Аскирка В.Ф. Электричество и магнетизм. Волновая оптика

Подождите немного. Документ загружается.

Пример 11. Нагревательный элемент электрического чайника

имеет две обмотки. Если в сеть включена одна из них, вода в чай-

нике закипает через 12 мин. Если в ту же сеть включена другая –

через 25 мин. Сколько времени необходимо для закипания воды в

чайнике, если включить в сеть две обмотки: параллельно; после-

довательно? КПД чайника постоянен.

Дано:

=t мин,

=t мин.

Найти:

посл

t ,

пар

t .

Решение. Учитывая, что во всех случаях чайник включается в

одну и ту же сеть с напряжением U , то для решения воспользуем-

ся законом Джоуля-Ленца [7.1] в форме:

. (1)

Так как количество воды в чайнике, а также его КПД посто-

янны, то для закипания воды во всех случаях требуется одинако-

вое количество теплоты Q

, которое связано с количеством тепло-

ты Q , выделяемым при прохождении электрического тока в об-

мотках, соотношением:

QQ h=

, (2)

где

– КПД чайника.

Тогда при включении первой обмотки с сопротивлением

выражение (1) с учетом (2) примет вид:

th=

. (3)

При включении второй обмотки получим аналогичное выражение:

th=

. (4)

При последовательном соединении обмоток общее сопротивление

проводников [5.13]:

RRR

посл

+= . (5)

Следовательно, выделяющееся при этом количество теплоты

равно:

посл

Q t

. (6)

При параллельном соединении обмоток их общее сопротивление

определяется из выражения [5.14]:

пар

. (7)

Следовательно:

(

)

пар

RRU

Q t

. (8)

Выражая из (3) и (4) сопротивления

R и

R , подставляя сначала в

(6), а затем в (8), получим:

посл

, (9)

пар

. (10)

Из соотношения (9) выражаем искомое время закипания воды при

включении двух обмоток последовательно:

372512

=+=t+t=t

посл

мин.

Из соотношения (10) выражаем искомое время закипания воды

при включении двух обмоток параллельно:

0,8

2512

t+t

пар

мин.

Ответ: 37=t

посл

мин, 0,8=t

пар

мин.

Пример 12. Через спираль сопротивлением

течет ток, сила

которого уменьшается линейно до нуля в течение времени

Определить количество теплоты, которое выделится в спирали

при прохождении через нее заряда

q .

Дано:

q .

Найти: Q .

Решение. Сила тока, текущего через сопротивление, линейно

уменьшается со временем до нуля. Соответствующий закон изме-

нения силы тока можно записать в виде:

ktIi -=

, (1)

где k – некоторый коэффициент.

Поскольку в конечный момент времени сила тока равна нулю

( 0

i ), то t= kI

, откуда неизвестный коэффициент k выражает-

ся в виде:

k . (2)

С учетом (2) выражение (1) приобретет вид:

Ii 1

. (3)

Заряд, прошедший через спираль за время dt , согласно определе-

нию [5.1] idtdq

. Тогда интегральное соотношение для нахожде-

ния всего заряда будет иметь вид:

-t=

Idt

Iq ,

откуда начальное значение силы тока равно:

I . (4)

Таким образом, с учетом выражений (3) и (4) сила тока со време-

нем изменялась по закону:

i 1

. (5)

Количество выделившейся теплоты в спирали определяется из

закона Джоуля-Ленца [7.1]:

()

-t-

òòò

ttt

RdtiQ

()

-t-

Ответ:

Q .

Пример 13. Плотность тока при электролизе медного купоро-

са составляет 100 А/м

. Определить толщину слоя меди, выделив-

шейся за 10 часов.

Дано:

100

j А/м

t ч 36000

с,

96480

F Кл/моль.

Найти: h .

Решение. Согласно закону Фарадея для электролиза [8.4]

масса выделившегося на электроде вещества равна:

= , (1)

где

– постоянная Фарадея,

– молярная масса вещества,

–

валентность,

– сила постоянного тока, протекающего через

электролит,

– время протекания тока.

Сила тока связана с плотностью тока соотношением [5.2]:

jSI

, (2)

где S – площадь поперечного сечения проводника.

Учитывая выражение (2), закон Фарадея (1) примет вид:

jSt

= . (3)

С другой стороны, масса выделившегося вещества может

быть получена из соотношения:

ShVm

, (4)

где

– плотность выделившегося вещества, h – толщина слоя

(считая ее одинаковой по всей поверхности) выделившегося ве-

щества.

Подставляя (4) в (3) и выражая искомую толщину слоя, получим:

Mjt

или с учетом числовых значений величин

10337,1

8930

96480

36000100064,0

×=

××

=h м.

Ответ:

10337,1

×=h м.

Пример 14. Между пластинами конденсатора площадью

370 см

находится водород объемом 320 см

. При подаче напряже-

ния 52,4 В на конденсатор сила проходящего через него тока со-

ставила

107,2

× А. Найти концентрацию ионов в газе, если под-

вижность положительных ионов 4,5=

b см

/(В×с), а отрицатель-

ных – 4,7=

b см

/(В×с).

Дано:

370

S см

107,3

×= м

320

V см

102,3

×= м

4,52

U В,

107,2

×=I А,

4,5=

b см

/(В×с)

104,5

×= м

/(В×с),

4,7=

b см

/(В×с)

104,7

×= м

/(В×с).

Найти:

Решение. Так как электрическое поле в плоском конденсато-

ре однородно, то напряженность поля связана с напряжением ме-

жду обкладками соотношением [3.10]:

E = , (1)

где d – расстояние между обкладками конденсатора.

