельных жидкостей ρ

= ρ

= const и уравнение

(5.6) принимает вид

1 1 2 2 3 3

const

w S w S w S

  

(5.7)

или

= Q

= const.

Таким образом, уравнение постоянства расхода является

частным случаем закона сохранения массы и выражает мате-

риальный баланс потока.

5.2. Субстациональная производная

По методу Эйлера для каждой частицы движущейся жидко-

сти изменение ее параметров во времени и в пространстве выра-

жается не частной, а полной производной во времени, называе-

мой в гидродинамике субстациональной производной. По сво-

ему смыслу эта производная может быть названа также произ-

водной, следующей за потоком.

Обозначим параметром u любую величину, изменяющуюся

в потоке как во времени, так и пространстве, например: плот-

ность ρ, температуру t, давление р или любую из составляющих

, w

и w

ее скорости w в направлениях осей координат.

Допустим, что наблюдатель может мгновенно регистриро-

вать значения u в каждый момент времени в данной точке пото-

ка. Изменение и за единицу времени в фиксированной точке про-

странства (x, y, z) = const выражается частной производной

u t

 

Изменение и в указанной точке за бесконечно малый промежуток

времени dt составляет



. Эта величина является местным,

или локальным, изменением данной переменной, которое, как

отмечалось, при стационарном движении равно нулю.

Если наблюдатель перемещается вместе с потоком (с какой-

либо его частицей), то, измеряя значение и, можно установить,

что изменение этой величины складывается из двух составляю-

щих (рис. 13).

Пусть за время dt частица жидкости переместилась из точки

А с координатами (x, y, z)

в точку В с координатами

(x+dx, y+dy, z+dz). В ре-

зультате перемещения

А (x, y, z)

В (x+dx, y+dy, z+dz)

Рис. 13. К выводу выражения

субстационарной производной

частицы жидкости в пространстве из точки А

в точку В изменения и, соответствующие проекциям пути dx, dy и

dz, равны



. Эти изменения не связаны с из-

менением и во времени в какой-либо фиксированной точке про-

странства. Таким образом, если бы движение частицы было уста-

новившимся (



= 0), то при переходе из точки А

в точку В изменение и выражалось бы как

d d d d

u u u

u x y z

x y z

  

  

  

Это выражение характеризует конвективное изменение

рассматриваемого параметра и.

Вследствие изменения и во времени в каждой точке потока

в условиях нестационарного движения u = f(x, y, z, t), и за время

dt значение указанного параметра также изменится на



. Зна-

чит, полное изменение и при нестационарном движении является

суммой локального и конвективного изменений:

d d d d d

u u u u

u t x y z

t x y z

   

   

   

откуда производная du по времени

d d d d

u u u x u y u z

t t x t y t z t

   

      

   

Первая производная координаты по времени является проекцией

вектора скорости на соответствующую ось координат:



Окончательно имеем

x y z

u u u u u

w w w

t t x y z

   

      

   

. (5.8)

В частном случае стационарного движения жидкости

x y z

u u u u

w w w

t x y z

  

     

  

. (5.9)

Уравнения (5.8), (5.9) выражают субстациональную произ-

водную данного параметра. Субстациональная производная ха-

рактеризует изменение какого-либо параметра или свойства ма-

терии (субстанции) во времени при перемещении материальных

частиц в пространстве.

5.3. Дифференциальные уравнения движения Эйлера

Выделим в стационарном потоке идеальной жидкости эле-

ментарный объем в форме параллелепипеда со сторонами dx, dy,

dz, ориентированными относительно осей координат (рис. 14).

При выводе уравнений равновесия Эйлера было показано,

что проекции на оси координат сил тяжести и давления, дейст-

вующих на параллелепипед, составляют:

для осей: х –

d d d

x y z







, у –

d d d

x y z







, z –

d d d .

g x y z



 

  

 



 

Согласно принципу динамики, сумма проекций сил, дей-

ствующих на движущий-

ся элементарный объем

жидкости, равна произ-

ведению массы жидкости

на ее ускорение.

Масса жидкости

в объеме параллелепипеда

d d d d

m x y z

 

Если жидкость дви-

жется со скоростью w, то

ее ускорение равно

а проекции ускорения на оси координат

, где w

и w

– составляющие скорости вдоль осей x, y и z. Разумеется,

при этом соответствующие производные по времени не означают

изменений во времени составляющих скорости в какой-либо

фиксированной точке пространства. Такие изменения



Рис. 14. К выводу дифференциальных

уравнений движения Эйлера

p z







p x







p y







gdm



равны нулю в рассматриваемом случае стационарного по-

тока. Производные же

отвечают изменению во

времени значений w

, w

и w

при перемещении частицы жидко-

сти из одной точки пространства (потока) в другую.

В соответствии с принципом динамики

d d d d d d

x y z x y z

t x



  



;

d d d d d d

x y z x y z

t y



  



;

d d d ( )d d d

w p

x y z g x y z

t z



   



Или после сокращения

;

w p

t x

t y

t z





  











  









   







(5.10)

где, согласно уравнению (5.9), субстациональные производные

соответствующих составляющих скорости равны

;

x x x x

x y z

y y y y

x y z

z z z z

x y z

w w w w

w w w

t x y z

w w w w

w w w

t x y z

w w w w

w w w

t x y z

  



  



  



  



  



  



  

  



  



(5.11)

Система уравнений (5.10) с учетом выражений (5.11) пред-

ставляет собой дифференциальные уравнения движения иде-

альной жидкости Эйлера для установившегося потока.

