Анастасиади Г.П. Конспект лекций по курсу управление качеством
Подождите немного. Документ загружается.
Рассматривая качество как информационную характеристику производственной
системы можно утверждать, что показателем динамики ее изменения является
информационная энтропия S( p
i
)
– вероятность изготовления в конкретной
производственной системе продукции i-го уровня качества из n возможных уровней. Если
для данной производственной системы возможно изготовление продукции трех уровней
качества, например первого, второго и третьего сорта, то, исходя из определения
информационной энтропии, могут рассматриваться следующие варианты:
2. Энтропия достигает максимума при р
1
=р
2
=р
3
,
S=3*1/3*log
2
3=1,585
3. Энтропия равна 0 при вероятности одного из уровней качества равной 1.
4. При других вероятностях энтропия принимает промежуточные значения, например, если
вероятности появления продукции первого, второго и третьего сорта качества
соответственно равны 1/2, 3/8 и 1/8, получим:
S=1/2log
2
2+3/8 log
2
8/3+1/8log
2
8=1,406.
В общем случае классификации продукции по альтернативному признаку –
бракованная с вероятностью p и годная с вероятностью 1-p, зависимость энтропии от доли
брака, описывается выражением:
S=plog
2
1/p+(1-p)log
2
1/(1-p),
С производной
dS/dp=log
2
[(1-p)/p]
График зависимости энтропии от доли брака приводится на рис. 13
Для анализа проблем качества интерес представляют производственные процессы,
обеспечивающие долю брака p<0,5. При этом колебания качества поставляемых по
кооперации материалов и комплектующих изделий, разрегулирование оборудования и
колебания квалификации персонала повышает долю брака и информационную энтропию,
компенсацию которых необходимо проводить управляющими воздействиями. Следует
иметь в виду, что дополнительные воздействия ведут к увеличению издержек и,
соответственно, к снижению прибыли.
131
Рис. 13. Зависимость информационной энтропии от доли брака
Как отмечается в стандарте ИСО 9000, руководство должно быть уверено, что
установленные технологические требования и процессы производства выполняются, а
намеченное качество продукции достигается или будет достигнуто. В соответствии с
правилами рыночной экономики для такой уверенности не требуется дополнительных
свидетельств или доказательств. Нарушение установленных требований и процессов
расценивается как проявление нелояльности к фирме и влечет за собой увольнение.
Дополнительные издержки на подтверждение качества продукции или услуг также являются
недопустимыми и представляет собой непроизводственные расходы.
Производство продукции и услуг является неравновесным процессом, поскольку его
энтропия, как характеристика изменения системы переменна и зависит как от процессов
внутри системы, так и от взаимодействия системы производства с внешней средой. В
формулировке И.Р. Пригожина [5] изменение энтропии можно записать в виде:
dS=dS
i
+dS
e
где индексы i и e относятся к внутренним процессам и обмену энтропией с внешней средой.
Причем, минимум общего производства энтропии соответствует стационарному,
устойчивому состоянию системы во внешней среде.
Применительно к управлению качеством продукции внутренним процессом в
производственной системе является изготовление продукции в соответствии с
разработанной технологией из сертифицированных исходных материалов персоналом
132
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
p
S
Р яд1
установленной квалификации на настроенном согласно техническим требованиям
оборудовании. При таких условиях производство должно быть устойчиво доля брака
продукции не должно превышать величины р
0
, установленной при разработке и освоении
продукции. Доля годной продукции при этом составляет q
0
=1-p
0
. Улучшение качество
поставок, повышение квалификации персонала и применение более точного оборудования
не влияет на экономические показатели производства продукции установленного уровня
качества и соответствующего установленной доле брака (р
0
) энтропии. Применение
управляющих воздействий, внешних по отношению к действующему в устойчивом
состоянии производству, избыточно и поэтому нецелесообразно, поскольку общая энтропия
S повышается и система переходит в новое состояние, не обязательно устойчивое.
Ухудшение качества поставок, снижение квалификации персонала (включая физическую и
психологическую усталость) и разрегулирование оборудования увеличивает текущую долю
брака р
*
относительно
р
0
и повышает внутреннюю энтропию системы. Это требует
применения управляющих организационных воздействий, внешних по отношению к
действующему производству. Проблема заключается в том, что должен быть установлен
критерий, определяющий необходимость действия. Такой критерий может быть установлен
на основе оценки количества информации для данной статистики, имеющей, например,
биномиальное распределение. Принятие решения о необходимости управляющих
воздействий на процесс серийного производства со стороны менеджеров высшего звена
имеем дилемму:
1) отклонения от нормального процесса не являются критическими и
предусмотренные процедуры способны вернуть процесс к нормам,
установленным технологией, в этом случае вмешательство высшего руководства
нецелесообразно, оно ограничивают полномочия линейных руководителей, у
которых впоследствии может возникнуть нежелание принимать решения,
относящиеся к их компетенции;
2) отклонения от нормального процесса уже являются критическими и непринятие
решения приведет к значительным экономическим и организационным потерям.
