Аскирка В.Ф. Электричество и магнетизм. Волновая оптика

Подождите немного. Документ загружается.

В случае, когда электрический заряд распределен в простран-

стве с объемной плотностью dVdq=r , теорема Гаусса име-

ет вид:

òò

=×

dVSdE

. (2.4)

Используя теорему Гаусса для электростатического поля в ва-

кууме, можно сравнительно легко определить напряженность по-

ля, создаваемого симметричными заряженными телами.

Напряженность поля, создаваемого равномерно заряжен-

ной сферической поверхностью:

;,0

E (2.5)

где

– радиус заряженной сферической поверхности (рис. 1.6).

Напряженность поля, создаваемого бесконечной заряжен-

ной нитью:

, (2.6)

где dldq=t – линейная плотность заряда – величина заряда,

находящегося на единице длины нити,

– расстояние от нити до

точки, в которой определяется напряженность.

Напряженность поля, создаваемого бесконечной равно-

мерно заряженной плоскостью:

Рис. 1.6

, (2.7)

где dSdq=s – поверхностная плотность заряда – заряд, нахо-

дящийся на единице площади поверхности.

Электрический диполь представляет собой нейтральную

систему из двух разноименных равных по модулю зарядов

, расположенных на расстоянии l , называемом плечом дипо-

ля. Диполь характеризуется векторной величиной – дипольным

моментом:

lqp

= . (2.8)

Вектор p

(так же как и l

) направлен от отрицательного за-

ряда к положительному (рис. 1.7).

В однородном электрическом поле с напряженностью

на

диполь действует вращающий механический момент пары сил

qEFF ==

, который стремится повернуть диполь по направле-

нию внешнего поля

(рис. 1.8):

][ EpM

´=

. (2.9)

На рисунке 1.8 вектор

направлен перпендикулярно плос-

кости рисунка.

Здесь и далее выражения вида ][ bac

´= представляют собой вектор-

ное произведение векторов.

Рис. 1.7

Рис. 1.8

Модуль вращающего момента равен:

sinsin qElpEM , (2.10)

где

– угол между векторами p

3. РАБОТА СИЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ.

ПОТЕНЦИАЛ. РАЗНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛОВ

Элементарная работа сил электростатического поля при

переносе заряда

на бесконечно малое перемещение ld

равна:

a=×=×= cosqEdlldEqldFdA

, (3.1)

а вся работа сил поля на пути от точки 1 до точки 2 определяется

выражением:

òò

a=×=

cosEdlqldEqA

, (3.2)

где

– угол между вектором

и элементарным перемещением

заряда ld

(рис. 1.9).

Работа сил электростатического поля не зависит от траекто-

рии, по которой перемещается заряд в этом поле. Электростатиче-

ские силы являются консервативными, так как работа сил элек-

тростатического поля по перемещению заряда

по замкнутой

траектории, определяемая выражением

×= ldEqA

, равна нулю.

В этом выражении интеграл

× ldE

называется циркуляцией век-

тора напряженности

Рис. 1.9

Теорема о циркуляции вектора напряженности электро-

статического поля

: циркуляция вектора напряженности в лю-

бом электростатическом поле равна нулю:

0=×

ldE

, (3.3)

где

– длина контура, вдоль которого производится интегриро-

вание.

Поле, обладающее свойством (3.3), называется потенциаль-

ным. Любое электростатическое поле является потенциальным.

Потенциальная энергия электростатического взаимодей-

ствия двух точечных (или сферических) зарядов определяется с

точностью до некоторой постоянной:

const

W +

. (3.4)

Потенциал – скалярная физическая величина, равная отноше-

нию потенциальной энергии W положительного заряда

, поме-

щенного в данную точку поля, к величине этого заряда:

. (3.5)

Потенциал определяется с точностью до произвольной

аддитивной постоянной. Для тел конечных размеров потенциал

равный нулю удобно выбрать на бесконечности (

Потенциал поля точечного заряда определяется выражением:

, (3.6)

где

– расстояние от заряда до данной точки поля.

