Бороденко В.А. Исследование систем управления в среде MATLAB

Подождите немного. Документ загружается.

- от коэффициента передачи по каналу ошибки от задания или

возмущения – пропорционально;

- от общего коэффициента усиления системы k

= k

∙k

– обратно

пропорционально.

Относительная величина установившейся ошибки называется

коэффициентом статизма (статизмом) системы по соответствующему

каналу.









)(



– статизм от задания,









)(



– статизм от возмущения.

Ошибку регулирования и статизм можно уменьшить, увеличи-

вая общий коэффициент усиления системы.

По заданной величине статизма (относительной статической

ошибки) системы можно выбрать требуемый коэффициент усиления.

Пример: пусть допустимая ошибка не должна превышать зна-

чения ε(∞) = 2% или ε(∞) = 0,02, тогда коэффициент усиления не мо-

жет быть менее

020

0201

020











, .

Изменим при тех же условиях порядок астатизма ν = 1, для чего

введем в состав регулятора (рисунок 1.35, а) звено с нулевым корнем в

знаменателе (интегратор), и рассчитаем значение установившейся

ошибки по заданию и от возмущения, как конечное значение оригина-

ла.

а б

Рисунок 1.35







)(



;

0sc









)(













)(



;











)(



r(t)

ε(t)

u(t)

f(t)

y(t)

r(t)

ε(t)

u(t)

f(t)

y(t)

Увеличение астатизма разомкнутой системы при том же воздей-

ствии привело к исключению статической ошибки.

Введем теперь интегратор в ПФ объекта (рисунок 1.35, б).



)(



; осталось







)(







)(



, изменилось 0





)(



Следовательно, статическую ошибку устраняют только интегра-

торы, размещенные вне цепи прямой связи сигнала ошибки.

Если, выделив нулевые корни, записать ПФ системы в виде

W(s) = W

(s)/s

, а входное воздействие в виде R(s) = M(s)/s

, то при

r < ν+1 получим ε

(∞)=0; при r = ν+1 получим ε

(∞)=const; и, нако-

нец, при r > ν+1 получим ε

(∞)= f(t).

1.5.7 Коэффициенты ошибок

Установившийся динамический режим имеет место при возму-

щенном движении системы с момента затухания свободной состав-

ляющей переходного процесса. Считая, что входное воздействие ап-

проксимируется полиномом от t, т. е.разлагается в степенной ряд

)(

...)( t1

AtAAtr

210















 ,

для расчета вынужденной составляющей ошибки используют метод

коэффициентов ошибок.

По этому методу передаточную функцию ошибки представляют

в виде аналогичного ряда

0 1 2

( ) ...

W s C C s C s C s



    

, где С

– ко-

эффициент статической ошибки (позиционной), С

– коэффициент

ошибки по скорости, С

– коэффициент ошибки по ускорению.

Сравнивая две формы записи передаточной функции ошибки,

находим значения коэффициентов ошибок (в обоих случаях полиномы

начинаются со свободного члена)

210

01nn

01mm

sCsCSCC

sasaa

sbsbb

sW 







...

)(



→ b

→

C  ,

Нормирование

→ →

 

01n1m

Cab



 ,

→ →

 

11n02n2m

CaCab



 и т.д.

Пример: найдем три первых коэффициента ошибок для системы

(записываем ПФ ошибки наоборот и нормируем по свободному чле-

ну)

231

230

)(

sssk

sss

ksss

sss

















 ,

011

 )(

1k3

1033



 )(

Вынужденная составляющая ошибки равна

)()()()( trCtrCtrCt

210r













Пусть задающее воздействие равно 2atvtrr

/ , тогда для

данной системы производные











и установившаяся ди-

намическая ошибка при С

= 0 имеет вид a

1k3

atv



 )()(



Обычно вычисляют три первых коэффициента ошибок. Общий

коэффициент усиления разомкнутой цепи k (добротность) находится в

знаменателе всех выражений, обуславливает уменьшение всех видов

ошибок и является главным фактором повышения точности замкнутой

системы автоматического регулирования.

Коэффициенты передачи составляющих воздействия определя-

ются по ПФ разомкнутой системы и называются:

ст

K  – позиционная добротность;

a K





 

– добротность по скорости;

0, 0,

n n

a a K





  

– добротность по ускорению.

Так, для указанной системы W

раз

(s) = k/(2s

+ 3s

+ s), откуда

добротность по скорости K

= k/1 = k.

1.6 Синтез систем автоматического регулирования

1.6.1 Типовые динамические звенья

Для составления структурной схемы реальные элементы заме-

няются типовыми звеньями, характеризующими динамику процесса

(линейные звенья) или его статику (нелинейные звенья).

ПФ типовых звеньев нормируют по свободному члену, тогда

общий коэффициент k = b

сразу равен коэффициенту усиления в

установившемся режиме.

К типовым динамическим звеньям обычно относят: усилитель-

ное 1, интегрирующее 2, инерционное 3, звено второго порядка 4

(апериодическое, колебательное, консервативное), дифференцирую-

щее 5, форсирующее звено первого и второго порядка 6, звено чистого

запаздывания 7. В передаточной функции системы они занимают сле-

дующее место

Типовые звенья являются не только устойчивыми, но и мини-

мально-фазовыми, т. е. при одинаковых с другими звеньями АЧХ

имеют наименьшие по модулю фазовые характеристики (минималь-

ную конфигурацию годографа). В знаменателе и в числителе ПФ у

них отсутствуют корни с положительной действительной частью.

Между амплитудной и фазовой характеристиками таких звеньев име-

ется однозначное соответствие, поэтому достаточно иметь АЧХ, а

ФЧХ строится по шаблону.

Усилительное звено (пропорциональное, безинерционное) – это

звено, выходная величина которого в любой момент времени про-

порциональна входной величине. Возможно как усиление (k > 1), так

и ослабление (k < 1) сигнала. Передаточная функция W(s)=k. Примеры

реализации – делитель на резисторах, рычажная передача, сопряжен-

ная пара шестерен, инвертирующий усилитель.

Интегрирующее звено (астатическое, нейтральное) – это звено,

скорость изменения выходной величины которого пропорциональна

входной величине. Иначе – выходная величина пропорциональна ин-

1 5 2 3 6 4 6 7





sTsTsTs

ssss

ksW







)1)(1(

)(

тегралу входной величины. Передаточная функция

W(s)  или

W(s)

 .

На всех частотах интегратор создает отставание выходного сиг-

нала от входного на 90

, он является фильтром низких частот (ФНЧ).

Примеры реализации – емкость, наполняемая насосом с постоянной

производительностью, интегратор на операционных усилителях.

Инерционное звено (апериодическое звено первого порядка) –

это звено, выходная величина которого при скачке на входе стремится

к установившемуся значению по экспоненте. Передаточная функция

1Ts

W(s)



 . Является типичным фильтром низких частот (ФНЧ). При

увеличении времени исследования t>>T инерционное звено приобре-

тает свойства усилительного звена, а при уменьшении t<<T – интег-

рирующего. Примеры реализации – нагревательная печь, лампа нака-

ливания, термопара, электродвигатель, RC-делитель.

Постоянная времени T численно равна длине отрезка, отсекае-

мого на линии установившегося значения касательной, восстановлен-

ной к характеристике из начала координат. Иначе – это время дости-

жения 0,63 от установившегося значения. Время установления (за-

вершения переходного процесса) инерционного звена равно примерно

3Т (с погрешностью 5 %).

Звено второго порядка – это название нескольких звеньев, у ко-

торых вид дифференциального уравнения одинаков, конкретный тип

звена определяется характером корней квадратного трехчлена.

Апериодическое звено – это звено второго порядка, реакция ко-

торого при скачке на входе образуется двумя противопоставленными

экспонентами. Оно имеет место при выполнении условия a

≥ 4a

, т.

е. при чисто вещественных корнях характеристического уравнения

D(s)=a

s+1=0, нормированного по свободному члену. Переда-

точная функция звена

1sTsT

W(s)



 или

  

1sT1sT

W(s)



 .

Постоянная Т

– меньшая из двух постоянных времени Т

<<T

Между постоянными времени выполняются соотношения T

. Критический случай имеет место при кратных корнях T

Реализация соответствует двум последовательно соединенным

инерционным звеньям. Характерная особенность АФЧХ – модуль

вектора постоянно убывает при увеличении частоты от 0 до бесконеч-

ности. Характерная особенность ЛАЧХ – два перелома вниз на часто-

тах сопряжения с отклонением каждый раз на -20 дБ/дек.

Колебательное звено – это звено, выходная величина которого

при скачке на входе стремится к новому установившемуся значению,

совершая относительно него экспоненциально затухающие колебания.

Звено имеет место при условии 0<a

<4a

, соответствующем ком-

плексным сопряженным корням характеристического уравнения.

ПФ звена

1s2TsT

W(s)







или

 

W(s)









Здесь  – показатель затухания (демпфирования), для колеба-

тельного звена лежит в пределах 0 << 1, для апериодического звена

второго порядка   1,  = /T = 

= 1/(2T

)∙ln(a

).– действитель-

ная часть корня характеристического уравнения, 

– собственная

частота колебаний. Выброс (пик) ЛАЧХ h наблюдается на частоте со-

пряжения 



 при ξ < 0,707. ЛАЧХ имеет один перелом с ук-

лоном –40 дБ/дек. Без резонанса разница между реальной и асимпто-

тической ЛАЧХ равна минус 6 дБ, большее значение уже говорит о

наличии резонанса. Чем меньше , тем выпуклей АФЧХ, тем выше

пик ЛАЧХ, тем круче ЛФЧХ в точке резонанса.

Примеры реализации – физический маятник, защемленная бал-

ка, вибрирующий контакт, качания синхронного электродвигателя в

процессе синхронизации с источником питания и т. п.

Консервативное звено (идеальное колебательное) – это звено,

выходная величина которого при скачке на входе совершает колеба-

ния с постоянной амплитудой. Оно имеет место при условии a

= 0

( = 0), т.е. при чисто мнимых корнях характеристического уравнения.

Передаточная функция

1sT

W(s)



 или

W(s)







Примеры реализации – генератор синусоидальных колебаний.

Идеальное дифференцирующее звено – это звено, выходная ве-

личина которого пропорциональна скорости изменения входной вели-

чины. Передаточная функция ksW(s)



или

sTW(s)



Идеальное дифференцирующее звено создает опережение вы-

ходного сигнала относительно входного на 90

для всех частот и явля-

ется фильтром высокой частоты (ФВЧ). Физически такое звено не-

осуществимо (m > n), поэтому на практике используется реальное

дифференцирующее звено.

Реальное дифференцирующее звено – это совокупность инерци-

онного и идеального дифференцирующего звеньев, соединенных по-

следовательно. Передаточная функция

1Ts

W(s)



 .

Реальное интегрирующее звено соответствует последователь-

ному включению интегратора с инерционным звеном. Передаточная

функция

1)s(Ts

W(s)





Форсирующее звено первого порядка – самостоятельного значе-

ния не имеет, как и форсирующее звено второго порядка, может ис-

пользоваться только в совокупности с другим звеном при m ≤ n. У

форсирующих звеньев перелом ЛЧХ происходит вверх, а выброс кор-

ректируется вниз. Передаточная функция





1TskW(s)  .

Реализация соответствует параллельному соединению пропор-

ционального и дифференцирующего звеньев.

Запаздывающее звено (звено чистого запаздывания) – повторяет

входное воздействие на выходе без изменения масштаба или формы,

но с задержкой на время  чистого запаздывания. Передаточная функ-

ция



-s

eW(s) 

Наиболее характерный пример реализации – транспортер. За-

паздывание в системе имеет место всегда, если точки воздействия на

объект регулирования и контроля результатов воздействия разнесены

в пространстве, например, при регулировании толщины проката.

Для приведения передаточной функции звена транспортного за-

паздывания к обычному виду рациональной дроби используют разло-

жение в ряд Паде, например, разложение первого порядка



s501









1.6.2 Непрерывные регуляторы и законы регулирования

Законом регулирования называют функциональную связь между

управляющим воздействием на выходе регулятора и ошибкой регули-

рования на его входе. Назначение регулятора – свести к минимуму

(нулю) свою входную величину. Перечислим типы линейных непре-

рывных регуляторов и законы регулирования:

- П-регулятор – регулирование по отклонению действительного

значения управляемого параметра от заданного;

- И-регулятор – регулирование по интегралу отклонения по вре-

мени;

- ПД-регулятор – регулирование по отклонению и производным

отклонения по времени;

- ПИ-регулятор (изодром) – регулирование по отклонению и ин-

тегралу отклонения по времени;

- ПИД-регулятор - регулирование по отклонению, интегралу и

производным отклонения по времени.

Пропорциональный П-регулятор (статический) имеет закон ре-

гулирования u(t) = k



(t), передаточную функцию W(s) = k

и характе-

ристику регулирования (рисунок 1.36, а). Он обеспечивает самый бы-

стрый переходный процесс, но имеет статическую ошибку регулиро-

вания.

а б в г д

Рисунок 1.36

Величину 1/k

, называют статизмом или коэффициентом нерав-

номерности регулятора. Разность между максимальным и минималь-

ным установившимися значениями регулируемой величины называет-

ся абсолютной статической неравномерностью.

Интегральный И-регулятор (астатический) имеет закон регули-

рования

)(

tdu





, передаточную функцию

)(  и характе-

ристику регулирования (рисунок 1.36, б). Достоинство регулятора –

отсутствие статической ошибки, в установившемся режиме заданное

значение регулируемой величины поддерживается при любом значе-

нии возмущения. Недостаток – большое время нарастания (регулиро-

вания).

Пропорционально-интегральный ПИ-регулятор (изодром) имеет

закон регулирования dtt

tktu







)(

)()(



, передаточную функцию

sTk

иp

)(





и характеристику регулирования (рисунок 1.36, в). За

счет П-составляющей ускоряется процесс перехода к новому устано-

вившемуся состоянию, за счет И-составляющей исключается остаточ-

ная неравномерность. Регулятор реализуется параллельным соедине-

нием интегратора и усилительного звена. Постоянная времени T

на-

зывается также временем удвоения, поскольку численно равна време-

ни удвоения значения пропорциональной части.

Пропорционально-дифференциальный ПД-регулятор (или регу-

лятор с предварением) имеет ПФ

sTksW

дp





)(

, закон регулирова-

ния

Ttktu

дp

)(

)()(





, и характеристику регулирования (рисунок

1.36, г). После броска управления в момент появления возмущения ха-

рактеристика переходит на уровень, соответствующий позиционной

части с коэффициентом регулирования k

. Включение производной в

закон регулирования позволяет предвидеть изменение регулируемого

параметра, что особенно важно при резких и больших возмущениях

для объектов со значительной инерцией. Вследствие предварения

время переходного процесса и амплитуда колебаний регулируемой

величины могут быть уменьшены (это другой способ исключения

ошибки регулирования, более быстрый по сравнению с действием ин-

тегратора, но менее точный).

Регулятор реализуется параллельным соединением дифферен-

цирующего и усилительного звеньев (в виде форсирующих звеньев

первого и второго порядка). В энергетике называется регулятором

сильного действия и применяется для форсировки напряжения генера-

торов при коротком замыкании (КЗ) в энергосистеме.

Пропорционально-интегрально-дифференциальный или ПИД-

регулятор (изодром с предварением) имеет закон регулирования

Tdtt

tktu

)(

)()(











, ПФ

sTksTT

иpид

)(





и ха-

рактеристику регулирования (рисунок 1.36, д). В момент возмущения

превалирует регулирование по производной отклонения выходной ве-

личины от заданного значения, интегрирующая часть действует на

устранение ошибки в течение всего времени ее существования, но

проявляется в конце переходного процесса.

Для всех регуляторов с И-составляющей характерно то, что при

приближении ошибки (т. е. входного сигнала регулятора) к нулю вы-

ходная величина регулятора (управление) фиксируется на некотором

уровне, который может не совпадать с предшествующим уровнем

управляющего воздействия. Д-регулятор отдельно не применяют, так

как его действие приводит к неустойчивости системы, которая начи-

нает реагировать на любые помехи и колебания входной величины, не

осуществляя в то же время регулирование в установившемся режиме.

1.6.3 Системы регулирования с запаздыванием

Системы с запаздыванием имеют, по крайней мере, одно звено,

реакция на выходе которого отстает по времени от входного воздей-

ствия на постоянную величину τ. Такой объект описывается диффе-

ренциально-разностным уравнением с запаздывающим аргументом

kxtyayapyaypa

321

 )(



Здесь член )(





tya

соответствует изображению



esYa



)( .

Если входное воздействие txexx



sin , то реакция системы

имеет вид )](sin[

)(







tyeyy

. Характерными примерами

систем с запаздыванием являются системы дозирования вещества, пе-

ремещаемого по транспортеру, измерения толщины проката на рас-

стоянии от регулируемых валков, управления объектами на большом

расстоянии по радио. Рассмотрим особенности их проектирования.

Звено чистого запаздывания может находиться в цепи прямой

связи



kesWsW





)(

)()( , тогда после замыкания ПФ сис-

темы будет иметь вид Ф(s)



eskNsD

skN

sW1











)()(

)(

. Если

звено запаздывания в прямой цепи охвачено местной обратной свя-

зью, либо находится в цепи главной обратной связи, выражение ус-

ложняется, и эти случаи необходимо рассматривать отдельно.

Из комплексного коэффициента передачи разомкнутой системы





ejWjW



 )()( следует )()(



















)()(

, т. е.

наличие элемента запаздывания не изменяет амплитуду частотной ха-

рактеристики, но существенно влияет на ее фазу, причем с ростом

частоты фазовый сдвиг все более смещается к минус бесконечности.

Поэтому векторы А(ω) для всех частот поворачиваются по часовой

стрелке на угол τω и годограф W(jω) принимает спиралевидную фор-

му, асимптотически приближаясь к началу координат (рисунок 1.37,

а).

а б

Рисунок 1.37