Аскирка В.Ф. Электричество и магнетизм. Волновая оптика

Подождите немного. Документ загружается.

Время релаксации

– время, за которое амплитуда колеба-

ний уменьшается в

раз. Коэффициент затухания

связан с

временем релаксации соотношением:

. (13.10)

Логарифмический декремент затухания

определяется как

натуральный логарифм отношения двух значений амплитуд, взя-

тых через интервал времени, равный периоду колебаний

(

)

()

Tta

=lln, (13.11)

где

– амплитуда соответствующей физической величины (

U ,

Если

N – количество колебаний за время релаксации, то

логарифмический декремент затухания можно выразить иначе:

. (13.12)

Добротность колебательного контура характеризует «эф-

фективность» рассеяния энергии контура при наличии в нем ак-

тивного сопротивления. Эта величина определяется из соотно-

шения:

NQ p=

= . (13.13)

Рис. 1.36

При малом затухании добротность контура равна отношению

энергии, запасенной в контуре в произвольный момент времени

к убыли этой энергии за период, умноженному на

2 :

(

)

()()

TtWtW

p=2. (13.14)

Вынужденные колебания – незатухающие колебания, возни-

кающие в ,R ,LC-цепи под действием внешнего периодически

изменяющегося напряжения:

tUU w= cos

, (13.15)

где

U – амплитудное значение напряжения,

– циклическая

частота напряжения.

Сила тока

в такой цепи также изменяется по синусоидаль-

ному закону, но сдвинута по фазе относительно фазы колебаний

напряжения на величину, равную

)cos(

j+w= tII , (13.16)

где

I – амплитудное значение силы тока.

Закон Ома для переменного тока: сила тока при устано-

вившихся вынужденных колебаниях в цепи, содержащей последо-

вательно включенные

и C , определяется выражением:

-w+

I , (13.17)

где

-w+=

LRZ – полное сопротивление цепи пе-

ременного тока (или импеданс),

– активное сопротивление,

w= – реактивное индуктивное сопротивление,

–

реактивное емкостное сопротивление.

Величина

LXX

-w=-

– реактивное сопротив-

ление.

Для расчета цепей синусоидального тока широкое примене-

ние получил символический, или комплексный, метод, в кото-

ром токи и напряжения заменяют их комплексными изображения-

ми или символами.

Метод основан на том, что в цепях синусоидального перемен-

ного тока от уравнений, составленных на основе правил Кирхгофа

для мгновенных значений токов и напряжений и являющихся

дифференциальными уравнениями, можно перейти к алгебраиче-

ским уравнениям, составленным относительно комплексных сим-

волов тока и напряжения. При этом мгновенное значение тока

заменяют комплексным символом

, который в экспоненциальной

форме комплексного числа имеет вид

eII

, где

– фаза тока

относительно фазы, выбранной за нулевую. Мгновенное значе-

ние напряжения на активном сопротивлении RiR

заменяют

комплексом

, по фазе совпадающим с током

. Мгновенное

значение напряжения на индуктивности

(

)

dtdiLu

= заменяют

комплексом LjI w

, опережающим ток на

90 ; мгновенное значе-

ние напряжения на емкости

= idt

– комплексом

отстающим от тока на

90 ; мгновенное значение напряжения

–

комплексом U

, который в экспоненциальной форме комплексного

числа имеет вид

eUU

Закон Ома в символической форме для ,R ,LC-цепи пере-

менного тока определяется выражением:

LjR

-w+

, (13.18)

где U

– комплексный символ напряжения,

– комплексный сим-

вол тока,

– комплексный символ активного сопротивления

(содержит только действительную часть), Lj

– комплексный

символ индуктивного сопротивления,

– комплексный символ

емкостного сопротивления.

Выражение

LjRZ

-w+= называется полным ком-

плексным сопротивлением последовательной CLR ,, -цепи пе-

ременного тока.

Так как токи и напряжения на различных участках электриче-

ской цепи синусоидального тока, как правило, по фазе не совпа-

дают, то наглядное представление о фазовом расположении раз-

личных векторов дает векторная диаграмма напряжений и токов.