Работа сил электростатического поля при перемещении за-

ряда

из точки с потенциалом

j в точку с потенциалом

j оп-

ределяется выражением:

(

)

2112

j-j= qA , (3.7)

где

j-j – разность потенциалов.

При наличии только электростатических взаимодействий раз-

ность потенциалов называется напряжением:

j-j=U .

Если поле создается несколькими неподвижными точечными

зарядами, то потенциал поля системы электрических зарядов

равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из

зарядов в отдельности (принцип суперпозиции для потенциала):

j=j

. (3.8)

Связь между напряженностью

и потенциалом

электро-

статического поля в декартовой системе координат име-

ет вид:

j¶

-= k

, или j-= gradE

, (3.9)

где i

, j

, k

– единичные векторы вдоль осей

Знак «–» в выражении (3.9) означает, что вектор напряженно-

сти поля

направлен в каждой точке в сторону наиболее быстро-

го убывания потенциала.

Поверхности, во всех точках которых потенциал неизменен,

называются эквипотенциальными поверхностями.

Вектор напряженности электростатического поля всегда пер-

пендикулярен к эквипотенциальным поверхностям. В качестве

примеров изображены линии напряженности и эквипотенциаль-

ные поверхности электростатического поля точечного заряда

(рис. 1.10) и системы двух точечных одинаковых по модулю раз-

ноименных зарядов (рис. 1.11).

Рис. 1.10 Рис. 1.11

Связь напряженности однородного электростатического

поля с напряжением (разностью потенциалов) задается соот-

ношением:

== , (3.10)

где d – расстояние между точками поля с потенциалами

j и

j .

4. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКАХ.

ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЕМКОСТЬ. КОНДЕНСАТОРЫ

Диэлектрик – вещество, не имеющее свободных электриче-

ских зарядов и не являющееся, таким образом, проводником элек-

трического тока. Диэлектрик содержит так называемые связан-

ные заряды – нескомпенсированные заряды, входящие в состав

молекул диэлектрика, не способные свободно перемещаться по

его объему.

Поляризация однородного диэлектрика, внесенного во

внешнее электрическое поле, – это появление на поверхностях ди-

электрика связанных электрических зарядов, в результате чего ре-

зультирующий дипольный момент всего диэлектрика становится

отличным от нуля.

Существует несколько типов диэлектриков: неполярные (на-

пример,

N ,

H ,

O ,

CO ), полярные (например, OH

NH ,

SO ), ионные (например, KCl , NaCl ).

Различают несколько типов (видов) поляризации диэлек-

триков.

Электронная (деформационная) поляризация диэлектрика

с неполярными молекулами – возникновение у молекул индуци-

рованного дипольного момента (рис. 1.12) за счет смещения заря-

дов: электроны, не отрываясь от молекулы, смещаются против на-

правления вектора напряженности (до внесения в поле дипольный

момент молекул равен нулю).

Ориентационная (дипольная) поляризация диэлектрика с

полярными молекулами – ориентация имеющихся дипольных

моментов молекул (рис. 1.13) по полю (до внесения в поле ди-

польный момент молекул не равен нулю). В этом случае говорят о

так называемой преимущественной ориентации дипольных мо-

ментов.

Ионная поляризация диэлектриков с ионными кристалли-

ческими решетками – смещение подрешетки положительных ио-

нов вдоль поля, а отрицательных – против поля, приводящее к

возникновению дипольного момента.

Поляризованность (вектор поляризации) диэлектрика в

некоторой точке равна отношению суммарного дипольного мо-

мента молекул в физически бесконечно малом объеме V

, выде-

ленном в окрестности данной точки, к величине этого объема:

P , (4.1)

[

]

1=P Кл/м

где

– дипольный момент отдельной молекулы.

Если диэлектрик поляризован однородно, то поляризован-

ность

равна сумме дипольных моментов отдельных молекул,

содержащихся в единице объема вещества.

