Аскирка В.Ф. Электричество и магнетизм. Волновая оптика
Подождите немного. Документ загружается.
61
Каждый из шариков находится в одинаковых условиях, по-
этому достаточно рассмотреть равновесие одного из них. Условие
равновесия имеет вид:
0=++ FgmT
r
r
r
. (1)
В проекциях на оси OX и OY получим систему:
î
í
ì
=-a
=a-
,0cos
,0sin
mgT
TF
или
î
í
ì
=a
=a
.cos
,sin
mgT
FT
(2)
Разделив первое равенство на второе, получим значение тангенса
угла отклонения шарика от положения равновесия:
.
mg
F
tg =a
(3)
Так как угол
a
мал, то
l
r
l
r
tg
2
2/
sin ==a»a , поэтому, с учетом
(3), получим:
mg
F
l
r
=
2
. (4)
Сила электростатического взаимодействия двух точечных зарядов,
находящихся в однородной изотропной среде, определяется зако-
ном Кулона [1.4]
*
:
2
2
0
4
1
r
q
F
e
pe
=
,
тогда выражение (4) запишется в виде:
,
4
1
2
2
2
0
mgr
q
l
r
e
pe
=
откуда окончательно находится величина искомого заряда:
l
mgr
rq
epe
=
0
2
.
*
В квадратных скобках даны ссылки на формулы из теоретической час-
ти. В частности, [1.4] – ссылка на 4-ю формулу 1-й главы (с. 7).
62
Подставляя числовые значения величин, получим:
9
412
103,6
0,1
090,081,9100,10,11085,814,32
090,0
-
--
×=
××××××××
=q Кл.
Ответ: 3,6 нКл.
Пример 2. Определить силу взаимодействия точечного заряда
5,0 нКл с тонким стержнем, равномерно заряженным с линейной
плотностью 2,0 мкКл/м. Точечный заряд находится на расстоянии
10 см от стержня. Углы, образованные стержнем и прямыми, про-
ходящими через точечный заряд и его концы, равны соответствен-
но
o
30 и
o
135 (рис. 1.40).
Дано:
0,2
=
t
мкКл/м
6
100,2
-
×= Кл/м,
10
0
=r см 10,0
=
м
0,5
0
=q нКл
9
100,5
-
×= Кл,
o
30
1
=a ,
o
135
2
=a .
Найти:
F
.
Решение. Так как размерами стержня по сравнению с рас-
стоянием от стержня до точечного заряда пренебречь нельзя, то
заряд, находящийся на стержне, не является точечным. Следова-
тельно, воспользоваться законом Кулона в виде [1.2] непосредст-
венно нельзя.
Однако, если выделить на стержне бесконечно малый участок
длиной dl (масштаб на рис. 1.40 не соблюден), то находящийся на
нем заряд, равный
dldq
t
=
, (1)
можно рассматривать как точечный. Сила взаимодействия зарядов
0
q и dq , находящихся в вакууме, по закону Кулона [1.2] будет
иметь вид:
63
,
4
1
2
0
0
r
dqq
dF
pe
=
или с учетом выражения (1):
,
4
1
2
0
0
r
dlq
dF
t
pe
=
(2)
где
r
– расстояние от выделенного на заряженном стрежне эле-
ментарного заряда до заряда
0
q .
Из рисунка 1.40 следует ряд геометрических соотношений
между величинами:
a
=
cos
0
r
r , (3)
a
a
=
cos
rd
dl , (4)
После подстановки соотношений (3) и (4) в выражение (2),
получим:
.
4
1
0
0
0
a
t
pe
= d
r
q
dF
(5)
Выражение (5) определяет только модуль элементарной силы Fd
r
,
которая является векторной величиной. Поэтому вектор Fd
r
необ-
Рис. 1.40
64
ходимо разложить на две составляющие:
^
Fd
r
, перпендикулярную
стержню, и
||
Fd
r
, параллельную ему.
Из рисунка 1.40 очевидны соотношения:
,cos a=
^
dFdF (6)
.sin
||
a= dFdF (7)
Подставляя значение dF из выражения (5) в соотношения (6)
и (7), получим:
a
a
t
pe
=
^
d
r
q
dF
0
0
0
cos
4
1
, (8)
a
a
t
pe
= d
r
q
dF
0
0
0
||
sin
4
1
. (9)
Проинтегрировав выражения (8) и (9) в пределах от
1
a до
2
a ,
получим выражения для нахождения составляющих сил
^
F и
||
F :
=a
pe
t
=aa
pe
t
=a
at
pe
=
a
a
a
a
a
a
^
òò
2
1
2
1
2
1
sin
4
cos
4
cos
4
1
00
0
00
0
0
0
0
r
q
d
r
q
d
r
q
F
()
12
00
0
sinsin
4
a-a
pe
t
=
r
q
.