Для этого изображают две взаимно-перпендикулярные оси: по оси

абсцисс откладывают действительную часть комплексного значе-

ния тока или напряжения (обозначают

), а по оси ординат –

мнимую (обозначают

, где 1-=j ). Для простейшей схемы

(рис. 1.37 а) приведен пример векторной диаграммы на рисунке

1.37 б.

Сдвиг фаз

между током и напряжением в цепи синусои-

дального тока определяется соотношением:

-w

. (13.19)

Активная мощность в цепи переменного тока – среднее

значение мгновенной мощности

за период

j=j==

coscos

uidt

, (13.20)

где

– действующее (эффективное) значение силы тока

( 2

II = ), U – действующее (эффективное) значение напряже-

Рис. 1.37

ния ( 2

UU = ),

– сдвиг фаз между током и напряжением

в цепи.

Действующим значением силы переменного тока называ-

ется сила такого постоянного тока, при которой в данной цепи вы-

деляется такая же мощность, как и при переменном токе. Анало-

гично определяется действующее значение напряжения.

Реактивная мощность в цепи переменного тока находится

из соотношения:

sinIUQ , (13.21)

где

– действующее значение силы тока, U – действующее зна-

чение напряжения,

– сдвиг фаз между током и напряжением.

Реактивная мощность измеряется в вольт-амперах реактивных

(ВАр).

Полная мощность в цепи переменного тока определяется

выражением:

IUS

, (13.22)

где

и U – действующие значения силы тока и напряжения соот-

ветственно. Полная мощность переменного тока измеряется в

вольт-амперах (ВА).

Полная, активная и реактивная мощности связаны соотно-

шением:

QPS += . (13.23)

В комплексной форме записи:

полная мощность

IUS

= ; (13.24)

активная мощность ]Re[

IUP

= ; (13.25)

реактивная мощность ]Im[

IUQ

= , (13.26)

где

– сопряженный комплекс тока, ]Re[

и ]Im[

– дейст-

вительная и мнимая части выражения для полной мощности соот-

ветственно (подробнее в главе данного раздела «Примеры реше-

ния задач»).

Между частотой

и циклической частотой

имеется

соотношение:

2 . (13.27)

Первое уравнение Максвелла в интегральной форме связы-

вает циркуляцию вектора напряженности электрического поля

по произвольному замкнутому контуру

и производную по вре-

мени от магнитного потока

через произвольную поверхность

S , ограниченную данным контуром

SdB

ldE

-=×-=×

òò

. (13.28)

Уравнение (13.28) представляет собой обобщение закона

электромагнитной индукции Фарадея (10.1), оно показывает, что

изменяющееся во времени магнитное поле порождает вихревое

электрическое поле. При этом под

понимается напряженность

суммарного электрического поля, которое складывается из элек-

тростатического поля, создаваемого неподвижными зарядами, и

вихревого поля, обусловленного изменением во времени магнит-

ного поля. Циркуляция же вектора напряженности электростати-

ческого поля всегда равна нулю (смотри выражение (3.3)).

Второе уравнение Максвелла в интегральной форме уста-

навливает связь между циркуляцией вектора напряженности маг-

нитного поля

по произвольному замкнутому контуру

и си-

лой полного тока, охватываемого этим контуром, или, иначе гово-

ря, пересекающего поверхность S , ограниченную этим контуром:

òò

+=×

jldH

. (13.29)

Уравнение (13.29) является обобщением теоремы о циркуля-

ции вектора

(11.6) с учетом гипотезы Максвелла: изменяю-

щееся во времени электрическое поле подобно току проводимо-

сти (то есть току, связанному с движением электрических заря-

дов в проводящей среде) порождает в окружающем пространст-

ве магнитное поле. Максвелл назвал переменное электрическое

поле током смещения, а частную производную по времени от

вектора электрического смещения

, размерность которой сов-

падает с размерностью плотности тока, – плотностью тока сме-

щения.

Сумму токов проводимости и тока смещения называют пол-

ным током. Плотность полного тока равна

полн

. Тогда

можно сказать, что вихревое магнитное поле создается полным

током, то есть током проводимости (при движении электрических

зарядов) и током смещения (при изменении во времени электриче-

ского поля).

Третье уравнение Максвелла в интегральной форме пред-

ставляет собой теорему Гаусса для вектора

: поток вектора

электрического смещения

через произвольную замкнутую по-

верхность S равен стороннему заряду

, расположенному внут-

ри этой поверхности:

òò

r=×

dVSdD

, (13.30)

где

– объемная плотность сторонних зарядов.

