Аскирка В.Ф. Электричество и магнетизм. Волновая оптика

Подождите немного. Документ загружается.

301

Поскольку пластинка кварца вырезана перпендикулярно оп-

тической оси, то в схеме, используемой в данной задаче, свет бу-

дет распространяться вдоль оптической оси. В таком случае дву-

лучепреломления, характерного для кристаллического кварца, на-

блюдаться не будет. Однако кристаллический кварц обладает так-

же оптической активностью, вследствие которой плоскость поля-

ризации линейно поляризованного света, прошедшего через поля-

ризатор

, будет поворачиваться на некоторый угол. Угол пово-

рота плоскости поляризации определяется законом Био [22.22]:

a=a , (2)

где

a – постоянная вращения кварца, d – толщина пластинки.

Для того чтобы свет не проходил через анализатор, необхо-

димо, чтобы при прохождении через кварцевую пластинку плос-

кость поляризации света повернулась на

90 . Это позволяет при-

нять угол

в выражении (2) равным

90 (

90 ).

Постоянную вращения кварца

a найдем из условия задачи:

. (3)

Подставляя

a в равенство (2), получим:

=a , откуда a

d . (4)

Выполнив вычисления, получим:

105490

1001

×=°

= ,

d м.

Ответ: 5,4

d мм.

Пример 37. В земных условиях длина волны испускаемой

атомарным водородом спектральной линии

H равна 656 нм. При

измерении длины волны этой линии в излучении, приходящем от

диаметрально противоположных краев солнечного диска, было

обнаружено различие, составляющее 0,0041 нм. Воспользовав-

шись этими данными, найти период обращения Солнца вокруг его

оси. Средний радиус Солнца равен

10956 ×, м.

302

Дано:

656

нм

10566

×= , м,

00410,

нм

1014

×= , м,

10956 ×, м.

Найти:

Решение. При вращении Солнца вокруг своей оси вследствие

эффекта Доплера происходит уширение спектральных линий из-

лучения атомов атмосферы. Наиболее существенное уширение

происходит из-за продольного эффекта. Поперечный эффект Доп-

лера является незначительным, и его влияние учитывать не будем

Вследствие продольного эффекта в нерелятивистском приближе-

нии частота излучения атомов (точка

на рис. 2.67), движущихся

навстречу источнику, будет равна [22.27], [14.3]:

+w=w

, (1)

где

w – частота излучения покоящихся атомов,

– скорость

движения атомов солнечной атмосферы относительно Земли

вследствие вращения Солнца,

– скорость света в вакууме.

Для атомов, расположенных в точке

(рис. 2.67) солнечного

диска, соответствующая частота будет равна:

Кроме того, мы не будем учитывать орбитальное движение Земли во-

круг Солнца, поскольку это не будет приводить к изменению длины вол-

ны излучения атомов, в точках А и В.

Рис. 2.67

303

-w=w

. (2)

Из соотношений (1) и (2) получим разность частот излучений:

w=w-w=wD

2, откуда

Переходя от частот к длинам волн

(можно получить,

пользуясь выражениями взаимосвязи между величинами), линей-

ная скорость движения атомов, находящихся на краю солнечной

атмосферы, будет равна:

=u c

. (3)

Выразим линейную скорость вращательного движения внешних

слоев атмосферы Солнца через период его вращения:

, (4)

где

R – радиус Солнца.

Из соотношений (3) и (4) имеем:

. (5)

Подставляя числовые значения величин в выражение (5), получим:

128

10332

10141003

10566109561432

×=

×××

×××××

,,,

T с 27

сут.

Ответ: 27

T сут.

304

ЗАДАЧИ ДЛЯ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

14. ВОЛНЫ

14.1. Плоская волна

(

)

kxtss -w= cos

распространяется в упру-

гой среде, причем ее источник находится в плоскости 0

x .

Найти смещение и скорость: а) источника в начальный мо-

мент времени; б) точек среды, отстоящих от источника на

расстояние 6/

, по истечении времени 4/T после начала

колебаний источника, где

– длина волны,

– период ко-

лебаний.

14.2. Две точки находятся на прямой, вдоль которой распростра-

няется волна со скоростью 45 м/с. Период колебаний равен

0,15 с, расстояние между точками составляет 50 см. Найти

разность фаз колебаний в этих точках.

