Бороденко В.А. Исследование систем управления в среде MATLAB
Подождите немного. Документ загружается.
41
мнимая часть
...)(
3
3n1n
aaV
содержит только нечетные сте-
пени переменной ω и называется нечетной функцией.
Пример: оценить устойчивость по критерию Михайлова систе-
мы, заданной ПФ
.)(
4
s
3
s
2
s
2s
sW
23
В характеристическом уравнении D(s) = s
3
+ 2s
2
+ 3s + 4 = 0
производим замену s = j
, снижаем порядок j и группируем
D(j
) = (j
)
3
+ 2(j
)
2
+ 3j
+ 4 = 4 - 2
2
+ j
(3 –
2
).
Таблица 5
U(
)
V(
)
0
4
0
-
-
2
=1,41
0
1,41
3 =1,73
-2
0
Приравнивая поочередно четную
U(
)=4 - 2
2
и нечетную V(
)=
(3 –
2
)
функции нулю, находим частоты 1,41 и 1,73,
соответствующие пересечению кривой с
осями координат, подставляем эти частоты в
характеристическую функцию и заполняем
таблицу 5 особых частот.
Начинаясь на действительной положительной полуоси при ω=0,
график проходит последовательно против часовой стрелки n = 3 квад-
рантов комплексной плоскости, уходя в бесконечность при ω = ∞.
Система устойчива (рисунок 1.13, а). Она будет находиться на аперио-
дической границе устойчивости при a
n
= 0 и на периодической грани-
це устойчивости при a
n
= 2 + 4 = 6.
а б
Рисунок 1.13
Следствие из критерия Михайлова (вторая форма) основано на
анализе графиков четной и нечетной функций.
Система устойчива, если четная U(
) и нечетная V(
) функции
при изменении частоты от нуля до плюс бесконечности обращаются
в нуль поочередно, начиная с нечетной функции, т. е. их корни пере-
межаются. Это вытекает из условия последовательного прохождения
квадрантов. Для построения графика (рисунок 1.13, б) используется та
же таблица частот, что и в первой форме.
U(
)
jV(
)
n=3
-2 4
1.41
U(
)
V(
)
U(
),V(
)
4
1.41
0
-2
n=3
1.41
1.73
42
Очевидно, что при нарушении очередности пересечения функ-
циями оси абсцисс (частот) система неустойчива (рисунок 1.14, а).
Система находится на апериодической границе устойчивости (рису-
нок 1.14, б), если обе функции начинаются в начале координат, и на
периодической границе устойчивости (рисунок 1.14, в), если при
кривые пересекают ось частот в одной точке. В остальном диапазоне
изменения функций условия устойчивости при этом не должны нару-
шаться, число пересечений равно порядку системы n.
а б в г
Рисунок 1.14
Частота , при которой система находится на периодической
границе устойчивости, равна частоте незатухающих колебаний.
На графике с кривой Михайлова обязательно должен указывать-
ся порядок системы n, так как при его отсутствии может быть сделан
ошибочный вывод. Например, приводимый график (рисунок 1.14, г)
для системы первого порядка говорил бы о ее устойчивости, но на са-
мом деле принадлежит неустойчивой системе пятого порядка.
1.4.4 Метод D-разбиения
Метод используется при синтезе систем для определения допус-
тимых по условиям устойчивости пределов изменения некоторых па-
раметров системы – обычно коэффициента усиления k или постоян-
ной времени T регулятора.
Процесс построения в пространстве параметров системы облас-
тей с разным числом правых корней характеристического уравнения
называется D-разбиением.
Областью устойчивости D(0) называют область в пространстве
изменяемых параметров, каждой точке которой соответствуют только
левые корни характеристического уравнения. Остальные D-области
отличаются числом правых корней характеристического уравнения и
обозначаются соответственно D(1) – область с одним правым полю-
сом, D(2) – с двумя и т. д.
Граница любой D-области является отображением мнимой оси
плоскости корней, она соответствует совокупности значений парамет-
ров, при которых хотя бы один корень характеристического уравне-
ния системы находится на мнимой оси.
43
Если система в пространстве всех своих параметров не имеет
области устойчивости, она является структурно неустойчивой. На
практике используют D-разбиение по одному параметру (результатом
является отрезок на условной плоскости) и по двум параметрам (ре-
зультатом является плоскость).
В методе D-разбиения по одному параметру построения произ-
водят, изменяя значения одного параметра при постоянстве осталь-
ных. Чтобы получить плоскость, вещественный параметр искусствен-
но делают двумерным, заменяя s = j
с образованием мнимой оси, од-
нако окончательным результатом является отрезок на действительной
оси.
Подставив s = j
в характеристическое уравнение системы, раз-
решают его относительно изменяемого параметра, находят четную
(действительную) U(
) и нечетную (мнимую) V(
) функции. Изменяя
частоту
от 0 до плюс бесконечности, строят кривую D-разбиения и
ее зеркальное отображение относительно действительной оси. Двига-
ясь по кривой от точки
= -
до точки
= +
, наносят штриховку
слева от кривой. (Напомним, что кривая D-разбиения является ото-
бражением мнимой оси, а при движении по этой оси от -j
к +j
об-
ласть устойчивости на плоскости корней располагается слева).
Направление штриховки указывает на область с наибольшим
числом левых корней. При каждом переходе через кривую навстречу
штриховке один корень характеристического уравнения становится
правым, в обратном направлении – левым. Выбранную область-
претендент D(0) проверяют на устойчивость с помощью любого кри-
терия, подставив значение параметра из этой области в характеристи-
ческое уравнение. Поскольку изменяемый параметр является действи-
тельной величиной, его допустимые значения лежат на отрезке дейст-
вительной оси, заключенном внутри области устойчивости D(0).
Пример: найти методом D-разбиения критические значения ко-
эффициента усиления k системы, заданной передаточной функцией
.
,,
)(
kss120s0020
k
sW
23
Разрешаем характеристическое уравнение системы
D(s) = 0,002s
3
+ 0,12s
2
+ s + k = 0
относительно исследуемого параметра k = –0,002s
3
– 0,12s
2
– s, произ-
водим замену s = j
44
k(j
) = –( j
)
3
0,002 –( j
)
2
0,12 – j
,
снижаем порядок j и группируем k(j
) =0,12
2
– j
(1 – 0,002
2
).
Таблица 6
U(
) V(
)
0
0
0
500
60,00
0
1
0,12
-1
Определяем частоты пересечения ос-
новной кривой с осями (таблица 6):
U(
) = 0,12
2
= 0, отсюда
= 0,
V(
) = 1 – 0,002
2
= 0 и
= 500 = 22,36.
Частоту ω = 1 добавляем для удобства.
Строим основную и зеркальную кривые на комплексной плос-
кости, указывая направление возрастания частоты стрелкой на харак-
теристике (рисунок 1.15). Наносим штриховку, обозначаем области с
предполагаемым числом правых полюсов в скобках. Проверяем об-
ласть-претендент D(0) на устойчивость по критерию Гурвица при зна-
чении k = 1, выбранном на отрезке внутри области D(0) между точка-
ми 0 и 60, подставив его в характеристическое уравнение
D(s) = 0,002s
3
+ 0,12s
2
+ s + 1 = 0.
Рисунок 1.15
Так как и необходимое, и достаточное условия устойчивости по
Гурвицу при k = 1 выполняются, то система будет устойчивой при
любых значениях коэффициента усиления в интервале 0 < k < 60.
Критические значения коэффициента k
кр1
= 0; k
кр2
= 60.
D-разбиение по двум параметрам достаточно просто выполняет-
ся на ЭВМ. Для этого задают пределы и шаг изменения для каждого
параметра, подставляют очередные значения изменяемых параметров
в характеристическое уравнение и оценивают устойчивость в данной
точке пространства изменяемых параметров посредством любого из-
вестного критерия. По критерию Рауса определяется и число правых
корней, которое можно отображать на графике цифрой или цветом.
1.4.5 Критерий Найквиста
Частотный критерий Найквиста (Nyquist, 1932 г.) основан на
анализе вида АФЧХ системы регулирования (рисунок 1.16, а).
45
а б
Рисунок 1.16
Обычная формулировка критерия: система, устойчивая в ра-
зомкнутом состоянии или нейтральная, будет устойчивой в замкнутом
состоянии, если ее АФЧХ при изменении частоты от нуля до плюс
бесконечности не охватывает точку с координатами (-1, j0).
Говоря про замыкание системы, подразумевают ее замыкание
единичной ООС. АФЧХ называют также годографом Найквиста или
годографом комплексного коэффициента передачи W(j
). Отрица-
тельные, мнимые или комплексные частоты, получающиеся в резуль-
тате расчетов, при построении АФЧХ отбрасывают, и ветвь годографа
Найквиста для диапазона частот от 0 до -∞ обычно не строят.
Годограф нейтральной в разомкнутом состоянии системы с ПФ
вида W(s) = W
0
(s)/s
дополняется дугой
(-
/2) бесконечного радиуса,
начинающейся на положительной действительной полуоси. Здесь
–
степень астатизма системы (число нулевых корней в знаменателе пе-
редаточной функции), если
, то годограф Найквиста при
= 0
начинается в бесконечности (рисунок 1.16, б).
Замкнутая система находится на апериодической границе ус-
тойчивости, если при
= 0 годограф Найквиста начинается в точке
(-1, j0), и на периодической границе устойчивости, если при
0 го-
дограф проходит через точку (-1, j0).
Особая роль точки (-1, j0) заключается в том, что она:
- указывает на превращение ООС в ПОС, т. е. соответствует мо-
менту изменения знака фазы сигнала в цепи обратной связи, переходу
отставания в опережение по фазе;
- является границей между режимами усиления (k > 1) и ослаб-
ления (k < 1) сигнала. Полагая D
зам
(s) = 1 + W
раз
(s) = 0, получаем кри-
тическое значение W
раз
(s) = -1.
Критерии Гурвица, Рауса и Михайлова дают оценку устойчиво-
сти именно той системы (замкнутой или разомкнутой), характеристи-
ческое уравнение которой анализируется. Особенности критерия
Найквиста:
46
- по характеристикам разомкнутой системы судят об устойчиво-
сти системы после ее замыкания;
- для анализа используют передаточную функцию целиком, а не
только ее знаменатель;
- для анализа можно использовать не расчетную, а эксперимен-
тально полученную АФЧХ разомкнутой системы;
- можно исследовать системы с запаздыванием по имеющимся
АФЧХ, например, снятым экспериментально.
Универсальная (общая) формулировка критерия Найквиста учи-
тывает и случаи, когда разомкнутая система неустойчива.
Замкнутая система устойчива, если сумма переходов АФЧХ ра-
зомкнутой системы отрезка ]-, -1[ при увеличении частоты от нуля
до плюс бесконечности равна p/2, где p – число правых корней харак-
теристического уравнения разомкнутой системы.
Иначе: система будет устойчивой после замыкания, если АФЧХ
огибает точку (-1,j0) против часовой стрелки на угол p∙π.
Рисунок 1.17
АФЧХ, имеющую несколько пе-
ресечений с отрезком ]-, -1[, называют
АФЧХ II-го рода в отличие от простой
АФЧХ I-го рода (рисунок 1.17). Пере-
ход на интервале -∞ < Re(ω) < -1 сверху
вниз считают положительным, снизу
вверх – отрицательным.
Если АФЧХ начинается или заканчивается на критическом от-
резке ]-, -1[, исключая точки -∞ и -1, то считают, что АФЧХ совер-
шает ½ перехода. При единственном правом полюсе замкнутая систе-
ма устойчива, если АФЧХ разомкнутой системы начинается на крити-
ческом отрезке и уходит вниз, совершая ½ положительного перехода.
Особые случаи применения критерия Найквиста:
- АФЧХ с разрывами непрерывности дополняется для анализа
дугами бесконечного радиуса в соответствии с начальным направле-
нием обхода (рисунок 1.18);
а) система устойчива б) система неустойчива
Рисунок 1.18
47
- правило штриховки – для АФЧХ сложной формы (рисунок
1.19) рекомендуется нанести штриховку справа, если двигаться по
кривой от
= 0 до
=
, и замкнуть кривую в соответствии с на-
чальным направлением обхода (по или против часовой стрелки отно-
сительно начала координат). Замкнутая система устойчива, если точка
(-1, j0) не попадает в заштрихованную область.
а) неустойчива б) устойчива в) неустойчива
Рисунок 1.19
Для систем с отсутствием нулей, т. е. передаточной функцией
вида W(s) = k/D(s), проще строить не прямую, а обратную АФЧХ для
K
-1
(jω) = D(jω)/k (не нужно избавляться от мнимости в знаменателе).
