Аскирка В.Ф. Электричество и магнетизм. Волновая оптика

Подождите немного. Документ загружается.

291

об

faa

111

=+-

, (2)

где

a – расстояние от объектива до предмета,

a – расстояние от

объектива до изображения.

На основании формулы тонкой линзы [21.3] запишем условие

(1) для окуляра.

ок

faa

111

, (3)

Рис. 2.64

292

где

– расстояние от окуляра до предмета,

– расстояние от

окуляра до изображения.

Из соотношения (3) получаем:

ок

. (4)

Как уже отмечалось ранее, при визуальном рассмотрении

La -=

, поэтому условие (4) запишем в виде:

(

)

ок

Подставляя числовые значения, получим:

(

)

453

0425

2504

a -=

-×

см.

Подставляя числовые значения

об

f и

в выражение (1),

получим:

44345340 ,,L =-+= см.

Для того чтобы получить действительное изображение Луны

на экране, необходимо передвинуть окуляр вправо по ходу рас-

пространения световых лучей, увеличивая тем самым длину тру-

бы, так, чтобы

было расположено на расстоянии, большем

(по модулю) фокусного расстояния окуляра (рис. 2.64 б). Запишем

формулу тонкой линзы, соответствующую этому случаю:

ок

faa

111

¢¢

где

– расстояние от окуляра до предмета,

– расстояние от

окуляра до изображения.

Выражая

, получаем:

ок

¢¢

. (5)

Принимая во внимание, что в соотношении (5) 50

la см, вы-

полним вычисления:

5004

a -=

¢¢

см.

293

Из рис. 2.64 б видно, что искомое расстояние l

, на которое

необходимо передвинуть окуляр, будет равно:

85,045,330,4

=-=

¢¢

=D aal см.

Определим размер полученного на экране изображения. Из

рис. 2.64 б следует геометрическое соотношение:

¢¢

об

tgfBA , (6)

где

a – угловой размер Луны. Знак «–» означает, что изображе-

ние

является перевернутым относительно исходного предме-

та

. Поскольку угол

a очень мал, то выражение (6)

примет вид:

лоб

fBA a»

. (7)

Искомый размер изображения Луны

на экране опреде-

лим из подобия треугольников OBA

и OBA

(рис. 2.64 б), где

точка O

расположена в оптическом центре окуляра:

¢¢

¢¢¢¢

или

BABA

¢¢

¢¢¢¢

. (8)

С учетом соотношения (7), выражение (8) примет окончатель-

ный вид:

fBA

¢¢

¢¢¢¢

Подставив числовые значения, получим:

()

107840

,BA =

×××-=

¢¢¢¢

см.

Ответ: 4,43

L см, 26,0

l см, 0,4=

BA см.

Пример 32. Близорукий человек носит очки с оптической си-

лой –2,0 дптр. На каком расстоянии от лица он должен держать

выпуклое сферическое зеркало радиусом 0,30 м, чтобы резко ви-

деть в зеркале свое изображение без очков?

294

Дано:

,D -= дптр,

R см 300,

м.

Найти: l .

Решение. В соответствии с условием задачи при использова-

нии очков с оптической силой

D близорукий человек получает

резкое изображение на сетчатке предмета, расположенного на рас-

стоянии наилучшего зрения ( 25

=L см) от него. Соответственно

без очков он будет отчетливо (резко) видеть предметы, располо-

женные на меньшем расстоянии

a . Кроме того, учтем, что очки

расположены в непосредственной близости от глаз человека, по-

этому будем рассматривать оптическую систему «хрусталик –

линза очков» как две линзы, сложенные вплотную. В этом случае

мы можем приближенно считать, что оптическая сила системы

будет равна сумме оптических сил отдельных линз. Формула тон-

кой линзы [21.3] для двух случаев будет иметь вид:

+=+

, (1)

aа

=+-

, (2)

где

a – расстояние от хрусталика глаза (собирающей линзы) до

сетчатки,

– оптическая сила глаза близорукого человека.

Вычитая из (1) соотношение (2), определим расстояние

a , на

котором должен находиться предмет, чтобы близорукий человек

видел его отчетливо:

=-=

, или

()

170

102250

250

a -=

--×

м.

Выпуклое зеркало человек должен держать на таком расстоя-

нии

, чтобы его изображение в зеркале получилось на расстоя-

295

нии, равном

a от его глаз. Для определения

запишем формулу

сферического зеркала [21.2]:

Raа

211

, (3)

где

– радиус кривизны зеркала,

– расстояние от зеркала до

изображения.

Из рис. 2.65 видно, что

211

aaa

-=- . Подставляя выражение

для

в равенство (3), получим:

Raаа

211

111

. (4)

После подстановки числовых значений 170

,a -= м и 300,R

м в

(4) и, обозначив xa =

, имеем уравнение второй степени относи-

тельно искомой величины:

00255,013,0

=-- xx . (5)

Решая уравнение (5), получим:

2370

,x = и 107,0

-=x .

Поскольку в соответствии с принятым правилом знаков расстоя-

ние 0

a , то физический смысл будет иметь только корень

107,0

-=x , то есть 1070

,a -=

м. В таком случае расстояние от

зеркала до лица будет равно 1070

,al =

= м.

Ответ: 1070,l

м.

