Аскирка В.Ф. Электричество и магнетизм. Волновая оптика

Подождите немного. Документ загружается.

281

Проведем вычисления:

(

)

()()

()

=×-×

»eD

-102

1058905896101150

260sin46,11

260sin2

10011

×= , рад 820

= , .

Ответ: 820

=eD , .

Пример 26. При заданном положении тонкой линзы, ее фоку-

сов и главной оптической оси построить изображение предмета,

изображенного на рис. 2.58.

Решение. Из точки

предмета проведем произвольный луч

AC (рис. 2.59) до пересечения с плоскостью линзы. Для опреде-

ления направления, по которому будет распространяться луч по-

сле преломления в линзе, параллельно AC проведем вспомога-

тельный луч MN (побочную ось) через оптический центр линзы.

Поскольку луч MN проходит через оптический центр, то он не

испытывает преломления. Лучи AC и MN – параллельны, поэто-

му после преломления в линзе они будут пересекаться в точке

расположенной на задней фокальной плоскости.

Таким образом, луч AC после преломления пройдет через

точку

, то есть будет распространяться в направлении CD . При

построении изображений необходимо помнить, что любая точка

изображения – это точка схождения (пересечения) по крайней ме-

ре двух лучей или их продолжений. Второй луч из точки

удоб-

но провести вдоль главной оптической оси линзы OO

. Этот луч

Рис. 2.58

282

совпадет с OO

. Таким образом, изображением точки

будет

точка пересечения луча

CA и главной оптической оси системы –

точка

A . Для построения изображения точки

из этой точки

проведем два луча: один, проходящий через оптический центр

линзы (луч

), второй – параллельно главной оптической оси.

Первый луч будет проходить через линзу без преломления, второй

после преломления пройдет через задний фокус

F . Продолжив

эти лучи до пересечения, получим искомую точку

B – изображе-

ние точки

. Соединив точки

A и

B , получим

BA – изображе-

ние предмета

Следует отметить, что для построения изображений точек

вместо одного из первых двух лучей можно также использо-

вать лучи, проходящие через фокус линзы. На рис. 2.60 показано

использование этого способа для построения изображения точки

в линзе.

Рис. 2.60

Рис. 2.59

283

Пример 27. На рис. 2.61 показаны положение главной опти-

ческой оси тонкой рассеивающей линзы и ход проходящего сквозь

нее луча ABC . Найдите построением ход произвольного луча

за линзой.

Решение. Через оптической центр проведем луч MN парал-

лельный

(рис. 2.62). Продолжение луча BC с MN будет

иметь точку пересечения

, расположенную на передней фокаль-

ной плоскости линзы. Поэтому плоскость, проведенная через

перпендикулярно главной оптической оси, будет передней фо-

кальной плоскостью, а точка ее пересечения с осью – передним

фокусом

F .

После нахождения переднего фокуса дальнейшие построения

производятся аналогично предыдущему примеру: через оптиче-

ский центр проводим луч NM

, параллельный лучу

. Точка

пересечения луча NM

с фокальной плоскостью будет также

Рис. 2.61

Рис. 2.62

284

принадлежать продолжению луча

, являющегося результатом

преломления

. На рис. 2.62 лучи показаны сплошными линия-

ми; вспомогательные лучи, а также продолжения лучей после их

преломления, проведенные в обратную сторону, показаны штри-

ховыми линиями.

Пример 28. С помощью тонкой собирающей стеклянной лин-

зы с показателем преломления 1,50 получено действительное изо-

бражение предмета на расстоянии 10 см от линзы. После того, как

предмет и линзу погрузили в воду, не изменяя расстояния между

ними, изображение получилось на расстоянии 60 см от линзы. Оп-

ределить фокусное расстояние линзы.

Дано:

50,1

n ,

=a см,

a см.

Найти:

f .

