Анастасиади Г.П. Конспект лекций по курсу управление качеством

Подождите немного. Документ загружается.

Z=(k–mp)/(mp(1–p))

0.5

Оценка при m=5 дает:

для ожидания k=0...1 – Z

=–0.513, Z

=1.54 и Р(0–1)=0.634;

для ожидания k=1...2 – Z

=1.54, Z

=3.59 и Р(1–2)=0.061.

Для ожидания точно k дефектов применяется формула

Р(k)=

exp(–Z

/2) /(√2πmp(1–p)),

которая дает соответственно для k=0,1,2 P(k)=0.718; 0.250; 0.001. Оценка вероятности по

формулам Лапласа наиболее удобна.

Следует иметь в виду, что для практических приложений наибольший интерес

представляют вероятности, близкие к 1 или к 0. Поэтому условие задачи следует

формулировать соответственно. Например, при игре в рулетку с 37 цифрами вероятность

числа выпадений красного (черного) k=25…50 раз при m=70 сеансах игры (p=18/36)

составляет 0.987. Следовательно, стратегия игры заключается в том, чтобы, отслеживая

частоту выпадения цвета чисел и делать ставки либо на выпадающие, либо на еще не

выпавшие цвета. Однако вероятность не выиграть для крупье – не выпадет ни разу “зорро”

(0), при которых ставки переходят в пользу заведения составляет 0.100 и уменьшается с

увеличением числа сеансов игр, игра для крупье и заведения практически

беспроигрышна. Тем не менее, производить вероятностные расчеты в игровом зале

запрещается, потому, что они обеспечивают игроку успех.

Таким образом, организация выборочного контроля качества должна включать

предварительную оценку его эффективности – вероятности выявления дефектов и

необходимых объемов испытаний.

Нормальное распределение вероятностей

Производство продукции сопровождается действием большого числа факторов, как

предусматриваемых технологией и регулируемых, так и случайных, действие которых

101

учитывается на основе опыта персонала. Основополагающей теоретической базой

управления качеством является предельная теорема теории вероятностей, в разработку

которой внесли вклад многие великие математики – Лаплас, Гаусс, Чебышев, Ляпунов,

Колмогоров и др. Применительно к производству продукции и услуг она может быть

сформулирована следующим образом.

Действие большого числа независимых факторов, обусловленных или случайных,

приводит к результату не зависящему от случая, а именно, при выполнении некоторых

достаточно общих условий (условий Ляпунова), к нормальному распределению

вероятностей.

К действующим в промышленном производстве факторам относятся: предметы

труда – материалы и комплектующие; оборудование, его характеристики и

самопроизвольное разрегулирование; оснастка и инструменты с изменением свойств в

процессе работы; персонал с изменениями квалификации, вызванными естественными и

случайными причинами; состояние окружающей среды и др.

Условия Ляпунова, относящиеся к сходимости абсолютных моментов с порядком

более второго, для системы качества формулируются в понятиях управляемости, то есть,

если система производства управляема вообще, то показатели качества продукции,

скорее всего, имеют нормальное распределение вероятности.

Рассматривая модель системы качества как “черный ящик”, можно считать

показатели качества выходными характеристиками. Следовательно, действуя на входные

характеристики производства, предполагая нормальное распределение выходных

показателей, мы можем управлять качеством продукции.

Распределение случайной величины Х называется нормальным, если она имеет

плотность вероятности

p(x,a,s)=1/((2*π)

1/2

*s)*exp(– (x–a)

/2s

где а – математическое ожидание, s

– дисперсия. Если а и s

неизвестны, то их можно

оценить по последовательности реализаций х

... х

а=(1/n)

∑

, s

= [1/(n–1)]

∑

(х

– а)

Свойства нормального распределения.

102

1. Распределение подчиняется нормировке

∞

∫ p(x,a,s)∂x =1

−∞

2. Распределение симметрично относительно а, т.е.