Рис. 2.65

296

Пример 33. Найти концентрацию свободных электронов в

среде, если для радиоволн с частотой 150 МГц ее показатель пре-

ломления равен 0,92.

Дано:

150

МГц

10501 ×= , Гц,

92,0

n .

Найти: N .

Решение. В соответствии с формулой дисперсии [22.12]:

()

w-we

n , (1)

где

e – электрическая постоянная,

– масса и заряд электро-

на,

w – собственная частота колебаний электронов,

– частота

электромагнитных колебаний, распространяющихся в среде, N –

концентрация свободных электронов.

Для свободных электронов 0

»w , поэтому, учитывая связь

линейной и циклической частот [14.3]

2 , получим:

()

pne

n . (2)

Искомая концентрация свободных электронов выразится из соот-

ношения (2) в виде:

(

)

(

)

pn-e

= .

Подставляя числовые значения величин, получим:

(

)

(

)

()

823112

10294

1061

1050114329201101910858

×=

×××-×××

,,,,,

N м

-3

Ответ:

10294 ×= ,N м

-3

Пример 34. Показатель преломления воздуха при нормаль-

ном давлении и температуре 273 К для желтой линии натрия равен

297

1,0002918. Определить показатель преломления воздуха при тем-

пературе 30 °С и давлении

100,3 × Па.

Дано:

3,589

нм

103,589

×= м,

0002918,1

=n ,

t °С, 303

T К,

273

=T К,

1003 ×= ,p Па,

100,1 ×=p Па.

Найти:

Решение. В соответствии с классической теорией дисперсии,

показатель преломления газа зависит от концентрации N и поля-

ризуемости

его молекул [22.13]:

a+=c+=e= Nn 11

. (1)

Откуда можно получить соотношение показателей преломления

при заданных и нормальных условиях:

. (2)

Поскольку показатель преломления воздуха мало отличается от

единицы, то можно воспользоваться приближением:

(

)

121

-»- nn .

Поэтому соотношение (2) с учетом приближения примет вид:

. (3)

На основании молекулярно-кинетической теории связь между

давлением газа, концентрацией молекул и абсолютной температу-

рой имеет вид:

000

kTNp = (4)

при нормальных условиях и

NkTp

(5)

298

при давлении

и температуре

. Из соотношений (4) и (5) по-

лучим:

. (6)

Подставив полученное соотношение (6) в (3), получим оконча-

тельно:

(

)

npT

Подставляя числовые значения, получим:

(

)

007891

1001303

1000291812731003

n =

××

-××

+= .

Ответ: 007891,n

Пример 35. Два николя

расположены так, что угол между их

плоскостями поляризации составляет

60 . Определить, во сколько

раз уменьшится интенсивность естественного света при прохож-

дении через первый николь; во сколько раз уменьшится интенсив-

ность естественного света при прохождении через два николя?

При прохождении света через каждый николь потери на отраже-

ние и поглощение составляют 5,0 %.

Дано:

60=a ,

050,0

k .

Найти:

Решение. Призма Николя пропускает только одну состав-

ляющую поляризации света. Для естественного света она состав-

ляет половину интенсивности падающего света. Интенсивность

Николем называют поляризационную призму Николя, которая позволя-

ет получать из естественного свет линейно поляризованный.

299

света, прошедшего через первый поляризатор, с учетом поглоще-

ния и рассеяния, равна [22.9]:

(

)

= , (1)

где k – коэффициент потерь интенсивности света в николе,

I –

интенсивность естественного света.

Относительное уменьшение интенсивности света при его про-

хождении через первый николь получим, разделив интенсивность

I на интенсивность

I поляризованного света:

. (2)

Подставив числовые значения, получим:

112

05001

Интенсивность поляризованного света, прошедшего через

второй николь (анализатор), определяется формулой Малюса

[22.14]:

cosII , (3)

где

I – интенсивность линейно поляризованного света,

проходящего через первый николь и падающего на второй николь,

– угол между плоскостью колебаний в поляризованном пучке и

плоскостью пропускания второго николя.

Учитывая потери интенсивности во втором николе, выраже-

ние (3) примет вид:

(

)

a-=

cos1 kII . (4)

Уменьшение интенсивности при прохождении света через оба ни-

коля будет равно:

()

cos1 kI

Учитывая (2), окончательно получим:

()

cos1

300

Подставляя числовые данные, имеем:

()

86,8

60cos050,01

Ответ:

11,2

86,8

Пример 36. Пластинка кварца толщиной 1,0 мм, вырезанная

перпендикулярно оптической оси и помещенная между двумя па-

раллельными николями, поворачивает плоскость поляризации на

угол

20 (рис. 2.66). При какой толщине кварцевой пластинки свет

этой же длины волны не будет выходить из второго николя?

Дано:

01,d

мм

100,1

×= м,

20=a

Найти: d .

Решение. В соответствии с законом Малюса [22.14] интен-

сивность света, прошедшего через анализатор

, равна

cosII , (1)

где

– угол, который составляет плоскость поляризации падаю-

щего света, с плоскостью поляризации анализатора.

Если поляризатор

и анализатор

расположены парал-

лельно, то при отсутствии пластинки

свет будет проходить без

ослабления (

II = ), поскольку 0

Рис. 2.66