Решение. Пусть

f – фокусное расстояние линзы в воздухе,

f – фокусное расстояние линзы в воде. Тогда, согласно формуле

для линзы [21.4], для обоих случаев получим:

()

--=

211

, (1)

212

RRn

, (2)

где

R ,

R – радиусы кривизны преломляющих поверхностей

линзы,

– показатель преломления материала, из которого изго-

товлена линза относительно воздуха ( 5,1

n ),

n – показатель

преломления воды ( 33,1=

n ).

Из соотношений (1) и (2), исключая множитель, содержащий

неизвестные величины

R и

R , получим:

285

()

. (3)

С другой стороны, для изображений в воздухе и в воде можем за-

писать формулы тонкой линзы [21.3]:

121

111

faa

=+-

, (4)

221

111

faa

, (5)

где

a – расстояние от линзы до предмета в обоих случаях,

a и

– расстояния от линзы до изображения в воздухе и воде соот-

ветственно.

Вычитая из уравнения (4) уравнение (5), получим:

2122

1111

ffaa

. (6)

Решая совместно (3) и (6), исключая неизвестное

f , имеем:

()

1111

1122

ffaa

. (7)

После преобразований выражение (7) примет окончательный вид:

(

)

()()

naan

nnaa

Подставляя числовые значения, получим:

(

)

()()

938

15011060331

13315016010

f =

= см.

Ответ: 938

,f = см.

Пример 29. Оптическая система представляет собой тонкую

плоско-выпуклую стеклянную линзу, выпуклая поверхность кото-

рой посеребрена. Определить главное фокусное расстояние такой

системы, если радиус кривизны сферической поверхности равен

60 см.

286

Дано:

R см,

50,1

n .

Найти: f .

Решение. Так как лучи, падающие на оптическую систему,

последовательно проходят через линзу, отражаются от зеркала и

затем снова проходят через линзу, то данную оптическую систему

можно рассматривать как центрированную, состоящую из сло-

женных вплотную двух плосковыпуклых линз и сферического

зеркала. Фокусное расстояние может быть найдено из соотноше-

ния [21.4]:

F= 1f , (1)

где

– оптическая сила системы.

Как известно, оптическая сила системы линз, сложенных

вплотную, равна алгебраической сумме оптических сил отдельных

компонентов. В нашем случае это может быть отражено соотно-

шением:

() ()

1 =-++-=F , (2)

где первое и третье слагаемые являются оптическими силами

линз, второе – оптическая сила сферического вогнутого зеркала. В

соответствии с принятым правилом знаков в равенстве (2)

везде

положительно.

С учетом выражения (2) соотношение (1) запишется в виде:

= . (3)

Подставляя числовые значения в (3), получаем:

50,12

=f см.

Ответ: 20

f см.

Пример 30. Фокусное расстояние объектива микроскопа

4,9 мм, а окуляра – 5,0 см. Предмет помещается на расстоянии

287

5,0 мм от объектива и рассматривается в окуляр наблюдателем с

нормальным зрением. Определить длину тубуса микроскопа и его

увеличение.

Дано:

94,f

об

= мм

109,4

×= м,

05,f

ок

= см

1005

×= , м,

,a -= мм

1005

×-= ,

м.

Найти: l ,

Решение. Основными оптическими элементами микроскопа

являются объектив и окуляр. Объектив направляется в сторону

наблюдаемого предмета (объекта), окуляр располагается в

непосредственной близости от глаза. Для всех построений, чтобы

не загромождать рисунок, используется только луч, проведенный

из крайней точки предмета через оптический центр

соответствующей линзы. Положение предмета или изображения

выбирается на основании условия задачи (или произвольно) и в

последующем уточняется при выполнении вычислений.

Ход лучей в микроскопе приведен на рис. 2.63. На рисунке:

об

F и

ок

F – точки, обозначающие положения фокусов объектива и

окуляра соответственно,

a – расстояние от предмета

до объ-

ектива,

a – расстояние от объектива до первичного изображения

предмета

BA ,

– расстояние от окуляра до

BA ,

L – рас-

стояние от окуляра до вторичного мнимого изображения предмета

BA , рассматриваемого глазом.