Аналогично находится величина второй составляющей:
=a
pe
t
-=a
at
pe
=
a
a
a
a
ò
2
1
2
1
cos
4
sin
4
1
00
0
0
0
0
||
r
q
d
r
q
F
()
21
00
0
coscos
4
a-a
pe
t
=
r
q
.
Таким образом, модуль результирующей силы, действующей на
заряд
0
q , определяется по теореме Пифагора. С учетом тригоно-
метрических соотношений получим:
()()
=a-a+a-a
pe
t
=+=
^
2
21
2
12
00
0
2
||
2
coscossinsin
4 r
q
FFF
2
sin
22
sin2
4
12
00
0
12
00
0
a
-
a
pe
t
=
a
-
a
pe
t
=
r
q
r
q
. (10)
Подставляя числовые значения величин в (10), получим:
65
3
12
69
103,14
2
30135
sin
10,01085,814,32
100,2100,5
-
-
--
×=
-
××××
×××
=
oo
F Н.
Ответ: 3,14
=
F мН.
Пример 3. Два точечных заряда
7
105,4
-
×+ Кл и
7
100,9
-
×- Кл
находятся в керосине на расстоянии 15 см друг от друга. Опреде-
лить напряженность и потенциал электростатического поля в точ-
ке, расположенной на расстоянии 25 см от положительного и
20 см от отрицательного зарядов.
Дано:
7
1
105,4
-
×+=q Кл,
7
2
100,9
-
×-=q Кл,
15
=
a см 15,0
=
м,
25
1
=r см 25,0
=
м,
20
2
=r см 20,0
=
м,
0,2
=
e
.
Найти:
E
,
j
.
Решение. Неподвижные электрические заряды в пространстве
вокруг себя создают электростатическое поле. Точечные заряды
создают вокруг себя центрально-симметричные поля, напряжен-
ность и потенциал в некоторой точке которых определяются из
соотношений [1.7], [3.6]:
2
0
0
4
1
r
q
E
e
pe
=
, (1)
r
q
epe
=j
0
0
4
1
, (2)
где
0
q – заряд, создающий поле,
r
– расстояние от точечного за-
ряда до рассматриваемой точки пространства,
e
– диэлектриче-
ская проницаемость среды (числовое значение берется из таблиц).
66
В случае, если поле в данной точке создается несколькими за-
рядами, то суммарная напряженность определяется из принципа
суперпозиции (для поля двух зарядов) [1.8]:
21
EEE
r
r
r
+= , (3)
где
1
E
r
и
2
E
r
– напряженности, создаваемые зарядами
1
q и
2
q со-
ответственно.
Потенциал точки поля определяется алгебраической суммой
потенциалов, создаваемых отдельными зарядами [3.8]:
21
j+j=j . (4)
Пусть заданные заряды
1
q и
2
q расположены в точках
M
и
N (рис. 1.41). В точку
A
, положение которой определяется рас-
стояниями
1
r и
2
r от соответствующих зарядов, поместим поло-
жительный пробный заряд и определим направления векторов на-
пряженности
1
E
r
и
2
E
r
(одноименные заряды отталкиваются, раз-
ноименные – притягиваются). По правилу параллелограмма стро-
им результирующий вектор
E
r
, модуль которого можно опреде-
лить из треугольника ABC
D
по теореме косинусов:
j-+= cos2
21
2
2
2
1
2
EEEEE . (5)
На основании (1) модули напряженности поля точечных заря-
дов (знак был учтен при выборе направлений векторов) будут
иметь вид:
Рис. 1.41
67
2
1
1
0
1
4
1
r
q
E
e
pe
= , (6)
2
2
2
0
2
4
1
r
q
E
e
pe
= . (7)
Для нахождения косинуса угла
j
в (5) воспользуемся теоре-
мой косинусов применительно к треугольнику ANM
D
:
21
22
2
2
1
2
cos
rr
arr -+
=j
. (8)
С учетом выражений (6) – (8) выражение (5) примет оконча-
тельный вид:
(
)
3
2
3
1
22
2
2
121
4
2
2
2
4
1
2
1
0
4
1
rr
arrqq
r
q
r
q
E
-+
-+
pee
= .
Подставляя числовые значения, находим:
4
1078,7
-
×=E В/м.
Потенциалы поля зарядов на основании (2) будут иметь вид:
1
1
0
1
4
1
r
q
epe
=j
, (9)
2
2
0
2
4
1
r
q
epe
=j
. (10)
На основании соотношения (4) с учетом (9) и (10) запишем:
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
pee
=j
2
2
1
1
0
4
1
r
q
r
q
,
или с учетом того, что заряд
2
q отрицательный:
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
pee
=j
2
2
1
1
0
4
1
r
q
r
q
.
Подставляя числовые значения, найдем:
12145
20,0
100,9
25,0
105,4
1085,80,214,34
1
77
12
-=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
×
-
×
××××
=j
--
-
В.
Ответ:
4
1078,7
-
×=E В/м, 12145
-
=
j
В.
68
Пример 4. Определить потенциал и напряженность электри-
ческого поля, создаваемого тонким диском радиуса
r
, равномерно
заряженного с поверхностной плотностью заряда
s
, в точке C ,
лежащей на оси диска на расстоянии b от его плоскости.
Дано:
r
,
s
, b .
Найти:
j
,
E
.
Решение. Для определения потенциала электростатического
поля в точке C разобьем диск на бесконечно большое число
кольцевых зон с бесконечно малой толщиной dx (рис. 1.42).
Выделим кольцо, ограниченное радиусами
x
и dxx
+
. Разо-
бьем выделенное кольцо на бесконечно большое число точечных
элементов. Каждый точечный элемент кольца с его зарядом нахо-
дится на одинаковом расстоянии
22
bxl += от точки C , поэто-
му вклад каждого заряженного элемента кольца в создание потен-
циала в точке C одинаков. Тогда, согласно принципу суперпози-
ции полей, потенциал в точке C , создаваемый выделенным коль-
цом, будет равен [3.6]:
Рис. 1.42
69
22
bx
dq
kd
+
=j , (1)
где dq – заряд кольца,
0
4
1
pe
=k
– коэффициент пропорциональ-
ности.
Так как dSdq
s
=
, а dS – площадь кольца, которая равна
xdxdS
p
=
2 , то заряд кольца равен xdxdq
ps
=
2. Выражение (1)
примет вид:
22
2
bx
xdx
kd
+
ps
=j . (2)
Интегрируя (2), определим потенциал, создаваемый диском:
(
)
=
+
+
sp=
+
sp=j
òò
rr
bx
bxd
k
bx
xdx
k
0
22
22
0
22
2
÷
ø
ö
ç
è
æ
-+sp=+sp= bbrkbxk
r
22
0
22
22. (3)
Напряженность поля определяется как градиент потенциала с про-
тивоположным знаком [3.9]. Поэтому, рассматривая величину b
как переменную, получим выражение:
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
-sp=
j
-=
22
12
br
b
k
db
d
E . (4)
Ответ:
÷
ø
ö
ç
è
æ
-+sp=j bbrk
22
2,
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
-sp=
22
12
br
b
kE .
Пример 5. Определить зависимость напряженности электро-
статического поля, создаваемого равномерно заряженной сфери-
ческой поверхностью, несущей заряд
q
, радиусом
R
как функ-
цию расстояния от центра сферической поверхности.
Дано:
q
,
R
.
Найти:
(
)
rE .
70
Решение. Электростатическое поле, создаваемое сферической
поверхностью, центрально-симметричное: направление вектора
напряженности
E
r
в любой точке проходит через центр сферы, а
модуль вектора зависит только от расстояния
r
до центра сферы.
Нахождение напряженности поля заряда, который нельзя счи-
тать точечным, с использованием выражения, определяющего эту
физическую величину, представляет собой трудоемкий процесс.
Для симметричных заряженных тел использование теоремы Гаус-
са [2.3] значительно упрощает задачу.
Для расчета поля заряженной сферы в качестве замкнутой по-
верхности удобно взять концентрическую сферу. Пусть ее радиус
R
r
>
(рис. 1.43), тогда, согласно теореме Гаусса, поток вектора
напряженности электростатического поля через замкнутую по-
верхность равен отношению заряда, охваченного выбранной по-
верхностью, к электрической постоянной
0
e :
0
e
=×
ò
q
SdE
S
r
r
. (1)
Так как площадь поверхности сферы радиуса
r
равна
2
4 rp , то
теорема Гаусса для условий задачи приобретает вид:
0
2
4
e
=p×
q
rE
r
,
откуда искомая напряженность как функция расстояния от центра
сферы
(
)
Rr > может быть выражена в виде:
Рис. 1.43