14.3. Определить максимальную и минимальную частоты звуко-

вых волн, воспринимаемых человеческим ухом, если гра-

ничные значения длин волн равны соответственно 17,0 и

20 м. Скорость звука принять равной 340 м/с.

14.4. Волны распространяются в упругой среде со скоростью

350 м/с. Наименьшее расстояние между точками среды, фа-

зы колебаний которых отличаются на

20,0 , равно 5,0 см.

Определить частоту колебаний.

14.5. Найти расстояние между точками, расположенными в на-

правлении распространения звуковой волны, для которых

разность фаз колебаний составляет 3/

. Частота звуковой

волны 700 Гц, скорость ее распространения равна 340 м/с.

14.6. Из пункта

в пункт

послан звуковой сигнал, имеющий

частоту 60 Гц. При этом на расстоянии

укладывается

целое число волн. После того, как температура воздуха по-

высилась на 200 К, опыт повторили снова. Оказалось, что

число волн, укладывающихся на рассматриваемом расстоя-

нии, уменьшилось на две. Найти расстояние

, если из-

вестно, что при повышении температуры на 1,0 К скорость

звука увеличивается на 0,50 м/с. Скорость звука при началь-

ной температуре принять равной 350 м/с.

305

14.7. Звук выстрела и пуля одновременно достигают высоты

650 м. Какова начальная скорость пули, если выстрел произ-

веден вертикально вверх? Скорость звука в воздухе 340 м/с.

Сопротивлением воздуха пренебречь.

14.8. От источника колебаний распространяются плоские попе-

речные волны вдоль прямой линии. Амплитуда колебаний

равна 10 см. Чему равно смещение точки, удаленной от ис-

точника на 0,30 длины волны, в момент, когда от начала ко-

лебаний источника прошло время, равное половине периода

колебаний?

14.9. Волны с периодом 0,12 с и амплитудой колебаний 0,22 см

распространяются со скоростью 15 м/с. Чему равно смеще-

ние точки, находящейся на расстоянии 15 м от источника

волн в тот момент, когда от начала колебаний источника

прошло время 2,5 с? Волны считать плоскими и попе-

речными.

14.10. Упругая волна распространяется вдоль пружины, длина ко-

торой l , масса

и коэффициент жесткости k . Записать

волновое уравнение для такой волны.

14.11. В среде с плотностью

распространяется плоская волна,

задаваемая уравнением

(

)

kxtss -w= cos

. Для начального

момента времени ( 0

t ) построить графики распределения

вдоль оси OX объемной плотности энергии

(

)

0,xw : кинети-

ческой; потенциальной; полной.

14.12. Широкая трубка, закрытая снизу и расположенная верти-

кально, наполнена до краев жидкостью. Над верхним отвер-

стием трубки помещен звучащий камертон, частота колеба-

ний которого 340 Гц. Через кран, находящийся внизу, воду

медленно выпускают. Когда уровень воды в трубке понижа-

ется на 17 см, звук камертона усиливается. Определить ско-

рость звука в условиях опыта.

14.13. Узлы стоячей волны, создаваемой камертоном в воздухе,

отстоят на расстояние 45 см друг от друга. Найти частоту

колебаний камертона, если скорость звука в воздухе

340 м/с.

306

14.14. К верхнему концу цилиндрического сосуда, в который по-

степенно доливают воду, поднесен звучащий камертон. За-

мечено, что звук значительно усиливается, когда расстояние

от верхнего конца сосуда до поверхности жидкости имеет

значения 30 и 60 см. Определить частоту колебаний камер-

тона. Скорость звука в воздухе принять равной 340 м/с.

14.15. В упругой среде (железо) распространяются продольные

волны с частотой колебаний 5,0 кГц. Определить разность

фаз для точек, находящихся на расстоянии 12 см друг от

друга на прямой, вдоль которой распространяются волны.

14.16. Скорость звука в медном стержне составляет 4700 м/с. Оп-

ределить модуль Юнга для меди.

14.17. Скорость продольных волн в стальном стержне равна

5100 м/с. Определить модуль Юнга для стали.

14.18. Определить скорость продольных волн в ртути.

14.19. Скорость продольных волн в кислороде при нормальных

условиях равна

1017,3 × см/с. Определить по этим данным

отношение теплоемкостей

CC для кислорода.

14.20. Определить скорость распространения звука в воздухе и в

кислороде при температуре 27 °С.