∞

∫ p(x,a,s)∂x =∫ p(x,a,s)∂x =0,5

−∞

3. В интервале значений переменной а ± k*s площадь под кривой распределения является

функцией k

a +ks

∫ p(x,a,s)∂x=f(k)

a –ks

например, f(1)=0,682, f(2)=0,955, f(3)=0,9993.

Правило 3s утверждает, что практически все возможные случаи укладываются

в интервал значений а ± 3*s (рис. 9).

0,5

-3 -2 -1 0 1 2 3

p(x), W(x)

Рис. 9. Плотность вероятности и функция нормального распределения

103

На рис. 9 функция нормального распределения определена следующим образом

Р=int=∫ p(x,a,s)∂x для а=0 и s=1

−∞

Если предполагается, что выборка результатов измерений подчиняется нормальному

закону распределения, оценку выскакивающих значений, не соответствующих этому закону,

производят по отношению

|(x

–x

ср

)|/s >V(b,n),

где b=1-Р вероятность того, что выборка из n измерений не покрывает все поле

распределения, при увеличении объема выборки и заданном b, V возрастает:

V(0,1;10)=2,15; V(0,1;30)=2,51.

Однородность дисперсии различных выборок для объединения средних

устанавливается по критерию Фишера

≤F(b,n

)

при этом s

. При увеличении объема выборок F, как правило, убывает: F(0,1;10;10)=3,0;

F(0,1;30;30)=1,8. Если показатели качества имеют различную размерность или масштаб,

вместо дисперсии следует использовать относительные значения дисперсии – квадраты

коэффициентов вариации (w=s/x

ср

)

* (x

2ср

/ x

1ср

)

≤F

Нормальное распределение имеет важное значение для оценки качества продукции, с

его применением определяют вероятность появления дефекта или невыполнения

установленного требования при серийном или массовом производстве. Вероятность

появления в испытаниях результата, меньшего а-s (или большего а+s) составляет 16%, <а-

2s(>а+2s) – 2,5%, <а-3s(а+3s) – менее 0,1%.

104

При контроле качества обычно проводят ограниченное число испытаний, которое, в

принципе, не является гарантией соответствия продукции заявленным требованиям.

Например, вероятность обнаружения одного случая брака по механическим свойствам при

гарантированных требованиях не менее, чем а-2s (2,5% или 5 образцов на 200) после

испытаний 3 образцов составит

1-195*194*193/(200*199*198)=0,0735,

поэтому контроль качества имеет не только и не столько техническое, сколько

психологическое значение и должен проводиться гласно с доведением результатов до

исполнителей, поощрением за достижение и поддержание установленного уровня качества,

а также с наказанием за невыполнение установленных требований.

Проверка статистических гипотез

Экспериментальные результаты измерений свойств и характеристик, определяющих

качество продукции, могут быть представлены в виде гистограммы или выборочным

средним и дисперсией. Однако для управления качеством продукции необходимо оценить

принадлежность данной выборки определенному теоретическому распределению, что дает

возможность принимать технические и управленческие решения. На практике это

соответствие определяют по критериям Пирсона (χ

–критерий) или критерию Колмогорова

(λ – критерий).

Отдельные результаты и параметры распределения оценивают, как показано ранее: 1)

выскакивающие значения по критерию V

наиб

; 2) среднее по критерию Стьюдента (t); 3)

дисперсии по критерию Фишера (F).

Кратко рассмотрим методы проверки статистических гипотез, представляющих собой

некоторые предположения относительно параметров генеральной совокупности из которой

производится выборка.

