Аскирка В.Ф. Электричество и магнетизм. Волновая оптика

Подождите немного. Документ загружается.

()

90,0

100,3101,9

106,6106,1

831

519

××

×××

-=b

107,2100,390,0 ×=××=b=u c м/с. (6)

Уравнение движения электрона в магнитном поле представ-

ляет собой релятивистское уравнение динамики:

= , (7)

где

– вектор равнодействующей всех сил, приложенных к час-

тице, p

– релятивистский импульс.

Так как электрон влетает перпендикулярно линиям магнитной

индукции, то он будет двигаться по окружности вокруг одной из

линий под действием лишь одной силы – магнитной составляю-

щей силы Лоренца

F . Эта сила в процессе движения всегда пер-

пендикулярна вектору скорости, поэтому модуль скорости изме-

няться не будет, а, значит, не будет со временем изменяться и мас-

са. Уравнение динамики (7) независимо от того, классической или

релятивистской является частица, может быть записано аналогич-

но классическому второму закону Ньютона:

nЛ

maF = , (8)

где

a – центростремительное (нормальное) ускорение:

= . (9)

Поскольку электрон влетает перпендикулярно линиям маг-

нитной индукции, то магнитная составляющая силы Лоренца

[9.16] равна:

BqF

u= , (10)

Закон (8) с учетом (9) и (10) приобретет вид:

mBq

=u . (11)

Учитывая соотношение (3), выражение (11) запишется в виде:

откуда магнитная индукция:

. (12)

Подставляя числовые значения в (12), находим:

070,0

050,0106,1

107,2

90,01

101,9

××

Тл.

Ответ: 070,0

B Тл.

Пример 17. Два иона, имеющие одинаковый заряд, но раз-

личные массы, влетели в однородное магнитное поле. Первый ион

начал двигаться по окружности радиусом 5,0 см, второй – по ок-

ружности радиусом 2,5 см. Найти отношение масс ионов, если они

прошли одинаковую ускоряющую разность потенциалов.

Дано:

0,5

=R см 050,0

м,

5,2

=R см 025,0

м.

Найти:

Решение. Пройдя ускоряющую разность потенциалов U ,

первый ион массой

m приобрел скорость

u , а второй массой

m – скорость

u . В условиях данной задачи работа, совершаемая

электрическим полем, идет на изменение кинетической энергии

заряженной частицы. Считая начальную скорость ионов равной

нулю, скорость каждого иона в момент попадания в магнитное

поле можно найти из равенства:

ккк

EEEA -=D= , (1)

где работа

поля по перемещению заряда

определяется из со-

отношения [3.7]:

qUA

, (2)

E ,

. (3)

Выражение (1) с учетом (2) и (3) будет иметь вид:

qU . (4)

Из соотношения (4) запишем выражения для скоростей обоих

ионов:

=u ,

=u . (5)

На ионы, летящие в магнитном поле, действует магнитная со-

ставляющая силы Лоренца [9.16], которая сообщает им центрост-

ремительные (нормальные) ускорения:

. (6)

Второй закон Ньютона для движения первого иона (учитывая

определение силы Лоренца) будет иметь вид:

sin

mBq

=au

, (7)

где

– угол между векторами скорости

и магнитной ин-

дукции

Так как по условию задачи ионы движутся по окружностям,

то угол

90 . С учетом этого выражение (7) запишем в виде:

. (8)

Аналогично рассуждая, можно записать соотношение для второго

иона:

. (9)

Приравнивая правые части (8) и (9), получим:

. (10)

Подставляя в полученное выражение (10) соотношения (5), полу-

чим искомое отношение масс ионов:

0,4

025,0

050,0

Ответ:

0,4

Пример 18. Двухпроводная линия состоит из двух параллель-

но расположенных проводов с радиусом поперечного сечения

10 см (рис. 1.48). Расстояние между осями проводов составляет

50 см. Определить индуктивность единицы длины такой системы

(рассматривать магнитное поле только между проводниками).