Уравнение (13.30) показывает, что источниками электриче-

ского поля служат электрические заряды. По существу это уравне-

ние эквивалентно закону Кулона и принципу суперпозиции элек-

трических полей.

Четвертое уравнение Максвелла в интегральной форме

представляет собой теорему Гаусса для вектора

: поток век-

тора магнитной индукции

через произвольную замкнутую по-

верхность S всегда равен нулю:

0=×

SdB

. (13.31)

Уравнение (13.31) отражает тот факт, что в природе не обнаруже-

ны магнитные заряды, и силовые линии магнитного поля являются

замкнутыми.

Различие в знаках правых частей первого и второго уравнений

Максвелла свидетельствует о том, что силовые линии вихревого

электрического поля, вызванного изменением во времени магнит-

ного поля, образуют с вектором

левовинтовую систему, а ли-

нии напряженности магнитного поля, созданного изменением

электрического поля, образуют с вектором

правовинтовую

систему (рис. 1.38).

Из уравнений Максвелла видно, что переменное магнитное

поле всегда связано с индуцируемым им переменным электриче-

ским полем. И наоборот: переменное электрическое поле всегда

связано с порождаемым им переменным магнитным полем. Сле-

довательно, электрическое и магнитное поля неразрывно связаны

друг с другом – они образуют единое электромагнитное поле. Из

уравнений Максвелла также следует, что переменное электромаг-

нитное поле способно существовать самостоятельно – без элек-

трических зарядов и токов.

Для стационарных полей ( constE =

и constB =

) уравнения

Максвелла распадаются на две группы независимых уравнений:

=×=×

òò

.0,0

,0,0

SdBldH

SdDldE

(13.32)

В этом случае источниками электрического поля являются

только электрические заряды, а источниками магнитного – только

токи проводимости. Стационарные электрические и магнитные

поля независимы друг от друга, что позволяет изучать их по от-

дельности.

Рис. 1.38

С помощью теоремы Стокса и теоремы Гаусса можно пред-

ставить систему уравнений Максвелла в дифференциальной

форме (они устанавливают связь между величинами, которые ха-

рактеризуют поле в каждой точке пространства):

.0,

Bdiv

jHrot

Ddiv

Erot

(13.33)

Первая пара уравнений этой системы свидетельствует о том,

что источниками электрического поля являются электрические

заряды и переменное во времени магнитное поле. Вторая пара

уравнений утверждает, что магнитное поле возбуждается движу-

щимися зарядами (электрическими токами) и переменными элек-

трическими полями.

При заданном распределении плотности зарядов и токов ре-

шение системы уравнений Максвелла в дифференциальной форме

позволяет полностью определить напряженность электрического

и индукцию магнитного

полей. Для этого уравнения Мак-

свелла дополняют соотношениями, которые связывают

и j

, а также

, называемыми материальными уравнениями.

В случае изотропных сред, не содержащих сегнетоэлектриков и

ферромагнетиков, эти уравнения имеют вид

ee=

, HB

mm=

, Ej

g= (13.34)

(смотри выражения (4.6), (5.16) и (11.5)).

Уравнения Максвелла являются основными законами

электродинамики. Эти уравнения не выводятся, а постулируются

на основе обобщения экспериментальных данных. Правильность

уравнений Максвелла подтверждена совпадением многочислен-

ных следствий этих уравнений с экспериментом.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. Два одинаковых маленьких шарика массой 0,10 г

каждый подвешены на непроводящих нитях длиной 1,0 м к одной

точке. После того, как шарикам были сообщены одинаковые заря-

ды, они разошлись на расстояние 9,0 см. Определить заряды ша-

риков. Диэлектрическую проницаемость воздуха принять равной

единице.

Дано:

10,0

m г

100,1

×= кг,

0,1

l м,

0,9

r см 090,0

м,

0,1

Найти:

Решение. После сообщения одинаковых электрических заря-

дов шарики будут взаимодействовать между собой. Таким обра-

зом, на каждый заряженный шарик действуют сила тяжести gm

сила натяжения нити

и кулоновская сила отталкивания

(рис. 1.39).

Рис. 1.39