Пусть генеральная совокупность подчиняется неизвестному теоретическому

распределению. Экспериментальные результаты позволяют оценить математическое

ожидание по выборочному среднему и дисперсию по выборочному среднеквадратичному

отклонению. Высказывается гипотеза о принадлежности выборки генеральной

совокупности, подчиняющейся определенному закону распределения, например,

нормальному, пуассоновскому или другому. Типичным примером является сравнение

параметров распределения с их выборочными значениями на разность или отношение. Такая

105

гипотеза обычно обозначается Н

. Ее справедливость можно доказать, по крайней мере

двумя способами – оценкой критерия Пирсона или критерия Колмогорова и сравнением

оценки с соответствующим табличным значением. Оценка выборки по критерию Пирсона

(χ

–критерий) является более точной, но связана с громоздкими вычислениями сумм

квадратов отклонений частот и вероятностей, требует для реализации не менее 200 опытов,

поэтому оставим ее для квалифицированных специалистов в области статистики.

Оценка выборки по критерию Колмогорова

Пусть F(z) и F*(z) – соответственно теоретическая и экспериментальная

интегральная функции распределения, тогда величина

=sup  F*(z) – F(z) ,

где sup (supremum) – наибольшее значение из множества чисел, может быть применена для

принятия гипотезы о нормальном распределении результатов при D

*√n<λ

где α –

уровень значимости и, наоборот, гипотеза отвергается, если D

*√n≥λ

Значения λ

приведены в табл. 4.

Таблица 4

Значения критерия Колмогорова λ

и результаты расчетов

1-α

0.001 0.01 0.05 0.1 0.2 0.4 0.8 0.95 0.99

1.95 1.60 1.36 1.22 1.08 0.90 0.65 0.52 0.40

Продолжим статистическую обработку урожая яблок, чтобы доказать, что

распределение их массы подчиняется нормальному закону с математическим ожидание 170

грамм и дисперсией =1225.

Таблица 5

Проверка гипотезы о соответствии распределения массы яблок нормальному закону

Масса,

грамм

<100

100

<120

120

<140

140

<160

160

<180

180

<200

200

<220

220

<240

240

<260

Частота,

/N,%

2 3 7 14 22 20 15 11 4

Z= -2,28 -1,71 -1,14 -0,57 0 0,57 1,14 1,71 2,28

106

(x-x

ср

)/S

F*(Z) 0,02 0,05 0,12 0,26 0,48 0,68 0,83 0,96 1,0

F(z) 0,01 0,04 0,12 0,28 0,50 0,73 0,87 0,96 0,98

F*(z)-

F(z)

0,01 0,01 0,0 -0,02 -0,02 -0,05 -0,04 0,0 0,02

В табл. 5 аргументом является отношение отклонения средней интервальной массы

от средней по выборке к S

Z=(x-x

ср

)/S=(x-170)/35

F*(z) –это накопленная частота по интервалам, F(z) – интегральная функция нормального

распределения. Выбор D

как наибольшей разности дает величину

=sup  F*(z) – F(z) =0,05.

Критическое значение λ

=0,52 для уровня значимости α=0,05 (1-α=0,95). Следовательно,

критерий Колмогорова меньше критического значения

*√n=0,05√100=0,50<λ

=0,52

107

-0,1

0,1

0,3

0,5

0,7

0,9

-2,28

-1,71

-1,14

-0,57

0,57

1,14

1,71

2,28

F(z)

F*(z)

Рис. 10. Отклонение D

для проверки гипотезы о нормальном распределении

Таким образом, таблица и график показывают, что для α=0.05 гипотеза о

нормальном распределении массы яблок, собранных с одного дерева справедлива.

Порядок обработки результатов измерений.

Если выборка результатов измерений подчиняется нормальному закону

распределения, статистическую обработку проводят в следующем порядке.

1. Устанавливают количественные значения.

2. Проводят ранжирование результатов, т.е. располагают их по порядку – от меньшего к

большему, строят гистограмму распределения.

3. Вычисляют среднее.

4. Вычисляют дисперсию.

5. Проводят оценку на принадлежность выборки нормальному распределению по

критерию Пирсона или по критерию Колмогорова, этот случай наиболее теоретически

разработан и может быть применен для дальнейшего анализа результатов измерений по

пунктам 6 – 8.

6. Устанавливают наличие в крайних результатах выскакивающих значений, отбрасывают

большее из них, пересчитывают из оставшейся выборки новое среднее и новую дисперсию.