Дано:

d см 50,0

м,

r см 10,0

м.

Найти:

Решение. Для нахождения индуктивности единицы длины

двухпроводной линии первоначально необходимо определить

магнитный поток через площадь, ограниченную осями проводов,

для отрезка длиной l . Считаем, что система находится в вакууме,

тогда магнитная проницаемость среды 0,1

Магнитная индукция, созданная первым проводником с током

на расстоянии

от него, равна [9.12]:

, (1)

а созданная вторым проводником с током на расстоянии xd

от

него, равна:

()

-p

. (2)

Токи в проводниках двухпроводной линии текут в противопо-

ложных направлениях (рис. 1.48), значит, в точке

индукция

магнитного поля

B , создаваемая первым проводником с током,

совпадает по направлению с индукцией магнитного поля

B , соз-

даваемой вторым проводником с током. Принцип суперпозиции

магнитных полей [9.5] запишем в скалярном виде:

BBB += . (3)

Выражение (3) с учетом соотношений (1) и (2) будет иметь вид:

()

-p

. (4)

Если между проводниками выделить узкую полоску шириной

dx , параллельную проводникам с током, то магнитный поток, ко-

торый проходит через эту полоску [9.19], составляет величину:

()

ldx

Bldxd

-p

==F

, (5)

где l – длина полоски, равная длине отрезка проводников.

Полный магнитный поток, который проходит через простран-

ство между двумя проводниками, вычисляется путем интегриро-

вания дифференциального уравнения (5):

xdx

. (6)

Рис. 1.48

С другой стороны, учитывая, что с системой проводников ин-

дуктивностью

, по которым течет ток силой

, сцеплен магнит-

ный поток [10.6]:

, (7)

то из выражений (6) и (7) получим выражение для индуктивности

системы двух проводников:

= ln

. (8)

Искомая индуктивность единицы длины определяется выра-

жением:

. (9)

После подстановки числовых значений будем иметь:

1055,5

10,0

10,050,0

104

×=

×p

L Гн/м.

Ответ:

1055,5

×=

L Гн/м.

Пример 19. Виток радиусом 4,0 см, по которому течет ток

силой 15 А, свободно установился в однородном магнитном поле с

индукцией 1,5 Тл. Линии магнитной индукции перпендикулярны

плоскости витка. Определить работу, совершаемую внешними си-

лами при повороте витка относительно оси, совпадающей с его

диаметром, на угол

90 . Считать, что при повороте витка сила то-

ка в нем остается неизменной.

Дано:

0,4

r см 040,0

м,

I А,

5,1

B Тл,

90=a .

Найти:

Решение. На виток с током, помещенный в магнитное поле,

действует вращающий момент [9.4]:

a= sinBpM

, (1)

где

p – магнитный момент контура с током,

– индукция маг-

нитного поля,

– угол между направлениями векторов

По определению магнитный момент контура с током равен

[9.1]:

ISp

= , (2)

где

– сила тока в контуре, S – площадь, охватываемая

контуром.

Так как контур представляет собой окружность, то площадь,

охватываемая таким контуром, – площадь круга:

rS p= . (3)

Выражение (2) с учетом (3) будет иметь вид:

rIp

p= . (4)

В начальном положении (согласно условию задачи) виток

свободно установился в магнитном поле, следовательно, момент

внешних сил равен нулю, а, значит, векторы

совпадают

по направлению (то есть 0

=a ).