14.21. Наблюдатель, находящийся на расстоянии 1000 м от источ-

ника звука, слышит звук, пришедший по воздуху на 2,15 с

позднее, чем звук, пришедший по воде. Найти скорость зву-

ка в воде, если температура воздуха и воды 17 °С.

14.22. Скорость звука в некотором газе при 0 °С составляет

334 м/с. Плотность газа 1,25 кг/м

. Определить отношение

теплоемкостей

CC для данного газа.

14.23. Найти отношение скорости распространения звука в азоте к

средней квадратичной скорости молекул этого газа.

14.24. Температура воздуха у поверхности Земли равна 27 °С. При

увеличении высоты она понижается на 0,0070 °С на каждый

метр высоты. За какое время звук, распространяясь, достиг-

нет высоты 3500 м?

14.25. Определить частоту колебаний столба воздуха в трубе дли-

ной 1,12 м при температуре воздуха 27 °С. Рассмотреть два

случая: труба открыта, труба закрыта с обеих сторон.

307

14.26. Нота «ля» первой октавы рояля имеет частоту основного то-

на 440 Гц. Найти: а) скорость волн, распространяющихся

вдоль струны, приняв ее длину равной 1,00 м; б) силу натя-

жения струны, полагая, что струна изготовлена из стали и

имеет диаметр 1,20 мм.

14.27. Как изменится скорость звука в воздухе при увеличении его

температуры от 100 до 400 К?

14.28. На расстоянии

от точечного изотропного источника звука

мощностью

расположена небольшая площадка радиуса

, ориентированная перпендикулярно радиальному направ-

лению. Пренебрегая поглощением звука в воздухе, найти

средний поток энергии через площадку.

14.29. Сравнить скорость звука в воздухе со средней арифметиче-

ской скоростью молекул (при комнатной температуре) в

звуковой волне.

14.30. Определить частоту колебаний в трубе длиной 80 см при

температуре воздуха 16 °С. Рассмотреть случаи: а) оба конца

трубы открыты; б) один конец трубы открыт; а второй –

закрыт.

14.31. На упругой нити образовались стоячие волны, причем рас-

стояния между точками, в которых колебания происходят с

амплитудой 2,5 мм, равны 4,0 и 6,0 см. Определить длину

волны и амплитуду колебаний в середине пучности.

14.32. Определить три наименьшие частоты, при которых в сталь-

ном стержне длиной 120 см, закрепленном посередине, по-

лучатся стоячие продольные волны.

14.33. Определить полную мощность источника продольных сфе-

рических волн в воздухе, если в любом направлении на рас-

стоянии 100 м от него амплитуда давления равна 0,60 Па.

Давление воздуха нормальное, температура 20 °С, затухани-

ем волн пренебречь.

15. ЗВУКОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ

15.1. Интенсивность звука равна 2,5 Вт/м

. Определить среднюю

объемную плотность энергии звуковой волны, если звук

распространяется в сухом воздухе при температуре 0 °С.

308

15.2. Мощность точечного изотропного источника звуковых волн

15 Вт. Определить объемную плотность энергии на расстоя-

нии 15 м от источника волн. Температура воздуха 27 °С.

Энергия, излучаемая источником, распространяется во все

стороны равномерно.

15.3. Определить максимальную скорость колебательного движе-

ния частиц воздуха при прохождении через него звуковых

волн, имеющих амплитуду звукового давления 0,20 Па.

Длина звуковых волн 33 см, температура воздуха 27 °С, дав-

ление

1005,1 × Па.

15.4. Звук частотой 400 Гц распространяется в воздухе при темпе-

ратуре 23 °С и давлении

1005,1 × Па. Амплитуда звукового

давления 0,50 Па. Определить амплитуду колебаний частиц

воздуха.

15.5. Звук распространяется при нормальных условиях. Опреде-

лить амплитуду звукового давления, если амплитуда коле-

бания частиц воздуха 1,2 мкм. Частота звука 1600 Гц.

15.6. Найти амплитуду звукового давления на расстоянии 100 м

от источника звука мощностью 10,2 Вт. Считать линейные

размеры источника небольшими. Звук распространяется при

нормальных условиях. Затуханием звука пренебречь.

15.7. Определить уровень громкости звука, если его интенсив-

ность равна: а)

100,1

× Вт/м

, б)

100,2 × мкВт/м

15.8. На расстоянии 24 м от источника звука малых линейных

размеров уровень громкости звука составляет 32 дБ. Найти

уровень громкости звука, создаваемого этим источником на

расстоянии 16 м от него.

