Бороденко В.А. Исследование систем управления в среде MATLAB

Подождите немного. Документ загружается.











)(

)()(

При нулевых начальных условиях запись упрощается (интегри-

рованию оригинала соответствует деление его изображения на s)





dx )()(



- Запаздывание (смещение) оригинала во времени на величину

τ > 0

)()( sXetx





 .

- Смещение изображения на комплексной плоскости на величи-

ну λ

)()(



 sXetx

t

- Начальное значение оригинала (при t = 0

), вычисляемое (в

выражении использован знак равенства, а не соответствия)

)(lim)(lim sXstx

s0t









Для вычисления начального значения производной по времени

n-го порядка от функции x(t) производится умножение изображения

на s

n+1





)(lim)(lim sXstx









Пример: определим начальные значения функции F(s) и ее про-

изводной

)1(

)0(

)1(

)0(

)1(

)(









































sss

При подстановке значения переменной s, равного бесконечно-

сти, раскрытие неопределенности производится по правилу Лопиталя,

которое, применительно к данному случаю, можно сформулировать

следующим образом. Если максимальная степень, в которую возво-

Учет начальных усл

вий

дится бесконечное число в числителе, больше аналогичной в знамена-

теле, то все выражение стремится к бесконечности (не забывать про

знак!), если меньше, то стремится к нулю. Если максимальные степе-

ни бесконечных чисел в числителе и знаменателе дроби равны, то все

выражение равно отношению коэффициентов при бесконечных вели-

чинах.

- Конечное значение оригинала (при t = ∞) для устойчивых сис-

тем (также вычисляется со знаком равенства, а не соответствия)

)(lim)(lim

sXstx





Пример: 3

)1(

)(;

)1(

)(

















sss

sF .

Таблица соответствия оригиналов и изображений приведена в

приложении А.

1.2.3 Передаточная функция

Операторная передаточная функция W(s) является основной

формой описания систем в операторной области по методу один вход-

один выход.

Она может быть получена:

- по структурной схеме путем эквивалентных преобразований;

- по дифференциальному уравнению – заменяя операцию диф-

ференцирования переменной s, функции времени их изображениями

по Лапласу и считая начальные условия нулевыми, получаем из ОДУ

+ a

n-1

+ ... + a

) Y(s) = (b

+ b

m-1

+ ... + b

) X(s),

)(

...

)(

asasa

bsbsb









Отношение изображений по Лапласу выходной величины к

входной при нулевых начальных условиях называется передаточной

функцией.

Для реальных систем m ≤ n (условие физической реализуемо-

сти), поэтому ПФ обычно представляет собой правильную рациональ-

ную дробь. Степень полинома знаменателя передаточной функции

определяет порядок системы. Функция 1/D(s) называется системной.

Корни характеристического уравнения

D(s) = a

+ a

n-1

+ ... + a

= 0

характеризуют собственные свойства системы и дают решение одно-

родного ОДУ (без правой части), т. е. описывают свободное движение

автономной системы.

С точностью до коэффициента b

ПФ может быть выражена

корнями полиномов числителя (нулями z) и полинома знаменателя

(полюсами p)

))...()((

)(

n21

m21

pspsps

zszszs







На комплексной плоскости нули обозначают кружком, а полюса

– косым крестом.

Поскольку и числитель, и знаменатель представляют собой ал-

гебраические многочлены с действительными коэффициентами, ком-

плексные корни могут быть только сопряженными, т. е. образовывать

пары с положительной и отрицательной мнимыми частями. Число

корней равно степени многочлена.

Как правило, ПФ приводят к стандартному виду (нормируют),

приравнивая к единице старший коэффициент при s, либо свободный

член полиномов.

Нормирование по старшему коэффициенту вида

)(

...

)(









обычно применяется при работе с корнями или при переходе к описа-

нию системы в пространстве состояний.

Нормирование по свободному члену вида

)(

...

)(









используется при работе с типовыми динамическими звеньями.

Число перед дробью (общий множитель) называется коэффици-

ентом передачи в общем случае и коэффициентом усиления (Gain),

если параметры входа/выхода безразмерны или имеют одинаковую

размерность.

и k в общем случае не равны. Коэффициент k = b

обозначаемый также k

уст

или k(∞), называется коэффициентом усиле-

ния системы в установившемся режиме.

Из W(s) = Y(s)/X(s) следует Y(s) = X(s)∙W(s). Иначе говоря, изо-

бражение реакции системы на любое воздействие, имеющее изобра-

жение по Лапласу, может быть определено как произведение послед-

него на передаточную функцию системы.

Пример: определить передаточную функцию объекта регулиро-

вания, модель которого задана дифференциальным уравнением

1.1 2.2 3.1 4.2 1.34

y y y y x x

    

   

Сопоставляя производным соответствующую степень s, отбра-

сывая символы функций x и y и деля многочлен правой части диффе-

ренциального уравнения на многочлен левой части, получаем ПФ

3 2

1.34 1

( )

1.1 2.2 3.1 4.2

W s

s s s





  

Пример: при единичном скачке 1(t) на входе реакция звена опи-

сывается функцией 2(1 – e

–3t

)×1(t). Найти передаточную функцию зве-

на.

Преобразуем по Лапласу входной и выходной сигналы, пользу-

ясь таблицей соответствия оригиналов и изображений (приложение

А). Изображение входного воздействия равно X(s) = 1/s, изображение

реакции звена после приведения к общему знаменателю





2 3

1 1 6

( ) 2

3 ( 3) ( 3)

s s

Y s

s s s s s s

 

 

   

 

  

 

Здесь единичный скачок не учитываем, хотя он и имеется в исходной

функции, так как это просто указание на то, что сигнал на выходе поя-

вился скачком. Такое указание может и отсутствовать.

Делим изображение реакции на изображение входного воздей-

ствия и получаем передаточную функцию звена

( ) 6

( 3)

( )

( ) 3

Y s

s s

W s

X s s



  



1.2.4 Структурные преобразования

Общая функция преобразования системой входных величин в

выходные (передаточная функция) зависит от состава образующих

систему элементов и характера связей между ними.

Для анализа или синтеза систему представляют структурной

схемой, состоящей из звеньев, ветвей, узлов и сумматоров. Звено или

блок обычно изображается прямоугольником, имеющим слева вход,

справа выход с указанием функции преобразования внутри прямо-

угольника. Функция передачи может указываться в общем виде W

, k

или в виде некоторой зависимости, например, k/(Ts+1).

Ветвь (связь) представляется линией со стрелкой в конце, ото-

бражающей направление движения сигнала. Узлы соответствуют мес-

ту разветвления сигнала, обозначаются на графической схеме точкой с

диаметром 1,5-2 мм. Сумматоры (элементы сравнения) представляют

собой места схождения сигналов.

Они обозначаются либо пустым

кружком среднего размера (крупнее уз-

ла), либо крупным кружком, перечерк-

нутым крест накрест прямыми линиями.

Сумматор, как правило, имеет не более трех входов, один выход

и коэффициент передачи k = 1. Все входы сумматора независимы друг

от друга. Если на входе сумматора производится изменение знака

сигнала (инвертирование), т. е. по этому входу коэффициент суммато-

ра равен минус единице, вход называется инвертирующим, а сумма-

тор – элементом сравнения. Такой вход сумматора обозначается ми-

нусом для изображения в виде пустого кружка, и затушеванным сек-

тором для обозначения в виде крупного кружка.

Как правило, при известных функциях передачи отдельных

звеньев требуется найти эквивалентную передаточную функцию (ПФ)

группы звеньев (объекта, регулятора), либо всей системы в целом с

помощью следующих правил структурных преобразований.

Эквивалентная передаточная функция любого количества по-

следовательно соединенных звеньев равна произведению ПФ этих

звеньев W=W

∙W

. Перестановка последовательно включенных по пу-

ти сигнала звеньев не влияет на результат, т. е. W

= W

Эквивалентная передаточная функция любого количества па-

раллельно соединенных звеньев равна сумме ПФ этих звеньев с уче-

том знака входа сумматора на пути сигнала W=W

± W

Третий вид соединения – соединение с обратной связью (встреч-

но-параллельное). Вначале введем несколько необходимых определе-

ний. Путь – непрерывная последовательность направленных звеньев,

в которой ни одно звено не встречается дважды. Путь от входа к вы-

ходу системы называется прямой связью, от выхода ко входу – обрат-

ной связью. Если сигнал на пути меняет знак и вычитается из входно-

го сигнала (обычно на инвертирующем входе сумматора), обратная

связь называется отрицательной (ООС), если не меняет знак – поло-

жительной (ПОС). Замкнутый путь называется контуром, например,

замкнутый контур обратной связи (ЗКОС).

Эквивалентная передаточная функция соединения с обратной

связью равна дроби, в числителе которой записана ПФ звена на пря-

мом пути, а в знаменателе – единица минус произведение ПФ звеньев

по замкнутому контуру обратной связи.

Соединение

Преобразуется в

Передаточная функция

WW1













Особенности соединения с обратной связью:

- если в системе есть хоть одна обратная связь, передаточная

функция будет всегда представлять собой дробь;

- знак перед произведением ПФ звеньев в знаменателе обычно

противоположен знаку обратной связи.

Величина



 



называется определителем ЗКОС.

Для систем с перекрещивающимися (мостиковыми) связями

применяют правило переноса: в переносимую ветвь вводят фиктивное

звено с передаточной функцией, равной ПФ потерянного, либо обрат-

ной ПФ появившегося при переносе элемента.

Правило Мейсона рассматривает систему как ориентированный

граф и позволяет описать ее всю сразу, без преобразований по отдель-

ным фрагментам. Недостаток – отсутствие каких-либо признаков, ука-

зывающих на допущенную ошибку, пропущенный путь или контур.

Следует внимательно относиться к ветвям, которые заходят извне в

контур ОС, т.к. они могут образовывать неявные прямые пути по це-

пям обратных связей. Упрощенно правило выглядит так.

Передаточная функция многоконтурной системы образует

дробь, числитель которой равен сумме произведений передаточных

функций прямых путей на совокупные определители ЗКОС, не ка-

сающихся этих путей, а знаменатель – единица минус сумма произве-

дений определителей несоприкасающихся ЗКОС и передаточных

функций общих ЗКОС.

Рассмотрим вычисление ПФ с одним входом r и двумя выхода-

ми e, y (рисунок 1.3) по Мейсону. При числе передаточных функций

более одной их помечают подстрочными индексами, указывая первым

обозначение (индекс) выхода, а вторым – обозначение (индекс) входа.

Рисунок 1.3

Соответственно, найдем две передаточные функции для выхо-

дов y и e относительно входа r. Первая передаточная функция равна

2121

WWWW1

W1W1









))((

Оба ЗКОС касаются прямого пути, поэтому полином числителя

передаточной функции содержит лишь произведение ПФ звеньев на

прямом пути от входа к выходу. Однако контуры обратной связи не

касаются друг друга, т. е. являются независимыми. Поэтому в знаме-

нателе сначала описывается один контур обратной связи (и все со-

пряженные лишь с ним, если бы таковые имелись), а затем этот опре-

делитель умножается на определитель ЗКОС, не соприкасающегося с

ним (и сцепленные с этим контуром ЗКОС, если бы таковые имелись).

Единица в числителе второй ПФ соответствует передаточной

функции сумматора, через который проходит сигнал на пути от входа

r к выходу e. Она умножается на определитель замкнутого контура

обратной связи со звеном W

, не касающегося прямого пути от r к e.

2121

WWWW1

W1W1

W11















))((

)(

Не стоит сокращать одинаковые сомножители в числителе и

знаменателе передаточной функции системы, так как при этом:

- снижается порядок описывающей ее модели, т. е. из поля зре-

ния выпадают реально существующие в ней звенья, которые могут

влиять на поведение системы, например, ее устойчивость. (Не следует

путать с обязательным сокращением знаменателей сложных дробей

при промежуточных преобразованиях).

- неверно определяется реакция системы на ненулевые началь-

ные условия. Поэтому обычно и раскрывают все скобки в числителе и

знаменателе ПФ, получая многочлены.

В конце преобразований желательно проверить порядок систе-

мы, который приближенно можно оценить как сумму порядков со-

ставляющих схему звеньев (блоков).

Если анализируется принципиальная электрическая схема, пе-

редаточная функция составляется с учетом известных закономерно-

стей работы таких схем. Для индуктивных элементов (катушек, дрос-

селей) операторное реактивное сопротивление равно X

= L×s, для ем-

костных элементов X

= 1/(C×s), где L – индуктивность (Генри), С –

емкость (Фарад), s – комплексная переменная Лапласа.

В схемах с операционными усилителями учитывают, что инвер-

тирующий вход изменяет знак (полярность) проходящего сигнала. Ко-

эффициент усиления каскада на таком усилителе равен отношению

эквивалентного сопротивления в цепи обратной связи к эквивалент-

ному сопротивлению на входе усилителя.

По передаточной функции объекта можно записать дифферен-

циальное уравнение, предполагая, что сокращение одинаковых нулей

и полюсов не производилось. По изображению некоторого сигнала

можно записать его оригинал.

Пример: определить ПФ схемы (рисунок 1.4).

Схема представляет собой делитель напряжения с коэффициен-

том (R + X

)/(X

+ R + X

), поэтому передаточная функция равна (здесь

Т – это постоянные времени)

2 2

2 1

( )

1 1

L C

R X T s

RCs

W s

X R X LCs RCs T s T s

Ls R



 



   

     

 

Рисунок 1.4

Рисунок 1.5

Пример: определить передаточную функцию схемы (рисунок

1.5). Эквивалентное операторное сопротивление в цепи отрицатель-

ной обратной связи равно сумме

CsR

ОС





в итоге передаточная функция схемы на инвертирующем операцион-

ном усилителе будет равна

CsR

)(













Пример: составить структурную схему по дифференциальному

уравнению объекта

(3) (2) (1) (2) (1)

2 4 3 5 2 3

y y y y u u u

     

. Прежде

всего уравнение нормируют (делят все коэффициенты на коэффици-

ент a

при старшей производной левой части), получим

(3) (2) (1) (2) (1)

2 1,5 2,5 1,5 0,5

y y y y u u u

     

Затем составляют структурную схему, используя блоки интег-

рирования (т. е. деления на переменную Лапласа s), их число равно

порядку системы n (в данном случае трём). С выхода каждого инте-

гратора организуют обратные связи к общему (входному) сумматору с

инвертирующим входом, начиная с коэффициента a

при n-1 произ-

водной. С выхода интеграторов организуют связи с коэффициентами

из правой части ОДУ к выходному сумматору объекта (если произ-

водные здесь отсутствуют, то выходной сумматор не нужен, а блок с

коэффициентом b можно поместить и на выходе, и на входе системы,

до главного сумматора). Полученная схема показана на рисунке 1.6.

Рисунок 1.6

Пример: определить порядок объекта, записать его дифферен-

циальное уравнение по передаточной функции

3 2

2 3 1

( )

2 4 3 5

s s

W s

s s s

 



  

Порядок объекта равен трем. Обозначив в соответствии с ин-

дексами передаточной функции выходную величину y(t), входную ве-

личину u(t), заменяем комплексную переменную Лапласа производ-

ной по времени соответствующего порядка

(3) (2) (1) ( 2) (1)

2 4 3 5 2 3

y y y y u u u

     

Обратная связь (ОС), охватывающая всю систему, называется

главной, остальные – местными (вспомогательными). Главная ОС

обеспечивает контроль результатов регулирования, местные изменяют

свойства системы в целом или ее отдельных элементов (регулятора).

Система, имеющая главную ОС, называется замкнутой, не

имеющая – разомкнутой. ОС, не создающая задержку или опережение

сигнала во времени, называется жесткой (ЖОС), создающая их – гиб-

кой (ГОС). ГОС проявляется только в переходном режиме и характе-

ризуется присутствием s в передаточной функции ОС, причем первая

степень s в числителе обеспечивает обратную связь по скорости изме-

нения выходной величины, вторая s

– по ускорению. Обратная связь

может создаваться специально или образовываться непроизвольно

(например, паразитная связь через емкость монтажа, через акустиче-

скую колонку и микрофон, обращенные друг к другу).

Структурные схемы СУ обычно приводят к одноконтурному ви-

ду, собирая отдельные элементы в укрупненные блоки: регулятор,

объект регулирования и датчик в цепи обратной связи (рисунок 1.7).

Если датчик (элемент, преобразующий выходную величину в стан-

дартный сигнал, пригодный для сравнения с заданием) включен в со-

став регулятора или объекта, система охватывается единичной ОС,

при этом передаточная функция, обратная ПФ датчика, включается в

состав задающего устройства. Помимо возмущений, прикладываемых

обычно на входе ОУ, иногда учитывают шумы (ошибки измерения) на

выходе объекта.

Рисунок 1.7

Величины ε(t) (ошибка регулирования) и δ(t) (отклонение регу-

лируемой величины от заданного значения) численно абсолютно

идентичны, но отличаются по смыслу. Обозначение ε употребляют