7. При необходимости п. 5 повторяют до достижения условия |(x

–x

ср

)|/s ≤V(b,n),

9. Ожидаемый доверительный интервал для среднего значения рассчитывают по

критерию Стьюдента х

ср

→а ±t*s/n

1/2

. Разброс ожидаемого значения среднего для уровня

значимости 0,05 (двухсторонний критерий) приводится ниже.

n 3 6 10 20 30 100

± t*s/n

1/2

1.835*s 1.000*s 0.705*s 0.476*s 0.372*s 0.200*s

Как следует из таблицы, для того, чтобы ожидаемое среднее отличалось от разброса

значений, количество измерений для статистической обработки должно быть более 10,

обычно это значение не менее 30. При массовом производстве и контроле качества,

108

например, механических свойств материалов s/х

ср

≤0.1– 0.2, причем нижние значения

относятся к прочностным свойствам, в верхние – к пластическим.

Установление технических требований.

Нормальное распределение применяется, как правило, при установлении технических

требований по результатам испытаний новой продукции, а также для контроля качества

технологических процессов при производстве освоенной продукции. Существуют два вида

технических требований, формулируемых по результатам статистической обработки

испытаний:

1) гарантированный уровень показателей качества;

2) гарантированный разброс показателей качества.

В первом случае определяют верхний или нижний предел показателей на основе

параметров нормального распределения:

а) х

наиб

≤а+k*s для верхнего предела, например, для числа бактерий в питьевой воде или

концентрации нитратов;

б) х

наим

≥а–k*s для нижнего предела, например, для прочности троса, удерживающего лифт.

Вероятность выполнения такого установленного требования в обоих случаях одинакова и

составляет

Р=1–(1–f(k))/2=0.5+f(k)/2

что для k=1,2,3 дает Р=0.84, 0.975, 0,999 соответственно.

Во втором случае определяют допустимый разброс наименьшего и набольшего

значений

наим

... х

наиб

= а–k*s ...а+k*s

Вероятность выполнения такого установленного требования

Р= f(k).

Пример установления технических требований. Технические требования

устанавливаются в несколько этапов. Например, для конструкционного материала в два

этапа: для производства материала; для эксплуатации в деталях машин и оборудовании.

109

Для производства материала устанавливают пределы допустимых значений при

контрольных испытаниях. Если сталь марки 45 имеет средний предел текучести x

ср

=500Мпа

при дисперсии S=50 Мпа, то для контроля качества на категорию прочности КП40

устанавливается приемочное значение

0,2

≥500–2*S=400 Мпа

с вероятностью выполнения требования

Р(х≥σ=400)=0.975.

Партии, не выдержавшие установленное требование, бракуются.

Для эксплуатации устанавливают коэффициенты запаса для допустимых нагрузок,

например, по действующим напряжениям К=1.10–1.15. Выбрав коэффициент запаса К=1.14,

получим допустимые напряжения

доп

=400/1,14=350=х

ср

–3*S

с вероятностью обеспечения этого требования

Р(σ

доп

=х

ср

–3*S ≥σ

доп

=350)=0.9985.

Рассуждая формально, возможны три случая:

1) материал с пределом текучести σ

0,2

<400 МПа в эксплуатацию не допускается, но если на

этапе производства материала произойдет сбой, и в эксплуатацию пройдет не прошедший

контроль материал, то вероятность того, что он не выдержит расчетных нагрузок Р=0.0015

(0.15%);

2) напряжения выше σ

доп

=350 не допускаются, но если они составят не более 1.14 от

допустимых нарушения работы изделия не произойдет;

3) при одновременном пропуске контроля материала и допустимой перегрузке вероятность

нарушения эксплуатационных требований достигнет Р=0.025 (2.5%).

Обсуждать варианты заведомого несоответствия качества материала и не

установленного превышения допустимых нагрузок не имеет технического смысла, это

относится к психопатологии.

Распределение Пуассона (процессы обслуживания)

110