При неустановившемся движении скорость жидкости изме-

няется не только при перемещении частицы потока из одной точ-

ки пространства в другую, но и с течением в каждой точке. По-

этому, в соответствии с уравнением (5.8), составляющие ускоре-

ния в уравнении (5.10), выражаемые субстациональными произ-

водными для нестационарного потока, имеют следующий вид:

;

x x x x x

x y z

y y y y y

x y z

z z z z z

x y z

w w w w w

w w w

t t x y z

w w w w w

w w w

t t x y z

w w w w w

w w w

t t x y z

   



   



   



   



   



   



   

   



   



(5.12)

Система уравнений (5.10) с учетом выражений (5.12) пред-

ставляет собой дифференциальные уравнения движения иде-

альной жидкости Эйлера для неустановившегося потока.

Интегралом уравнений движения Эйлера для стационарного

потока является уравнение Бернулли, широко используемое для

решения многих технических задач.

5.4. Уравнение Бернулли

Умножим левые и правые части каждого из уравнений

(5.10) соответственно на dx, dy и dz и, разделив на плотность ρ

жидкости, получим

d 1

d d

x p

w x

t x



 

 

;

d 1

d d

y p

w y

t y



 

 

;

d 1

d d d

z p

w g z z

t z



  

 

Сложим эти уравнения, учитывая, что производные

выражают проекции w

, w

и w

скорости на соответствую-

щие оси координат. Тогда

d d d d d d d

x x y y z z

p p p

w w w w w w g z x y z

x y z

 

  

      

 

   

 

. (5.13)

Слагаемые левой части этого уравнения могут быть пред-

ставлены как

d d

x x

w w

 



 

 

d d

y y

w w

 



 

 

d d

z z

w w

 



 

 

Следовательно, их сумма

2 2 2 2

d d d d d

2 2 2 2 2

y x y z

w w w w

   

 

 

   

   

 

   

 

  

   

где w – скорость, составляющие которой вдоль соответствующих

осей равны w

, w

и w

Сумма членов, стоящих в скобках в правой части уравнения

(5.13), представляет собой полный дифференциал давления dp,

следовательно, это уравнение можно представить:

d d

w p

g z

 

  

 



 

Разделив обе части этого уравнения на ускорение свободно-

го падения g и перенеся все его члены в левую часть, находим:

d d 0

w p

g g

 

  

 



 

причем для несжимаемой, однородной жидкости ρ = const.

Сумма дифференциалов может быть заменена дифферен-

циалом суммы; следовательно,

d 0

p w

g g

 

  

 



 

откуда после интегрирования

const

p w

g g

  



. (5.14)

Уравнение (5.14) для любых двух поперечных сечений 1 и 2

потока можно представить в виде

2 2

1 1 2 2

1 2

2 2

p w p w

z z

g g g g

    

 

. (5.15)

Уравнение (5.14) является уравнением Бернулли для иде-

альной жидкости.

Величину

p w

g g

 

 

 



 

называют полным гидродинами-

ческим напором, или просто гидродинамическим напором.

Следовательно, согласно уравнению Бернулли, для всех по-

перечных сечений стационарного потока идеальной жидко-

сти гидродинамический напор остается постоянным.

Гидродинамический напор включает три слагаемых, из ко-

торых первые два слагаемых, z и



, входили в основное урав-

нение гидростатики (2.13): z – нивелирная высота, называемая

также геометрическим, или высотным, напором (h

), представ-

ляет собой удельную потенциальную энергию положения

в данной точке (данном сечении);



– напор давления (h

давл

или пьезометрический напор (высота), характеризует удель-

ную потенциальную энергию давления в данной точке (данном

сечении);

– представляет собой скоростной, или динамиче-

ский, напор (h

ск

), он характеризует удельную кинетическую

энергию

в данной точке (данном сечении).

Все три составляющих уравнения Бернулли могут быть вы-

ражены как в единицах длины, так и в единицах удельной энер-

гии, т.е. энергии, приходящейся на единицу веса жидкости, на-

пример, скоростной напор:

 

2 2 2

м с

2 с м

   



 

   



   

;

Ô Õ Ö×

2 Ô Ô

 



   

 

 

   

   

 

Таким образом, согласно уравнению Бернулли, при уста-

новившемся движении идеальной жидкости сумма

скоростного и статического напоров, равная гидродина-

мическому напору, не меняется при переходе от одного

поперечного сечения потока к другому.

Вместе с тем из уравнения Бернулли в соответствии с энер-

гетическим смыслом его членов следует, что при стационарном

движении идеальной жидкости сумма потенциальной

 



 



 

и кинетической

 

 

 

энергии жидкости для каждо-

го из поперечных сечений потока остается неизменной.

При изменении поперечного сечения трубопровода и соот-

ветственно скорости движения жидкости происходит превраще-

ние энергии. При сужении трубопровода часть потенциальной

энергии давления переходит в кинетическую и, наоборот, при

расширении трубопровода часть кинетической энергии перехо-

дит в потенциальную. Однако общее количество энергии для по-

тока идеальной жидкости остается постоянным.

Таким образом, уравнение Бернулли является частным

случаем закона сохранения энергии и выражает энергетиче-

ский баланс потока.

Рассмотрим применение уравнения Бернулли на примере

потока идеальной жидкости, движущейся через произвольно рас-

положенный в пространстве трубопровод переменного сечения

(рис. 15). Пусть для точек, лежащих на оси трубопровода в попе-

речных сечениях 1-1 и 2-2, нивелирные высоты равны z

и z

со-

ответственно. Установим в каждой из этих точек две вертикаль-

ные открытые так называемые пьезометрические трубки (на-

порные трубки Пито – Прандтля), у одной из которых нижний

конец загнут навстречу потоку жидкости в трубопроводе (так на-

зываемая трубка Пито). Прямую трубку называют трубкой

Прандтля.