Аскирка В.Ф. Электричество и магнетизм. Волновая оптика

Подождите немного. Документ загружается.

271

Пример 21. На дифракционную решетку нормально к ее по-

верхности падает параллельный пучок света с длиной волны

600 нм. Помещенная вблизи решетки линза проецирует дифракци-

онную картину на плоский экран, удаленный от линзы на 1,0 м.

Расстояние между двумя максимумами интенсивности первого

порядка, наблюдаемыми на экране, равно 20,2 см. Определить:

постоянную дифракционной решетки; число штрихов на 1,0 см;

число максимумов, которое дает дифракционная решетка; макси-

мальный угол отклонения лучей, соответствующий последнему

дифракционному максимуму.

Дано:

600

нм

10006

×= , м,

001,L

м,

2,20

l см 202,0

м,

Найти: d ,

, N ,

max

j .

Решение. При наблюдении дифракции Фраунгофера экран, на

котором наблюдают дифракционную картину, располагается в фо-

кальной плоскости линзы, фокусное расстояние которой равно f

(рис. 2.55).

Рис. 2.55

272

Запишем условие главных максимумов дифракции [19.10]:

md sin. (1)

В виду малости углов дифракции

(

)

fltg 2sin =j»j . Тогда из со-

отношения (1), при условии, что 1

m , получим выражение для

нахождения постоянной решетки:

. (2)

Подставляя числовые значения, получим:

10954

2020

100060012

×=

×××

= ,

d м.

Число штрихов

на 1 см найдем из соотношения:

dn 1= .

После подстановки числовых значений имеем:

10022

10954

×=

n м

-13

1002,2 ×= см

-1

Для определения числа даваемых дифракционной решеткой

максимумов необходимо рассчитать максимально возможный по-

рядок дифракции

max

m (исходя из того, что 1sin £j ). Соотноше-

ние (1) в этом случае примет вид:

max

md или

max

Подставляя числовые значения, находим:

10006

10954

max

Поскольку

принимает только целые значения, то следует при-

нять 9

max

=m . Общее число максимумов, даваемых решеткой, бу-

дет равно:

1912

max

=+= mN .

Для нахождения угла отклонения, соответствующего послед-

нему наблюдаемому дифракционному максимуму, соотношение

(1) запишем в виде:

l=j

maxmax

sin md , откуда

273

max

arcsin.

Подставляя числовые значения величин, находим:

4,65

1095,4

100,69

arcsin

max

××

Ответ:

1095,4

×=d м,

1002,2 ×=n см

-1

max

=m , 19

N ,

4,65

max

=j .

Пример 22. Определить ширину спектральной линии

водо-

рода с длиной волны 0,656 мкм в спектре первого порядка, давае-

мого решеткой длиной 3,0 см и содержащей 30000 штрихов. Фо-

кусное расстояние линзы, проецирующей спектр на экран, равно

25 см.

Дано:

6560,

мкм

10566

×= , м,

f см 25,0

м,

N 30000,

03,L

см

1003

×= , м.

Найти: x

Решение. Запишем условие возникновения главных макси-

мумов для дифракционной решетки [19.10]:

md sin. (1)

Между главными максимумами расположено 1

N дополнитель-

ных минимумов, где N – число штрихов решетки (рис. 2.56). Для

монохроматического излучения спектры различных порядков на-

блюдаются при изменении угла дифракции. Дадим такое прира-

щение по углу

, чтобы из главного максимума перейти к бли-

жайшему минимуму.

Шириной спектральной линии называется половина расстояния между

двумя минимумами, лежащими рядом с этой линией.

274

Как следует из рассмотренного, порядок дифракции при этом

должен измениться на некоторую малую величину Nm /1

. Ма-

тематически это достигается путем дифференцирования выраже-

ния (1):

l=jdj

cos. (2)

На основании условия задачи можно заключить, что

будет угловой шириной спектральной линии. Поскольку

j-=j

sin1cos то, используя соотношение (1), выражение (2)

запишется в виде:

()

=dj

mdN

. (3)

При наблюдении дифракции Фраунгофера экран, на котором

наблюдают дифракционную картину, располагается в фокальной

плоскости линзы (рис. 2.57). Поэтому положение некоторой точки

на оси, проведенной на экране параллельно плоскости решетки,

можно определить, зная угол дифракции и фокусное расстояние

линзы:

= ftgх . (4)

Расстояние х

между точками, расположенными в окрестности

определим, продифференцировав равенство (4):

()

sin1cos

fdff

х . (5)

Рис. 2.56

275

Если j

=j и j

d=dj , то величина х

будет искомой шириной

спектральной линии. Принимая во внимание соотношение (4), за-

пишем (5) в окончательном виде:

()

mdN

х.

Определим период дифракционной решетки:

1001

1003

×=

== ,

d м.

Подставляя числовые значения в равенство (6), получим:

(

)

()()

103,1

1056,61100,1100,3

1056,625,0100,1

×=

××-×××

×××××

=dх м.

Ответ: 0130,х

мм.

Пример 23. Пучок белого света падает нормально на дифрак-

ционную решетку шириной 1,2 см и периодом 4,0 мкм. Опреде-

лить наибольший порядок спектра, который можно наблюдать при

помощи этой решетки. Можно ли при помощи этой решетки

наблюдать в первом порядке дифракции раздельно спектральные

линии, имеющие длины волн 6000 Å и 6006 Å?

Рис. 2.57

276

Дано:

2,1

L см

102,1

×= м,

0,4

d мкм

100,4

×= м,

6000

100006

×= , м,

6006

100066

×= , м,

m 1.

Найти:

max

m .

Решение. При использовании немонохроматического излуче-

ния возможна ситуация, когда при работе в высоких порядках

происходит наложение дифракционных максимумов соседних по-

рядков. Это означает, что имеет место одинаковый угол дифрак-

ции для света, имеющего длину волны

l в порядке 1

m , и света

с длиной волны

l в порядке

(

l>l ). Записав условие мак-

симумов дифракции [19.10] для обоих случаев, получим:

(

)

1sin l+=j md , (1)

sin l=j md , (2)

где d – постоянная решетки.

Приравнивая правые части (1) и (2), получим:

(

)

1 l=l+ mm , или

l-l

. (3)

Белый свет имеет в себе набор всех длин волн видимого диа-

пазона от фиолетового 400

=l нм до красного 750

=l нм. В та-

ком случае максимальный порядок спектра, который можно

наблюдать при помощи дифракционной решетки без

перекрывания, будет равен

141

400

750

400

max

= .

Поскольку порядок дифракции является только целым числом, то

следует принять 1=

max

m . Таким образом, при использовании бе-

лого света наблюдается без наложения только первый порядок

277

дифракции. Красный свет второго порядка дифракции будет час-

тично перекрываться с синим для третьего.

Спектральный интервал, занимаемый исследуемым излучени-

ем

100,6

×=l

-l

d м 0,6

Å, не должен превышать мини-

мальной величины разности длин волн

спектральных линий,

которые решетка может разрешить. В этом случае максимумы со-

седних порядков от отдельных монохроматических компонент из-

лучения не будут перекрываться.

Воспользуемся определением разрешающей способности ре-

шетки [20.8]:

mN=

. (4)

При заданной ширине решетки NdL

определим минималь-

ную разность длин волн двух спектральных линий

, разрешае-

мых решеткой. Выражение (4) примет вид:

=dl . (5)

Подставляя числовые значения в (5) с учетом того, что 1=

= mm ,

получим:

100,2

102,1

100,4

1000,6

×=

×=dl

м 0,2

Å.

Поскольку dl>l

-l

, то это означает, что спектральные

линии с длинами волн 6000

Å и 6006

Å данной решеткой

в первом порядке будут разрешены.

Ответ: 1

max

=m ; линии будут разрешены.

Пример 24. Определите для дифракционной решетки, имею-

щей 1200 штрихов на один миллиметр и ширину 3,0 см, угловую

дисперсию в спектре первого порядка; линейную дисперсию спек-

трографа, использующего данную решетку, в этом же порядке при

объективе с фокусным расстоянием 50 см. Найти также наиболь-

шую разрешающую способность решетки для длины волны

600 нм.

278

Дано:

1200=

N мм

-1

f см 50,0

м,

600

нм

10006

×= , м,

m .

Найти:

D ,

D , dll .

Решение. Дифференцируя условие главных максимумов для

дифракционной решетки [19.10], считая переменными

получим:

mddd cos. (1)

Угловая дисперсия решетки из определения [20.3] равна

cosd

D . (2)

Учитывая условие главных максимумов для дифракционной ре-

шетки [19.10], а также то, что период решетки равен Nd 1= , вы-

ражение для угловой дисперсии примет вид:

()

sin1

mNmN

Подставляя числовые значения величин, получим:

()

1730

12001000611

12001

×××-

D рад/мм.

Дифракционную картину наблюдают в фокальной плоскости

линзы, имеющей фокусное расстояние f . Поэтому линейную

дисперсию определим, исходя из значения ее угловой дисперсии,

пользуясь приближенным соотношением [20.4]:

» fDD

Используя числовое значение угловой дисперсии, получим:

106581730500 ×=×= ,,D

В соответствии с определением величина линейной дисперсии

является безразмерной, но обычно ее выражают в миллиметрах на

279

один нанометр. Поэтому результат может быть записан следую-

щим образом:

865,0=

D мм/нм.

По определению разрешающая способность решетки [20.8] равна

mN=

Число штрихов решетки определим из соотношения:

36000=

= NlN .

Наибольшая разрешающая способность будет наблюдаться для

максимального порядка дифракции, который определим из

условия (см. пример 21):

38,1

max

m .

Значит, максимальным наблюдаемым будет порядок 1

max

=m . По-

этому, максимальная разрешающая способность для решетки бу-

дет равна:

36000==

max

Ответ: 1730=

D рад/мм, 865,0=

D мм/нм,

(

)

36000=dll

max

Пример 25. Призма с преломляющим углом

60 изготовлена

из стекла с показателем преломления 1,46. Рассчитать угол, на

который будут разведены две желтые линии натрия с длинами

волн 5890 Å и 5896 Ǻ. Дисперсия вещества призмы в этом

диапазоне длин волн составляет 1150 см

-1

Дано:

60=A ,

46,1

n ,

5890

=l Å,

5896

=l Å,

280

1150=

см

-1

Найти:

Решение. Для решения задачи воспользуемся соотношением

между преломляющим углом

, углом наименьшего отклонения

и показателем преломления призмы

[20.5]:

sin

n . (1)

При использовании немонохроматического излучения вслед-

ствие явления дисперсии показатель преломления для различных

длин волн будет несколько различен. Это будет приводить к раз-

личию углов отклонения волн. Продифференцировав выражение

(1) по

, имеем:

l d

sin2

cos

. (2)

Воспользовавшись известным тригонометрическим соотношением

a-=a

sin1cos , выражение (2) можно записать в виде:

l d

sin2

sin1

. (3)

При заданном условии задачи

, поэтому, заменяя в выра-

жении (3) бесконечно малые приращения величин

их ко-

нечными значениями, получим окончательно:

(

)

()()

»eD

2sin1

2sin2

, где

l-l=lD .