Для изотропного однородного диэлектрика (обладающего

одинаковыми диэлектрическими свойствами по всем направлени-

ям по своему объему) вектор поляризации пропорционален на-

пряженности электрического поля в диэлектрике:

ce=P , (4.2)

Рис. 1.12 Рис. 1.13

где

– безразмерная величина, которая называется диэлектриче-

ской восприимчивостью вещества, и количественно характери-

зует способность диэлектрика к поляризации.

Напряженность электрического поля

в диэлектрике явля-

ется суперпозицией напряженности электрического поля

сто-

ронних зарядов и напряженности электрического поля

связан-

ных зарядов:

EEE

. (4.3)

Электрическим смещением (электростатической индукци-

ей) называется вектор

, равный

+e= ED

. (4.4)

Теорема Гаусса для вектора

: поток вектора электриче-

ского смещения сквозь произвольную замкнутую поверхность ра-

вен алгебраической сумме свободных зарядов, заключенных внут-

ри этой поверхности:

=×

qSdD

. (4.5)

Связь между векторами

для изотропных диэлектриков

имеет вид:

ee=

. (4.6)

Безразмерная величина

1 (4.7)

называется диэлектрической проницаемостью вещества, кото-

рая показывает во сколько раз ослабляется поле внутри диэлек-

трика по сравнению с полем в вакууме:

, (4.8)

где

– напряженность электрического поля в вакууме,

– на-

пряженность поля в диэлектрике.

Проводник – вещество, обладающее свободными носителями

заряда (электроны в металлах, ионы в электролитах, электроны и

ионы в ионизированных газах и плазме), следовательно, проводя-

щее электрический ток. Поскольку все металлы являются хоро-

шими проводниками, то в дальнейшем, если не указано иное, про-

водниками будем считать металлы.

Уединенный проводник – проводник, удаленный от других

проводников, тел и зарядов.

Электроемкость уединенного проводника – величина, чис-

ленно равная отношению заряда

, сообщенного проводнику, к

потенциалу

этого проводника:

C . (4.9)

Конденсатор – система проводников, обладающая значи-

тельно большей емкостью, чем уединенный проводник. Простей-

ший конденсатор состоит из двух проводников, расположенных на

малом расстоянии друг от друга и разделенных диэлектриком, ко-

торые несут одинаковые по модулю, но противоположные по зна-

ку заряды, и называются обкладками конденсатора. В зависимости

от формы обкладок различают плоские, сферические и цилиндри-

ческие конденсаторы.

Электроемкость конденсатора – величина, численно равная

отношению модуля заряда, находящегося на одной из обкладок

конденсатора, к разности потенциалов между обкладками:

j-j

. (4.10)

Электроемкость плоского конденсатора прямо пропорцио-

нальна площади пластин S и обратно пропорциональна расстоя-

нию d между ними:

, (4.11)

где

– диэлектрическая проницаемость диэлектрика, находяще-

гося между пластинами.

Электроемкость сферического конденсатора находится из

выражения:

210

, (4.12)

где

R и

R – соответствующие радиусы обкладок конденсатора.

Электроемкость цилиндрического конденсатора равна

()

210

, (4.13)

где

R и

R – соответствующие радиусы обкладок конденсатора.

Для увеличения емкости и варьирования ее возможных значе-

ний конденсаторы соединяют в батареи, причем это соединение

может осуществляться как последовательно, так и парал-

лельно.

При последовательном соединении конденсаторов

(рис. 1.14) величина, обратная общей емкости полученной бата-

реи, равна сумме величин, обратных емкостям отдельных конден-

саторов:

. (4.14)

При параллельном соединении конденсаторов (рис. 1.15)

емкость полученной батареи равна сумме емкостей отдельных

конденсаторов:

. (4.15)

Необходимо отметить, что при последовательном соединении

конденсаторов результирующая емкость всегда меньше самой ма-

лой емкости, используемой в батарее. При последовательном со-

единении конденсаторов заряд на каждом из них одинаков, а сум-

мируются разности потенциалов; при параллельном соединении

разность потенциалов между обкладками каждого конденсатора

одинакова, а суммируются их заряды.

Рис. 1.14 Рис. 1.15