Обычно принятие решения основывается на анализе проблем с нескольких сторон,
среди которых правильно оцененная информация имеет важное значение. При р
*
<р
0
производство находится в устойчивом состоянии, а при р
*
>р
кр
определенно требуется
принятие управленческого решения. Рассмотрим примеры, относящиеся к принятию
управленческих решений на основе контроля качества по альтернативному и непрерывному
признаку. Основанием для принятия решений является сопоставление количества
133
информации текущих данных контроля показателей качества с параметрами,
установленными технологической документацией для нормального хода производства, и с
критическими показателями, принимаемыми руководством на основе опыта или
интуитивно, предполагающими необходимость принятия управленческого решения. Это
сопоставление базируется на предложенном К. Шенноном способе измерения числом
количества информации, содержащейся в одном случайном объекте (событии, величине,
функции) относительно другого случайного объекта.
Пусть X – случайная величина, принимающая значения х
1
, х
2
… х
n
, с вероятностями
р
1,
р
2
…
р
n
,
а Y– случайная величина, принимающая значения y
1
, y
2
, y
n
, с вероятностями q
1,
q
2…
q
n
,
тогда информация I(X,Y) относительно Y содержащаяся в X, определяется формулой
)/(log),(
,
,2, ji
ji
jiji
qpppYXI
∑
=
где p
i,j
– вероятность совмещения событий X=x
i
иY=y
j .
Информация всегда I(X,Y)≥0, и
равенство I(X,Y)=0 возможно тогда и только тогда, когда p
i,j
=p
i
q
j
при всех i и j, т.е. когда
случайные величины X и Y независимы. Если и могут принимать бесконечное число
значений, то формула для количества информации принимает вид
dxdyyqxpyxpyxpYXI )]()(/),([log),(),(
2
∫∫
=
где p и q – соответствующие плотности вероятности.
В узком «техническом» приложении в случае двух близких гипотез о значении
параметров распределения случайных величин, к которому относится управление качеством
в действующем по освоенной технологии производстве, применимо предельное выражение
для количества информации по С. Кульбаку
)())(/)((log)()2:1(
2
xdxqxpxpI
λ
∫
=
где λ(х) – вероятностная мера.
Предельное выражение позволяет оценить количество информации в
экспериментальных данных по отношению к параметрам распределения показателей
качества, установленного на этапе освоения производства, и принять решение на основе
этой информации о необходимости управленческих воздействий. Следующие примеры
поясняют такие процедуры управления производством.
Рассмотрим примеры, относящиеся к принятию управленческих решений на основе
контроля качества по альтернативному и непрерывному признаку.
134
Пример 1: Пусть действующее производство основано на технологии,
обеспечивающей долю брака не более р
0
и установлена критическая доля брака для
принятия управленческого решения р
кр
. Требуется оценить информацию о текущей доле
брака p*=n*/n (n и n* – число испытаний и число обнаруженных бракованных изделий) для
р
0
<р
*
<р
кр
, доля годной продукции при этом q=1-p, т.е. распределение подчиняется
биномиальному закону. В случае р*<р
0
ситуация является нормальной, а в случае р*>р
кр
очевидно критической. Следует учитывать, что показатель брака р
0
был установлен на этапе
разработки и освоения продукции при условно неограниченном (очень большом) числе
экспериментов. Текущая доля брака р* зависит от объема выборки при контроле качества
продукции и может изменяться в пределах 0≤р*≤1, причем с увеличением объема выборки,
в принципе, должна приближаться к величине р
0
. Колебания р* характеризуют уровень
неустойчивости производственного процесса. Уровень показателя р
кр
, определяющий
безусловную необходимость принятия управленческого решения, обусловлен опытом и
интуицией руководителя (лица, принимающего решение). Выражение для информации по С.
Кульбаку имеет вид:
1) относительно установленного требования р
0
– гипотеза Н
1
о принадлежности
выборочного распределения к ,распределению с параметрами р=р
0
и q=1-p
0
I*(*:H
1
)=n [p*log(p*/p
0
)+q*log(q*/q
0
)]=nF(p*,p
0
),
2) относительного критического уровня брака для принятия управленческого
решения, гипотеза Н
2
о принадлежности выборочного распределения к распределению с
параметрами р=р
кр
и q=1-p
кр
I
*
(*:H
2
)=n [p*log(p*/p
кр
)+q*log(q*/q
кр
)]=nF(p*,p
кр
).