Если между обкладками конденсатора в однородном электро-

статическом поле имеются электрически заряженные частицы, то

под действием сил поля они начинают упорядоченно двигаться,

создавая таким образом электрический ток. Плотность тока в газе

при наличии ионов обоих знаков связана с напряженностью соот-

ношением (смотри [8.5], [8.6]):

(

)

Ebbqnj

+= , (2)

где

b и

b – подвижности положительных и отрицательных ио-

нов, соответственно,

– заряд иона,

– концентрация ионов.

Из соотношений (1) и (2) получим выражение:

()

bbqnj

+= . (3)

Искомая концентрация запишется в виде:

()

bbqU

. (4)

Объем газа, заключенного между обкладками конденсатора,

равен SdV

, где S – площадь пластин, откуда:

SVd = . (5)

Подставляя (5) в (4), получим:

()

bbSqU

. (6)

Учитывая определение плотности тока [5.2] SIj = , выражение

(6) приобретет окончательный вид:

()

bbqUS

Подставляя числовые значения величин, находим:

()()

4419

109,5

104,7104,54,52106,1107,3

102,3107,2

×=

×+××××××

×××

----

n м

-3

Ответ:

109,5 ×=n м

-3

Пример 15. Определить индукцию магнитного поля в центре

кругового проводника с током и на оси в точке, расположенной на

расстоянии 12 см от его плоскости. Радиус кольца 8,0 см, сила то-

ка 2,5 A.

Дано:

a см 12,0

м,

0,8

R см 080,0

м,

5,2

I А.

Найти:

B ,

Решение. Проводники с током создают вокруг себя магнит-

ное поле. Если такой проводник разбить на бесконечно малые

элементы, то каждый элемент тока ( lId

) создает в разных точках

пространства свое микрополе с магнитной индукцией бесконечно

малой величины, которая может быть определена согласно закону

Био-Савара-Лапласа [9.11]:

][

rldI

= (1)

или для модуля вектора Bd

sin

Idl

= , (2)

где

m – магнитная постоянная,

– магнитная проницаемость

среды, в которой создано магнитное поле (в условиях данной за-

дачи 0,1

– угол между ld

и rd

Выделим в проводнике с током два равных по величине эле-

мента тока

lId

, размещенных на концах одного и того же

диаметра кольца (рис. 1.47).

Векторы индукции магнитного поля, созданные этими эле-

ментами тока, равны соответственно

в точке O

, не

совпадают по направлению, но равны по абсолютной величине.

Тогда индукция магнитного поля, созданного элементами

с током, вдоль оси OO

(рис. 1.47) составляет:

dBdBdB

2sin2 =b= . (3)

Так как индукция магнитного поля, созданного элементом то-

ка на расстоянии

от него, равна

4 r

Idl

= , (4)

где учтено, что 2p=a , а расстояние

может быть найдено по

теореме Пифагора:

(

)

2222

aRaRr +=+= , (5)

то выражение (3) с учетом (4) и (5) приобретет вид:

()

2/3

2aR

IRdl

= . (6)

Так как магнитное поле создается всем круговым током, то

результирующая индукция магнитного поля в точке O

может

быть получена путем сложения бесконечно малых величин индук-

ции, созданных всеми элементами тока, то есть интегрирования

выражения (6):

() ()

2/3

22 aR

dBB

òò

. (7)

Рис. 1.47

Интегрирование производится по длине кругового тока от 0

до половины длины окружности R

, так как в (3) учтены индук-

ции полей, созданных двумя элементами тока.

Если в равенстве (7) положить 0

a , то получим выражение

для нахождения индукции магнитного поля в центре кольца с то-

ком:

= . (8)

Подставляя числовые значения величин в (7) и (8), получим:

()

2/3

103,3

12,0080,02

080,05,21014,34

×=

××××

=B Тл,

100,20

080,02

5,21014,34

×=

×××

=B Тл.

Ответ: 20

=B мкТл, 3,3

B мкТл.

Пример 16. Пройдя ускоряющую разность потенциалов

660 кВ, электрон влетает в однородное магнитное поле перпенди-

кулярно линиям магнитной индукции. Частица двигается по ок-

ружности радиусом 5,0 см. Определить индукцию магнитно-

го поля.

Дано:

660

U кВ

106,6 ×= В,

0,5

r см 050,0

м.

Найти:

Решение. Задачу целесообразно решать в два этапа, так как

первоначально электрон движется под действием сил электриче-

ского поля, а после разгона до некоторой скорости движется в

магнитном поле. Сначала необходимо выяснить: классической или

релятивистской частицей является электрон в условиях данной

задачи.

Работа сил электрического поля [3.7] идет на изменение кине-

тической энергии электрона (полагаем, что имеем дело с класси-

ческой частицей):

eU , (1)

откуда скорость электрона с учетом данных задачи равна

519

108,4

101,9

106,6106,122

×=

××××

==u

м/с.

Убеждаемся, что полученная скорость превышает скорость света в

вакууме, а, значит, электрон в данной задаче необходимо рассмат-

ривать как частицу релятивистскую. То есть, кинетическая энер-

гия релятивистской частицы равна разности полной энергии и

энергии покоя:

cmmcT -= , (2)

где

m – масса покоя электрона,

– скорость света в вакууме.

С приближением скорости электрона к скорости света его

масса возрастает и определяется из соотношения:

1 b-

m , (3)

где cu=b .

Теорема об изменении кинетической энергии (1) с учетом со-

отношений (2) и (3) запишется в виде:

= 1

cmeU . (4)

В результате преобразований получим:

b- cm

-=b

, (5)

подставляя числовые значения в выражение (5), вычислим сначала

, а затем скорость электрона, с которой он влетает в магнит-

ное поле: