Бороденко В.А. Исследование систем управления в среде MATLAB

Подождите немного. Документ загружается.

Для правильного отсчета фазовых углов АФЧХ должна строить-

ся в равномерном масштабе по всем осям. Вид ЛАХ не изменяется,

ЛФХ с ростом частоты все сильнее отклоняется вниз (рисунок 1.37, б)

и пересекает линию -180° при меньшей частоте, система может стать

неустойчивой.

Отсюда вытекает, что системы с запаздыванием имеют меньшие

запасы устойчивости при одинаковых параметрах основной части

(s). Даже в системах первого порядка типа инерционного звена, за-

ведомо устойчивых при положительных значениях k и Т, при добав-

лении запаздывания переходный процесс из монотонного преобразу-

ется в колебательный и возникают предпосылки неустойчивой рабо-

ты, усиливающиеся с ростом τ. В то же время оценка устойчивости

систем с запаздыванием сложнее, чем у обычных систем.

Характеристическое уравнение САР с запаздыванием является

не алгебраическим, а трансцендентальным, поскольку его свободный

член содержит оператор сдвига





. Хотя такое уравнение содержит

бесконечное множество корней, их отрицательная действительная

часть по-прежнему является обязательным условием устойчивости

системы.

Положительность коэффициентов уравнения не является здесь

достаточным для устойчивости систем первого и второго порядка, а

прямое использование критериев Гурвица и Рауса невозможно. При-

меняют замену оператора сдвига разложением в ряд Паде заданного

порядка m для приведения к обычному полиномиальному виду, на-

пример

...

















12s6s







однако это увеличивает общий порядок системы на величину порядка

разложения в ряд Паде.

Критерий Михайлова и D-разбиение применимы для замкнутой

системы в обычных формулировках, однако вид кривых отличается от

стандартных из-за наличия колебательных по параметру τ составляю-

щих. Так, система со знаменателем ПФ

kesTssD

)(





 после за-

мыкания при оценке устойчивости по Михайлову имеет характери-

стическую функцию

)sin(cos)sin(cos)(



 jTkjkjTjD

Из-за колебательного характера кривых небольшое изменение

параметров системы чревато потерей устойчивости. Критическое за-

паздывание может быть определено по критерию Найквиста. Графоа-

налитический метод – для системы без запаздывания W

(s) строим

АФЧХ, находим величину запаса устойчивости по фазе φ

и значение

соответствующей ему частоты ω

, откуда и определяется запас по за-

паздыванию

mmmm

срадрад



/)()/(/)(  , где ψ – угол, допол-

няющий φ

до 180°,

)]

(

)

(

[Im





arctg



. По аналитиче-

скому методу критическое запаздывание определяется из условия

А(ω) = 1. Пусть )/()( 1TsksW





, тогда условие А

(ω) = 1 имеет вид

11Tk





, откуда T1k





. Учитывая, что )(

Tarctg







получим

karctgTarctg

кр

















)1()(













Если элемент запаздывания находится в цепи местной обратной

связи, его влияние может быть иным, в частности, даже улучшать об-

щую устойчивость системы.

1.7 Многомерные системы регулирования

1.7.1 Переход к пространству состояний

Многомерной называется система (объект), имеющая более од-

ного управляемого входа (наблюдаемого выхода).

Переменные состояния образуют минимальный набор незави-

симых переменных, достаточный для полного описания состояния

системы в любой момент времени. Их число равно порядку системы и

наоборот. Переменные состояния соответствуют:

- фактически контролируемым параметрам (реально сущест-

вующим выходам системы) – в этом случае они назначаются единст-

венным образом. Примером служат ток в катушке индуктивности и

напряжение на конденсаторе RLC-контура – объекта второго порядка;

- абстрактным математическим величинам, тогда они назнача-

ются произвольным образом и разными способами.

При описании системы переменными состояния дифферен-

циальному уравнению n-го порядка a

(n)

+ a

(n-1)

+ … + a

y = b

u со-

ответствует система n дифференциальных уравнений первого порядка

в нормальной форме Коши, разрешенных относительно производной.

Для перехода от ОДУ по методу фазовых переменных за первую

переменную состояния принимают выходную величину, за остальные

переменные состояния принимают n–1 производную выходной вели-

чины. Обязательно сначала нужно нормировать дифференциальное

уравнение, т. е. делить обе части уравнения на коэффициент а

≠ 1 при

старшей производной выходной функции (на старший коэффициент

многочлена знаменателя передаточной функции).

Если порядок m ≠ 0 многочлена числителя ПФ меньше порядка

n многочлена знаменателя, общий коэффициент ПФ (коэффициент

перед правой частью ОДУ) записывается в уравнение для старшей пе-

ременной состояния, а коэффициенты многочлена числителя – в об-

ратном порядке в уравнение выхода.

По системе уравнений составляется матрица состояния А (из ко-

эффициентов при х) и матрица входа В (из коэффициентов при вход-

ном воздействии u), по уравнению выхода составляется матрица вы-

хода С (из коэффициентов при х). При m = n, т.е. одинаковых степенях

полиномов числителя и знаменателя ПФ, появляется ненулевая мат-

рица обхода d, которая содержит коэффициенты при входных воздей-

ствиях в уравнении выхода. Соответственно вид системы уравнений









   

















)()()(

tDtCt

tBtAt

uxy

uxx



Если m < n, то матрица D нулевая и ее допускается не писать.

Сопровождающая матрица А (матрица Фробениуса) может быть

записана прямо по ОДУ (по характеристическому полиному системы)

1 2

0 0 0 0

0 1 0 ... 0

0 0 1 ... 0

... ...

0 0 0 ... 1

...

n n n

a a a

a a a a

 

 

 



 

   

 

 

По уравнениям состояния или матрицам A, b, c указанного вида

легко восстановить ПФ или ОДУ, учитывая, что в последней строке

сопровождающей матрицы А записаны с конца, с обратным знаком

коэффициенты нормированного характеристического многочлена, а в

матрице c – коэффициенты многочлена числителя передаточной

функции в обратном порядке.

Пример: дифференциальное уравнение ОУ

5 7 10

y y y u

  

 

. Вы-

бираем переменные состояния

;

x y



2 1

x y x

 

 

. В нормировании

нет необходимости. Записываем для каждой из переменных состояния

дифференциальное уравнение первого порядка, добавляем общее ал-

гебраическое уравнение выхода

y = x

Пример: пусть модель ОУ имеет вид

2 5 7 10 6

y y y u u

   

  

, тогда

после нормирования (деления на 2), считая общий коэффициент перед

правой частью уравнения равным единице, получим описание систе-

мы в пространстве состояний матрицами

 

0 1 0

; ; 3 5

3,5 2,5 1

   

  

   

 

   

A b c

Стандартные формы описания систем в пространстве состояний

с сопровождающей матрицей А называются каноническими. Это ка-

ноническая управляемая форма (с упрощенной матрицей b) и канони-

ческая наблюдаемая форма (с упрощенной матрицей с).

Пусть

0 1 1

1 1

...

( )

...

m m

n n

b s b s b b

W s

s a s a a



   



   

, m = n, тогда вычисления

для перехода к канонической управляемой форме имеют вид

d = b

; c

= b

- a

∙d; c

= b

m-1

– a

n-1

∙d … и т. п.

При d = b

= 0 (m<n) в матрицу с просто записываются коэффи-

циенты числителя передаточной функции, начиная со свободного

члена.

Другой способ перехода к канонической управляемой форме:

нужно разделить числитель ПФ на ее знаменатель, получившееся от-

дельно стоящее слагаемое (частное) поместить в матрицу d, а коэф-

фициенты числителя полученной рациональной дроби (остатка) запи-

сать в матрицу с как обычно, начиная со свободного члена.

Порядок расчета элементов матриц b и d для перехода к кано-

нической наблюдаемой форме (в этом случае элементы матрицы b не-

обходимо вычислять даже при нулевой матрице d, т. е. при m<n).

Пусть

asas

ksksk







...

)(

, m = n, тогда

D = k

= b

= k

– b

= k

– b

= k

– b

…

К стандартным формам относится также описание с диагональ-

ной (модальной) матрицей А, когда по главной диагонали матрицы

записывают её собственные значения (корни характеристического

уравнения). К описанию с диагональной матрицей А переходят путем

разложения исходного выражения на простые дроби.

Если матрица А не сопровождающая, а произвольного вида, ее

характеристический многочлен нужно вычислять как определитель

( )D s s

 

1 A

, где s – комплексная переменная Лапласа, 1 – единичная

матрица.

Корни характеристического уравнения ( )D s s

 

1 A

= 0 являют-

ся собственными значениями матрицы А. Матрицы подобны, если

имеют одинаковые собственные значения (характеристические мно-

гочлены и их корни).

Многомерная система устойчива, если все собственные значе-

ния матрицы состояний А имеют отрицательную действительную

часть, иначе – все корни характеристического полинома являются ле-

выми. Вычислив характеристическое уравнение системы 0s  A1 ,

можно оценить ее устойчивость любым из известных способов.

Пример: передаточная функция объекта

1s2s3





)( .

Каноническое управляемое представление (нормирование по a

не требуется, матрица b имеет стандартный вид, всегда одинаковый)

   

348

































;

где

d = b

= 3,

= b

– a

d = 1 – 9 = -8,

= b

– a

d = 2 – 6 = -4.

Пример: по уравнению y

(3)

+ 2y

(2)

+ 3y

(1)

+ 4y = 5u

(1)

+ 6u соста-

вим каноническую наблюдаемую форму. Нормирование по старшему

коэффициенту знаменателя при s

не требуется, так как он уже равен

единице, многочлен числителя ПФ дополняем коэффициентами до

той же степени, что и многочлен знаменателя

6s5s0s0



)( ,

44030256b

530025b

0020b













матрица d нулевая, поскольку m < n, и окончательно (матрица с имеет

стандартный вид, всегда одинаковый)

   

0;001 ;

;

234

100

010

































 dcbA

Пример: перейти к переменным состояния разложением на про-

стые дроби заданной передаточной функции

5,0

)(











sW .

Коэффициенты на главной диагонали матрицы А равны её соб-

ственным значениям (полюсам системы) s

= -1, s

= -3; структурная

схема соответствует рисунку 1.38. Матрицы b и с включены последо-

вательно, поэтому, если вычеты 0,5 и 0,5 вписаны в матрицу b (как

показано), то в матрицу с записываются единицы, и наоборот.

5,03

5,0

xxy

uxx













или

   

uxx



































5,0



Рисунок 1.38

Пример: оценить устойчивость системы, проверить подобие

матрицы А и матрицы АА

Система

 

0 1 0

; ; 1 0

5 6 1

   

  

   

 

   

A b c

, матрица

5 0

0 1



 



 



 

Характеристическая матрица

0 0 1 1

( )

0 5 6 5 6

s s

 

     

   

     



     

1 A

Характеристический многочлен (определитель характеристиче-

ской матрицы)

( ) ( 6) 5 6 5

det s s s s s

      

1 A . По критерию Гурвица

система устойчива, т. к. все коэффициенты характеристического мно-

гочлена положительны.

Характеристический многочлен матрицы

5 0

0 1



 



 



 

равен

5 0

6 5

0 1

s s s



    



1 AA

. Матрицы А и АА подобны, поскольку

равны их характеристические многочлены.

1.7.2 Описание по структурной схеме

На структурной схеме переменные состояния могут быть назна-

чены разным образом, поэтому и описания системы в пространстве

состояний будут отличаться. Все матрицы имеют нестандартный вид.

Однако переменная всегда назначается на выходе блока с s в знамена-

теле, а ОДУ первого порядка для каждого такого блока записывают в

зависимости от вида знаменателя:

- звено с нулевым корнем в знаменателе (рисунок 1.39, а)

kxdtdx



или

kxx





;

- звено с действительным корнем, две формы (рисунок 1.39, б)

xkx





или

121

xkxx







;

 

121

xkx

x 



Правая часть после нормирования равна произведению входа на

числитель минус произведение выхода на коэффициент знаменателя.

Звено c комплексными сопряженными корнями (рисунок 1.39,

в), не разлагается на два простых, поэтому вводят условно перемен-

ную состояния с промежуточным индексом и составляют два уравне-

ния

 

1223

221

xxTkx

xxx 



;

а б в

Рисунок 1.39

Обычно звенья без s (только коэффициент усиления) и с s в чис-

лителе совмещают с соседними. Любой блок порядка n>1 может быть

описан с использованием канонической наблюдаемой формы без его

разложения на простые звенья. В особенности это важно, если блок

имеет нули, т.е. порядок многочлена числителя его передаточной

функции не ниже единицы.

112

T1sTTs

Tks0s0

)(



 →































1121

TTT1

;

bA .

Умножая матрицу А на вектор













и вектор b на вход x

, полу-

чаем систему уравнений, которую затем совмещаем с уравнениями

оставшейся части структурной схемы.

Поскольку в пространстве состояний не могут быть отдельно

описаны дифференцирующие и форсирующие звенья с m > n, то, по-

лучив в правой части уравнения дополнительную производную с ин-

дексом, меньшим текущего номера уравнения, ее пробуют выразить

через значение, полученное ранее, в предыдущих дифференциальных

уравнениях. Обычно это имеет место при обратных связях через s.

Пример: описать систему (рисунок 1.40, а)

а б

Рисунок 1.40

Сначала рассматриваем сложный блок с переменной s в числи-

теле, учитывая, что вектор с для него составлен единственной едини-

цей и в вычислениях не нуждается, а переменная состояния на выходе

блока имеет индекс 2:

1012

101







→































































Затем описываем всю систему, включая в нее этот блок

































132

323

322

14114

11 0

xuxx

xux

xxx





;

xy 

и окончательно

   

uxx



































001

141

101

030



Пример: составляя уравнения состояния для случая, когда в це-

пи обратной связи есть звено дифференцирования с s (рисунок 1.40, б)

учитываем, что умножение на s в операторной области соответствует

взятию производной во временной области.

uxxx

xxxxxxxxxxx

xxx











313

32132123122

211

3322







Поскольку в правой части уравнений производных быть не

должно, вместо производной подставляется ее значение, вычисленное

ранее. Окончательно

   

0001

101

113

013

































 dcbA ; ;;

1.7.3 Синтез структурной схемы

Независимо от реальной конструкции, система в пространстве

состояний может быть представлена набором интеграторов (звеньев

1/s, осуществляющих операцию интегрирования входной величины по

времени), сумматоров и блоков, воспроизводящих коэффициенты

усиления в собственных и перекрестных связях.

Пример: перейдем от матриц A, b, c, d

 

]0[ ;011 ;

;

331

100

011

































 dcbA

к структурной схеме (рисунок 1.41), для чего выбираем число звеньев

(равно порядку матрицы А), определяем корни знаменателей ПФ по

диагональным элементам матрицы А (s = -1 у блока с переменной х

на выходе и s = -3 у блока с переменной х

), находим коэффициенты

прямых связей – числители ПФ блоков между х

и х

, между х

и х

(оба числителя равны 1). В схеме имеются две отрицательные обрат-

ные связи: единичная ООС от х

к х

и с коэффициентом 3 от х

к х

На входе системы находится блок с коэффициентом 2, выход y связан

с системой через коэффициенты 1 матрицы с.

Рисунок 1.41

Пример: построить структурную схему объекта, заданного сис-

темой дифференциальных уравнений

1 1 2

2 1 2

1 2

3 5 7

x x x

x x x u

y x x



  







   





 



Порядок объекта равен двум, используем два интегратора с

сумматором на входе каждого. Назначаем переменные на выходах ин-

теграторов, двигаясь от выхода схемы ко входу, значения всех произ-

водных формируются на входе интеграторов. Проводим связи на вхо-

ды сумматоров в соответствии с видом уравнений. Например, произ-

водная



образуется на входе последнего интегратора суммировани-

ем выходной переменной х

(с минусом) и переменной х

, взятой с ко-

эффициентом 2 (смотри первую строку системы дифференциальных

уравнений). Сумматор на выходе необходим для образования выход-

ной величины из переменных состояния, взятых с соответствующими

коэффициентами y = x

+ x

(рисунок 1.42).

Рисунок 1.42

Пример: построить структурную схему объекта по дифференци-

альному уравнению

7 3 2

y y y y u

  

   

Поскольку порядок системы равен трем, используем три инте-

гратора 1/s, включив их последовательно и установив сумматор на

входе первого интегратора слева. К инвертирующему входу этого