Принятие решения в первом приближении можно производить при сравнении
количества информации: если I*(*:H
1
)<I*(*:H
2
) принимается гипотеза Н
1
, т.е. выборка
принадлежит распределению с параметрами p
0
и q
0
=1-p
0
, следовательно установленные
требования пока соблюдаются; в противном случае принимается гипотеза Н
2
, т.е. пора
применять управленческие решения.
Функция F(p
1
,p
2
) имеет выпуклость вниз для данного р
1
, при р
1
=р
2
функция F(p
1
,p
2
)=0,
монотонно убывает при р
1
<р
2
и возрастает при р
1
>р
2
. Значения функции
F(p
1
,p
2
)=[p
1
ln(p
1
/p
2
)+q
1
ln(q
1
/q
2
)], p
1
+q
1
=p
2
+q
2
=1 приведены в Приложении на с. 267.
Графики функции для р
2
=0,05 и р
2
=0,15 приведены на рис. 2.
Пример 1: при отработке и освоении технологии уровень брака установлен р
0
=0,03
(гипотеза Н
1
), критический уровень брака для принятия управленческого решения р
кр
=0,10
135
(гипотеза Н
2
), текущий уровень брака р*=0,05. Определить количество информации для
принятия управленческого решения. По таблице 2 имеем:
I(*:H
1
)=nF(p*,p
1
)=nF(0,05; 0,03)= 0,016 n,
I(*:H
2
)=nF(p*,p
2
)=nF(0,05; 0,10)= 0,05 n.
Поскольку I(*:H
2
)> I(*:H
1
) мы отвергаем гипотезу Н
2
и считаем, что ситуация
находится в нормальном состоянии. Значение р*, соответствующее условию равенства
I(*:H
2
)=I(*:H
1
), определяется выражением:
р*=log(q
r
/q
0
)/log(p
0
q
1
/p
1
q
0
),
для этого примера р*=0,058569, меньшие значения р*<0,058569 свидетельствуют о
нормальном ходе производственного процесса, большие значения р*>0,058569 позволяют
предположить необходимость принятия руководством управленческих решений.
Пример 2: В условиях примера р*=0,08. Определить количество информации для
принятия управленческого решения. По таблице 2 имеем:
I(*:H
1
)=nF(p*,p
1
)=nF(0,08; 0,03)= 0,029 n,
I(*:H
2
)=nF(p*,p
2
)=nF(0,08; 0,10)= 0,003 n.
Поскольку I(*:H
1
)> I(*:H
2
) мы отвергаем гипотезу Н
1
и считаем, что ситуация требует
принятия управленческого решения. Однако, возможно, что интуиция нам подсказывает,
что имеются объективные (неуправляемые) факторы вызвавшие скачок брака р*=0,08. Это
может быть смена поставщика материалов или инструментов, уход в отпуск или болезнь
части работника, прошедший вчера праздник или ненастная погода и т.д. На этот случай
тоже есть закон Мерфи / /: «Часто неизвестно, кто прав, но всегда известно, кто начальник».
136
Рис. 14. График функции F(p
1
,p
2
): 1 – р
1
=0,05; 2 – р
1
=0,15
Руководитель всегда должен принимать решение, когда ситуация выходит за
установленные рамки. В данном случае это может быть решение: установить до
конкретной даты критический уровень брака для принятия управленческого решения
р
кр
=0,20 (гипотеза Н
2
). Тогда в силу вступает анализ в соответствии с примером 3: при
отработке и освоении технологии уровень брака установлен р
0
=0,03 (гипотеза Н
1
),
критический уровень брака для принятия управленческого решения р
кр
=0,20 (гипотеза Н
2
),
текущий уровень брака р*=0,08. Определить количество информации для принятия
управленческого решения. По таблице 2 имеем:
I(*:H
1
)=nF(p*,p
1
)=nF(0,08; 0,03)= 0,029 n,
I(*:H
2
)=nF(p*,p
2
)=nF(0,08; 0,20)= 0,055 n.
Поскольку I(*:H
2
)> I(*:H
1
) мы отвергаем гипотезу Н
2
и считаем, что ситуация
временно находится в нормальном состоянии. Временно – означает, что данная ситуация
находится в списке контролируемых и угроза принятия управленческого решения
сохраняется. Анализ в соответствии с теорией информации иллюстрирует рис. 15.