При решении задач на расчет оптических систем, состоящих

из нескольких оптических элементов (линз, зеркал), изображение,

даваемое предыдущим элементом, служит предметом для после-

дующих элементов. Если предмет рассматривается в конечном

В данной и последующих задачах (примеры 31, 32) числовые значения

расстояний

a ,

a приведены с учетом правила знаков (смотри главу 21

«Основные понятия и законы геометрической оптики»)

288

итоге визуально человеком с нормальным зрением, то изображе-

ние, даваемое окуляром, должно быть мнимым и находиться от

него на расстоянии наилучшего зрения (

L ). Для человека с нор-

мальным зрением

L принимается равным 25 см. Для получения

мнимого изображения предмета на таком расстоянии необходимо,

чтобы изображение

располагалось между фокусом окуляра и

окуляром. Это обычно достигается соответствующим изменением

расстояния между объективом и окуляром.

Из рисунка видно, что длина тубуса микроскопа равна:

aal

+= . (1)

Величины

a могут быть определены на основании формулы

тонкой линзы [21.3]:

об

fаa

111

=+-

Выражая

a , получим:

об

. (2)

Подставляя числовые значения, получим:

(

)

()

260

10941005

10051094

а =

×+×-

×-××

м.

Рис. 2.63

289

С помощью формулы тонкой линзы, записанной для окуляра, оп-

ределим величину

221

111

faa

. (3)

Поскольку с учетом правила знаков

La -=

, то после преобразо-

вания выражения (3) получим:

(

)

ок

Подставляя числовые значения, будем иметь:

(

)

()

0420

0500250

2500500

a -=

-×

м.

С учетом выражения (1) длина тубуса равна:

3000420260 ,,,l =-+= м.

По определению, увеличение микроскопа равно произведе-

нию увеличений объектива и окуляра:

GG=G , (4)

где

121

aa=G – увеличение объектива, aL

-=G

– увеличение

окуляра.

Подставляя числовые значения в выражение (4), находим зна-

чение увеличения микроскопа

(

)

(

)

()()

310

102,4100,5

25,026,0

×-××-

-×

Знак «–» означает, что конечное изображение является переверну-

тым относительно исходного.

Ответ: 300,l

м, 310

Пример 31. Человек с нормальным зрением рассматривает

Луну в зрительную трубу, имеющую объектив с фокусным рас-

стоянием 40 см и окуляр с фокусным расстоянием 4,0 см. Какую

минимальную длину имеет зрительная труба? На какое расстояние

необходимо переместить окуляр, чтобы получить изображение

Луны на экране, расположенном на расстоянии 50 см от трубы?

290

Определить также линейный размер полученного изображения,

если угловой размер Луны 03

Дано:

40=

об

f см,

0,4=

ок

f см,

l см,

107803

×=

=a ,

рад.

Найти:

, l

Решение. В простейшем случае зрительная труба содержит

объектив и окуляр. Так же, как и в микроскопе, в зрительной трубе

объектив направляется в сторону наблюдаемого предмета (объек-

та), окуляр располагается в непосредственной близости от глаза.

В нашем случае расстояние от предмета до объектива зри-

тельной трубы много больше фокусного

об

fa >>

, поэтому мож-

но с высокой точностью считать, что

об

fa »

. Это означает, что

уменьшенное перевернутое изображение предмета будет нахо-

диться в фокальной плоскости объектива. Именно этот случай,

соответствующий первой части задачи, показан на рис. 2.64 а.

Исходный предмет (Луна) на рисунке показан в виде стрелки

, расположенной перпендикулярно главной оптической оси;

– изображение Луны, полученное с помощью объектива,

– изображение, полученное после прохождения света через

окуляр. Это изображение и рассматривается глазом.

Из рис. 2.64 а следует, что минимальная длина зрительной

трубы

будет равна расстоянию между объективом и окуляром:

аfL

об

+= , (1)

где

об

f – фокусное расстояние объектива,

– расстояние от оку-

ляра до

. Таким образом, для определения размеров трубы

необходимо рассчитать

На основании формулы тонкой линзы, записанной для объек-

тива, имеем: