Аскирка В.Ф. Электричество и магнетизм. Волновая оптика

Подождите немного. Документ загружается.

Поэтому, выбирая (произвольно) направление нормали n

, мы

определяем не только знак потока

, но и знак ЭДС индукции

E .

При выбранных положительных направлениях – в соответствии с

правилом правого винта – величины

E и

имеют противопо-

ложные знаки.

Направление индукционного тока определяется правилом

Ленца: индукционный ток в контуре имеет всегда такое направ-

ление, что создаваемое им магнитное поле препятствует изме-

нению магнитного потока, вызвавшего этот индукционный ток.

Направление вектора магнитной индукции

индукционного

тока и направление самого тока

I также связываются правилом

правого винта.

Если вращать замкнутую рамку в однородном магнитном по-

ле, то в ней также возникает индукционный ток. Этот принцип

лежит в основе принципа действия генераторов – устройств, при-

меняемых для преобразования механической энергии в электриче-

скую (например, генераторы используются на электростанциях

всех типов).

Если рамка вращается в однородном магнитном поле с ин-

дукцией

с постоянной угловой скоростью

, то магнитный по-

ток, сцепленный с рамкой в любой момент времени, равен

tBS

cos , (10.2)

где

– угол поворота рамки в момент времени

(рис. 1.31).

При вращении рамки возникает ЭДС индукции:

tBS

ww=

-= sinE . (10.3)

Так как

max

E=wBS , то ЭДС индукции при равномерном вра-

щении рамки будет изменяться по гармоническому закону:

Рис. 1.30

w= sin

max

EE . (10.4)

Если проводнику длиной l , помещенному в однородное

магнитное поле с индукцией

, сообщить скорость

поступательного движения u

(рис. 1.32), то электроны внутри

проводящего стержня относительно поля будут двигаться с той же

скоростью. В этом случае в проводнике возникает ЭДС индукции

– под действием сторонней силы неэлектростатического

происхождения (магнитной составляющей силы Лоренца)

происходит перераспределение зарядов.

Возникающая ЭДС индукции (разность потенциалов на кон-

цах проводника) может быть найдена из выражения:

´u=j-j=

][ ldB

E , (10.5)

где ld

– элементарная длина проводника, а интегрирование про-

изводится по всей длине проводника.

Из закона Био-Савара-Лапласа следует, что магнитная индук-

ция

пропорциональна силе тока

. Тогда магнитный поток

сцепленный с замкнутым проводящим контуром с током силой I,

определяется выражением:

, (10.6)

где

– коэффициент пропорциональности, который называется

индуктивностью контура.

Индуктивность контура определяется его геометрическими

параметрами и магнитной проницаемостью той среды, в которой

он находится.

Если контур, в котором индуцируется ЭДС, состоит не из од-

ного витка, а из N одинаковых витков (например, представляет

собой соленоид), то ЭДС соленоида будет равна сумме ЭДС, ин-

Рис. 1.31 Рис. 1.32

дуцируемых в каждом из витков в отдельности. ЭДС индукции,

возникающая в сложном контуре, будет равна

E , (10.7)

где величина

N – потокосцепление или полный магнит-

ный поток.

Индуктивность соленоида определяется выражением:

mm= , (10.8)

где N – число витков соленоида, l – его длина, S – площадь по-

перечного сечения соленоида.

Самоиндукция – явление возникновения ЭДС индукции в

проводящем контуре при изменении в нем силы тока, а также ин-

дуктивности контура.

Закон самоиндукции: ЭДС самоиндукции в проводящем кон-

туре прямо пропорциональна скорости изменения магнитного

потока, пронизывающего контур и обусловленного наличием тока

в контуре:

-=E , или с учетом (10.6)

--=E .

Если при изменении тока

в контуре индуктивность

кон-

тура остается постоянной, то выражение, определяющее закон са-

моиндукции, будет иметь вид:

-=E ( constL

). (10.9)

Если два контура с токами 1 и 2 (рис. 1.33) расположить близ-

ко друг к другу, то наблюдается взаимоиндукция – явление

возникновения ЭДС индукции в одном из контуров, при

изменении силы тока в другом:

212

-=E , (10.10)

121

-=E , (10.11)

где

E ,

E – ЭДС, возникающие во втором (при изменении силы

тока в первом) и в первом (при изменении силы тока во втором)

контурах соответственно.

Коэффициенты пропорциональности

L и

L называются

взаимной индуктивностью контуров и в отсутствие ферромагне-

тиков (смотри главу 11) равны между собой:

2112

LL = . (10.12)

Устройство, применяемое для понижения или повышения на-

пряжения переменного тока, называется трансформатором, пред-

ставляющим собой замкнутый магнитопровод (ферромагнитный

сердечник), на который намотаны две катушки. Принцип действия

трансформатора основан на явлении взаимной индукции.

Коэффициент трансформации – отношение числа витков во

вторичной обмотке

N к числу витков в первичной обмотке

N ,

показывающее во сколько раз ЭДС во вторичной обмотке

больше (или меньше), чем в первичной

E :

. (10.13)

При 1

k трансформатор повышающий, при 1

k – понижа-

ющий.

Энергия магнитного поля, созданного контуром индуктивно-

стью

, в котором протекает ток силой

, равна

W = . (10.14)

Объемная плотность энергии магнитного поля определяется

из выражения:

, (10.15)

где

– магнитная проницаемость среды.

Рис. 1.33

11. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ

Магнетик – любое вещество, способное приобретать магнит-

ный момент (намагничиваться) под действием внешнего магнит-

ного поля. Все вещества могут быть разделены на две группы:

слабомагнитные (диа- и парамагнетики) и сильномагнитные

(ферромагнетики).

Диамагнетики (например, Ag , Au , Cu , большинство

органических соединений) – вещества, молекулы которых не

обладают магнитным моментом. Во внешнем магнитном поле в

диамагнетиках индуцируются элементарные круговые токи

(магнитные моменты), которые создают собственное или

внутреннее магнитное поле. Собственное индуцированное

магнитное поле при этом ослабляет внешнее (0,1

Парамагнетики (например, Pt , Al , редкоземельные элемен-

ты) – вещества, молекулы которых обладают магнитным момен-

том. В связи с тепловым движением молекул суммарный магнит-

ный момент равен нулю. Во внешнем магнитном поле внутри па-

рамагнетика устанавливается преимущественная ориентация маг-

нитных моментов по полю. Собственное магнитное поле усилива-

ет внешнее (0,1

Ферромагнетики (например, Fe , Co , Ni и их сплавы) – ве-

щества, обладающие спонтанной намагниченностью в отсутствие

внешнего магнитного поля. Постоянные магниты – пример типич-

ных ферромагнетиков (0,1

Вектор намагничивания (намагниченность) J

магнетика –

это векторная физическая величина, определяемая магнитным мо-

ментом единицы объема магнетика:

, (11.1)

где

– сумма магнитных моментов всех молекул, заключен-

ных в объеме V

Напряженность магнитного поля

– векторная физическая

величина, характеризующая магнитное поле в веществе, и может

быть представлена соотношением векторных величин:

, (11.2)

где

– вектор индукции внешнего магнитного поля, J

– вектор

намагничивания.

Для диа- и парамагнетиков связь между векторами J

имеет линейный характер:

c= , (11.3)

где

– магнитная восприимчивость вещества.

Магнитная восприимчивость ферромагнетиков сама является

функцией напряженности магнитного поля

, поэтому намагни-

ченность J

является неоднозначной функцией напряженности

магнитного поля. При медленном циклическом изменении маг-

нитного поля наблюдается явление гистерезиса: связь между

векторами

и J

определяется предшествующей историей на-

магничивания ферромагнетика. Петля гистерезиса отображена на

рисунке 1.34.

Магнитная восприимчивость вещества

– безразмерная

физическая величина, характеризующая способность веществ к

намагничиванию. Для диамагнетиков величина 0

, для пара-

магнетиков – 0

. Для ферромагнетиков 0

и достигает очень

больших значений.

Рис. 1.34

Учитывая соотношение (11.3), выражение (11.2) для

при-

нимает вид:

()

=c+

. (11.4)

Отсюда следует связь между векторами

mm= , (11.5)

где

(

)

c+=m 1 – магнитная проницаемость среды, которая для

диамагнетиков меньше единицы, для парамагнетиков больше еди-

ницы, а для ферромагнетиков имеет аномально высокое значение

(для некоторых сплавов максимальное значение достигает

10» ).

Величина магнитной проницаемости ферромагнетиков определя-

ется по экспериментальным кривым

(

)

HfB = (смотри приложе-

ние 12).

Теорема о циркуляции вектора

: циркуляция вектора на-

пряженности магнитного поля

по любому замкнутому конту-

ру

равна алгебраической сумме токов проводимости, охвачен-

ных этим контуром:

=×

IldH

. (11.6)

12. ПРОСТЕЙШИЕ ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

Процессы при переходе от одного установившегося в элек-

трической цепи режима к другому – переходные процессы (на-

пример, зарядка и разрядка конденсатора, размыкание и замыка-

ние цепи с индуктивностью).

Разрядка конденсатора емкостью C , заряженного до на-

пряжения

U , обкладки которого замкнуты через активное сопро-

тивление

, происходит с убыванием напряжения U на конден-

саторе по экспоненциальному закону:

eUU

, (12.1)

где RC

– постоянная времени (время релаксации) – время,

за которое напряжение (заряд) на конденсаторе уменьшается

раз.

Зарядка конденсатора емкостью C , подключенного через

активное сопротивление к источнику напряжения

U происходит

при нарастании напряжения U на конденсаторе, которое задается

функцией:

eUU 1

. (12.2)

Размыкание цепи с индуктивностью. Сила тока

при раз-

мыкании убывает по экспоненциальному закону:

eII

, (12.3)

где

I – ток в начальный момент времени ( 0

t ), RL=t – по-

стоянная времени (время релаксации) – время, в течение кото-

рого сила тока в цепи уменьшается в

раз.

Замыкание цепи с индуктивностью. При замыкании цепи,

содержащей

, нарастание силы тока задается функцией:

eII 1

, (12.4)

где

I – установившийся ток в цепи (при

13. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ.

ПЕРЕМЕННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК.

УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА

Колебательный контур – это электрическая цепь, состоящая

из емкости C и катушки индуктивности

, в которой обкладки

конденсатора замкнуты катушкой индуктивности (рис. 1.35).

Если конденсатор перед соединением с катушкой индуктив-

ности в колебательный контур зарядить до напряжения

U , то в

колебательном контуре возникают свободные колебания электри-

ческого заряда

, а также напряжения U на обкладках конден-

сатора.

Дифференциальное уравнение свободных незатухающих

колебаний имеет вид:

=w+ qq

, (13.1)

где

w – собственная циклическая частота контура, q

– вторая

производная электрического заряда по времени.

Решением дифференциального уравнения (13.1) является

функция:

(

)

000

cos j+w= tqq , (13.2)

где

q – максимальное (амплитудное) значение заряда на обклад-

ках конденсатора,

j+w t – фаза колебаний (характеризует зна-

чение колеблющейся величины в любой момент времени),

j –

начальная фаза.

Значение собственной частоты колебаний

w определяется

свойствами самого контура, а значения

q и

j – начальными

условиями.

Напряжение между обкладками конденсатора изменяется по

закону:

(

)

000

cos j+w= tUU , (13.3)

где CqU

= .

С учетом определения силы тока, функция зависимости силы

тока в катушке будет иметь вид:

()

0000

sin j+ww-== tq

I , или

(

)

2cos

000

p+j+w= tII . (13.4)

Рис. 1.35

Таким образом, при свободных незатухающих колебаниях ток

в катушке опережает по фазе напряжение на конденсаторе на 2p .

Значение собственной циклической частоты колебаний в

контуре определяется выражением:

. (13.5)

С учетом выражения

2 wp=T период свободных коле-

баний в идеальном колебательном контуре (при отсутствии

активного сопротивления) будет определяться формулой Томсона:

LCT p= 2

. (13.6)

Каждый реальный контур обладает активным сопротивлени-

ем, и энергия, запасенная в контуре, постепенно расходуется на

нагревание проводов. При таких условиях свободные электромаг-

нитные колебания будут затухающими.

Дифференциальное уравнение затухающих свободных

колебаний имеет вид:

=w+b+ qqq

&&&

, (13.7)

где

– коэффициент затухания.

При

w<b решением уравнения является функция:

(

)

j+w=

teqq

cos

, (13.8)

где

-=b-w=w

График непериодической функции (13.8) на рисунке 1.36 оп-

ределяет затухающие колебания. Множитель

называют ам-

плитудой затухающих колебаний; ее зависимость от времени

отображена штриховой линией на рисунке 1.36.

Величину

b-w

=T (13.9)

принято называть периодом затухающих колебаний. При незна-

чительном затухании (

w<<b ) период затухающих колебаний

практически равен периоду свободных незатухающих колебаний.