137
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
р2
F(p1,p2)
1
2
Рис. 15. Расчет критического риска для принятия решения в действующем
производстве: установленная в требованиях доля брака р=0,03 (ряд 1); временно допустимая
р=0,20 (ряд 3); реальное состояние р
кр
=0,08 с текущим браком р*=0,08-0,15
В случае, если контролируемый признак имеет нормальное распределение с
математическим ожиданием а=0 и дисперсией σ
2
, технологический процесс в нормальном
состоянии обеспечивает разброс показателей, характеризующийся дисперсией σ
0
2
.
Установлена граница принятия управленческого решения σ
кр
2
>σ
0
2
. Текущее значение
дисперсии по контролю производства σ
кр
2
>y
2
>σ
0
2
рассчитывается по формуле
Необходимо оценить количество информации для принятия управленческого решения. В
этом случае гипотеза Н
1
о принадлежности выборочной дисперсии распределению с
параметром σ
0
2
и гипотеза Н
2
о принадлежности выборочной дисперсии распределению с
параметром σ
кр
2
, соответственно по С. Кульбаку [6]:
I*(y
2
:H
1
)=n/2[ln(σ
0
2
/y
2
)-1+ y
2
/σ
0
2
],
I*(y
2
:H
2
)=n/2[ln(σ
кр
2
/y
2
)-1+ y
2
/σ
кр
2
],
138
∑
=
∆=
n
i
i
x
n
y
1
22
1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
p2
F (p1, p2)
Ряд1
Ряд2
Ряд3
Функция F(y
2
, σ
2
) зависит только от соотношения u=y
2
/σ
2
, ее значения приведены в таблице
8.
Таблица 8
Значения функции F(y
2
, σ
2
)= ln(σ
2
/y
2
)-1+ y
2
/σ
2
для нормальной плотности распределения с
параметрами а=0, σ
2
, y
2
σ
2
/y
2
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
F(y
2
, σ
2
)
6,697 2,390 1,129 0,583 0,306 0,158 0,071 0,026 0,005 0
σ
2
/y
2
2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 10,0 12,0 15,0
F(y
2
, σ
2
)
0,193 0,432 0,636 0,809 0,958 1,088 1,204 1,402 1,568 1,774
Рис. 16. Значения функции F(y
2
, σ
2
)= ln(σ
2
/y
2
)-1+ y
2
/σ
2
для нормальной плотности
распределения с параметрами а=0 и дисперсией σ
2
, y
2
, u=σ
2
/y
2
Вид зависимости функции F(y
2
, σ
2
) от аргумента u=σ
2
/y
2
приведен на рис. 16.
Пример 2: при отработке технологии для некоторого параметра с математическим
ожиданием а=0 уровень дисперсии установлен в некоторых единицах σ
0
2
=0,5 (гипотеза Н
1
),
критический уровень дисперсии для принятия управленческого решения σ
кр
2
=3,0 (гипотеза
Н
2
), текущий уровень значение дисперсии y
2
=1,5. Определить количество информации для
принятия управленческого решения.
139
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-1 1 3 5 7 9 11 13 15
u
F(x)
Графики функции количества информации для экспериментальной дисперсии у
2
относительно σ
0
2
=0,5 (F
1
(y
2
, σ
0
2
) и σ
кр
2
=3,0 (F
2
(y
2
, σ
0
2
)
I(y
2
:H
1
)=n/2F(y
2
, σ
0
2
)=n/2F(1,5; 0,5)=0,901n/2,
I(y
2
:H
1
)=n/2F(y
2
, σ
кр
2
)=n/2F(1,5; 3,0)= 0,193n/2,
приведены на рис. 17
Поскольку I(*:H
2
)<I(*:H
1
) мы принимаем гипотезу Н
2
и считаем, что ситуация
требует принятия управленческих решений.
Рис. 17. Значения функции F(y
2
, σ
2
)= ln(σ
2
/y
2
)-1+ y
2
/σ
2
для нормальной плотности
распределения с параметрами а=0 и дисперсией σ
2
, y
2
, u=σ
2
/y
2
дляσ
0
2
=0,5 и σ
кр
2
=3,0
Значение y
2
, соответствующее условию равенства I(y
2
:H
2
)=I(y
2
:H
1
), определяется
выражением:
y
2
=ln(σ
кр
2
/σ
0
2
)/(1/σ
0
2
-1/σ
кр
2
),
для данного примера y
2
=1,79/(2-0,33)=1,075.
Пример 3. Пусть распределение случайной величины подчиняется закону Пуассона
P(k, m)=exp(-m)m
k
/k!
Если принимает m значения m
1
и m
2
, то средняя информация, содержащаяся в Н
1
относительно Н
2
, в выборке из n независимых наблюдений составляет
140
0
1
2
3
0 2 4 6 8 10
u
F(u,D1,D2)
Ряд1
Ряд3