15.9. Звуковая волна прошла через перегородку, вследствие чего

уровень громкости звука уменьшился на 25 дБ. Во сколько

раз уменьшилась интенсивность звука?

15.10. Уровень громкости шума мотора равен 60 дБ. Какой будет

интенсивность шума, если одновременно будут работать два

таких мотора; N таких моторов?

15.11. Интенсивность волн на расстоянии 20 м от источника равна

0,030 Вт/м

. Какова интенсивность волн на расстоянии 100 м

309

от источника, если коэффициент затухания волны равен

100,5

× см

-1

15.12. Какую долю от средней скорости молекул воздуха составля-

ет их максимальная акустическая скорость в случае плоских

волн, если: а) амплитуда давления 900 Па (сильный звук, вы-

зывающий боль в ушах); б)

100,9

× Па (едва слышный

звук)? Давление воздуха нормальное.

15.13. Какова амплитуда колебаний в звуковой волне в воздухе при

речи средней громкости (максимальное давление около

9,0 Па при частоте 400 Гц)? Давление нормальное, темпера-

тура воздуха 20 °C.

15.14. В воздухе при температуре 27 °C и при нормальном давле-

нии распространяется звуковая волна, максимальное давле-

ние которой 900 Па (сильный звук, вызывающий боль в

ушах). Определить температуру в месте максимального дав-

ления.

15.15. При амплитуде давления 1,0 Па уровень ощущения звука

равен 60 дБ. Какова амплитуда давления для звука той же

частоты при пороге слышимости?

15.16. Для нижней границы слухового ощущения амплитуда звуко-

вого давления

100,7

× Па при частоте 256 Гц и

100,4

× Па

при частоте 2050 Гц. Найти соответствующие интенсивно-

сти звука, считая, что он распространяется при нормальных

условиях.

15.17. Определить отношение уровней громкости двух звуковых

волн, соответствующие интенсивности которых равны

100,2

× Вт/м

102,1

× Вт/м

15.18. Звук распространяется по трубе длиной 50 м. Средний ко-

эффициент поглощения можно принять равным

100,1

× см

-1

Каков уровень ощущения звука у конца трубы, если у начала

он равен 60 дБ?

15.19. На расстоянии 10 м от источника звука, размеры которого

малы, уровень ощущения звука равен 20 дБ. Пренебрегая за-

туханием, вычислить: а) уровень ощущения на расстоянии

5,0 м; б) на каком расстоянии звук не слышен.

310

15.20. Частота основного тона гудка тепловоза 660 Гц. Какова ка-

жущаяся частота гудка для наблюдателя, к которому тепло-

воз приближается со скоростью 54 км/ч? Температура воз-

духа 16 °C.

15.21. Наблюдателю, слушающему гудок автомобиля, кажется, что

при приближении автомобиля частота основного тона гудка

на секунду в 7/6 раза выше, чем при удалении. Определить

скорость автомобиля, приняв скорость звука в воздухе рав-

ной 340 м/с. Считать воздух неподвижным.

15.22. Тепловоз, движущийся со скоростью 72 км/ч, дает свисток в

течение 3,0 с. Какова продолжительность звука, воспринято-

го неподвижным наблюдателем: а) если тепловоз приближа-

ется к нему; б) если тепловоз удаляется от него? Температу-

ра воздуха равна 27 °C.

15.23. Поезд проходит мимо станции со скоростью 40 м/с. Частота

тона гудка электровоза 600 Гц. Какова кажущаяся частота

тона для человека, стоящего на платформе, когда поезд при-

ближается; удаляется? Скорость звука принять равной

340 м/с.

15.24. Мимо железнодорожной платформы проходит электропоезд.

Наблюдатель, стоящий на платформе, слышит звук его гуд-

ка. Когда поезд приближается, кажущаяся частота звука

1150 Гц; когда удаляется, кажущаяся частота 900 Гц. Найти

скорость электропоезда и частоту издаваемого сиреной

звука.

16. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ

16.1. Излучение антенны полевой радиостанции имеет мощность

50 Вт. Какова средняя напряженность электрического поля

при приеме на наземную антенну на расстоянии 80 км? Счи-

тать антенну изотропным источником.

16.2. Предположим, что две цепочки электронов движутся парал-

лельно друг другу в пустоте со скоростью в

раз меньшей

скорости света. Что больше: сила, с которой цепочки элек-

тронов отталкиваются вследствие электростатического