При действии внешних сил виток выходит из положения рав-

новесия, при этом возникает момент сил, определяемый выраже-

нием (1), который будет стремиться возвратить контур в исходное

положение. При повороте витка внешние силы совершают работу

против этого момента. Так как момент сил переменный, то для

нахождения работы необходимо воспользоваться определением

работы вращающего момента в дифференциальной форме:

MdAd . (5)

С учетом (1) и (4) выражение (5) приобретет вид:

aap=

dIBrAd sin

. (6)

Интегрирование выражения (6) позволяет найти работу при пово-

роте витка на конечный угол:

aap=

sin

dIBrA . (7)

Работа, совершаемая внешними силами при повороте на угол

90 , вычисляется путем интегрирования (7) с подстановкой соот-

ветствующих границ интегрирования:

cossin IBrIBrdIBrA p=ap-=aap=

. (8)

Подставляя числовые значения величин в выражение (8), найдем:

11,0040,05,11514,3

=×××=

A Дж.

Ответ: 11,0=

A Дж.

Пример 20. По горизонтальным рельсам, расположенным в

вертикальном однородном магнитном поле с индукцией 0,010 Тл,

скользит проводник длиной 1,0 м с постоянной скоростью 10 м/с

(рис. 1.49). Концы рельсов замкнуты резистором сопротивлением

2,0 Ом. Пренебрегая сопротивлением рельсов и проводника, опре-

делить количество теплоты, которое выделяется в резисторе

за 4,0 с.

Дано:

010,0

B Тл,

0,1

l м,

м/с,

0,2

R Ом,

0,4

t с.

Найти: Q .

Решение. Площадь замкнутого контура, образованного рези-

стором, рельсами и движущимся проводником, изменяется. Изме-

няется и магнитный поток, пронизывающий этот контур, и в нем

возникает ЭДС индукции.

Согласно закону Фарадея [10.1] ЭДС индукции равна:

-=E . (1)

По определению магнитного потока [9.19]:

cosBS , (2)

где S – площадь рамки,

– угол между вектором магнитной ин-

дукции

и нормалью к площади рамки n

Закон (1) с учетом (2) примет вид:

()

a-=cosBS

E . (3)

Так как по условию задачи угол

0 , а вектор constB =

, то

выражение (3) запишется в виде:

-=E . (4)

Если площадь замкнутого контура lxS

, то (4) запишется в

виде:

(

)

lxd

-=-=E . (5)

Величина u=

– скорость движения проводника. Поэтому

окончательно получим:

u-= Bl

E . (6)

Под действием возникшей постоянной ЭДС в контуре будет

течь постоянный ток. Количество теплоты Q , которое выделится

в резисторе за время t

, можно определить по закону Джоуля-

Ленца [7.1]:

= . (7)

Подставляя ранее найденное выражение для ЭДС в (7), по-

лучим:

Рис. 1.49

100

222

= .

Учитывая числовые значения величин, получим:

020,00,4

0,2

100,1010,0

222

××

=Q Дж.

Ответ: 20

Q мДж.

Пример 21. Определить индуктивность тороида (рис. 1.50),

энергию магнитного поля в его стальном сердечнике, если по об-

мотке течет ток силой 0,50 А. Витки провода обмотки диаметром

0,40 мм с тонкой изоляцией плотно прилегают друг к другу. Пло-

щадь сечения сердечника составляет 3,0 см

, а диаметр средней

линии тороида – 0,40 м. Сердечник до пропускания тока ненамаг-

ничен.

Дано:

50,0

I А,

0,3

S см

100,3

×= м

40,0

d мм

1040,0

×= м,

40,0

D м.

Найти:

, W .

Решение. Сравнивая значения диаметра средней линии то-

роида с диаметром сечения сердечника (

D ), приходим к выводу,

что в условиях данной задачи ( DD

<< ) для расчета индуктивно-

сти тороида можно воспользоваться выражением для расчета ин-

дуктивности длинного соленоида [10.8], который согнут в кольцо:

lVNL mm= , (1)

где

m – магнитная постоянная,

– магнитная проницаемость

материала сердечника, V – объем сердечника, N – количество

витков обмотки, l – длина средней линии тороида.

Объем сердечника определяется из соотношения:

DSV

. (2)