При этом изменяется формулировка критерия Найквиста: для устой-
чивости в замкнутом состоянии обратная АФЧХ разомкнутой систе-
мы должна охватывать точку с координатами (-1, j0).
Пример: оценить устойчивость системы (рисунок 1.20) по Найк-
висту.
Рисунок 1.20
Решение. Поскольку необходимо
оценить устойчивость имеющейся системы,
ее предварительно следует сделать разомк-
нутой – разорвать контур обратной связи по
сумматору.
Передаточная функция разомкнутой
системы равна
;
,
)(
1
s
1
1
s
1010
sW
22
блок с коэффициентом усиления 20 стоит вне контура обратной связи
и на устойчивость системы не влияет.
В разомкнутом состоянии система находится на колебательной
границе устойчивости, характеристическое уравнение D(s)= s
2
+ 1 = 0;
корни s
1, 2
=
j1. Находим комплексный коэффициент передачи ра-
зомкнутой системы W(j
) = 1/(1 -
2
) и заполняем таблицу 7.
48
Таблица 7
Re(
) Im(
)
0 1,00 0
0 0
1,0
0
0,1 1,01 0
10,0 -0,01 0
Определяем частоты пересечения
годографа с осями координат: мнимая
часть отсутствует, приравниваем Re(
)
нулю, видно, что корни, т. е. частоты пе-
ресечения с мнимой осью, отсутствуют.
Зато имеется частота разрыва характе-
ристики: уравнение 1 -
2
= 0 дает час-
тоту разрыва
р
= 1.
В подобном случае обычно берут еще две частоты (произволь-
но) – немного меньше частоты разрыва и немного больше. Пусть это
будут частоты 0,1 и 10. Замкнутая система также находится на коле-
бательной границе устойчивости (рисунок 1.21), т. к. АФЧХ проходит
через точку (-1, j0).
Рисунок 1.21
1.4.6 Логарифмический критерий устойчивости
Если заранее известна схема разомкнутой системы в виде по-
следовательного соединения простых звеньев не выше второго поряд-
ка, критерий Найквиста удобнее использовать в логарифмическом ви-
де (диаграмма Боде). Обычная формулировка критерия: замкнутая
система устойчива, если в момент пересечения ЛФЧХ разомкнутой
системы линии -180 ее ЛАЧХ отрицательна (рисунок 1.22, а).
а б
Рисунок 1.22
Напомним, что значение ЛАЧХ L(
)=20lgA(
)=0 соответствует
коэффициенту усиления, равному единице, и частоте сигнала, назы-
lg
lg
L(
)
(
)
0
-
90
-
180
ср
-
180
уст
ойчива
lg
lg
L(
)
(
)
0
-
90
-
180
ср
-
180
устойчива
неустойчива
49
ваемой частотой среза
ср
. При этой частоте ЛАЧХ пересекает ось
абсцисс (частот). Все значения ЛАЧХ, лежащие выше оси абсцисс,
соответствуют усилению сигнала (k > 1), лежащие ниже оси абсцисс –
ослаблению сигнала (k < 1).
В момент, когда фазовый угол равен -180, мы находимся на от-
рицательной действительной полуоси. Если при этом происходит уси-
ление сигнала, то АФЧХ охватывает критическую точку (-1, j0) и сис-
тема неустойчива. Если наблюдается ослабление сигнала, то АФЧХ не
охватывает критическую точку (-1, j0) и система устойчива. Если час-
тота
-180
=
ср
, то система находится на границе устойчивости.
Общая формулировка охватывает дополнительно АФЧХ II рода
и системы, неустойчивые в разомкнутом состоянии. Замкнутая систе-
ма устойчива, если на интервале положительности ЛАЧХ разомкну-
той системы сумма переходов ее ЛФЧХ линии -180 равна p/2, где p –
число правых корней характеристического уравнения разомкнутой
системы (рисунок 1.22, б).
При оценке устойчивости вблизи частот сопряжения следует
помнить о расхождении аппроксимирующей и действительной ЛАХ.
1.4.7 Запасы устойчивости
При проектировании системы бывает важно не только опреде-
лить качественно – устойчива ли она, но и оценить количественно, на-
сколько устойчива. Количественная оценка удаленности значений па-
раметров системы от критических величин называется запасом устой-
чивости. Запасы устойчивости обычно находят с помощью критерия
Найквиста в обычном или логарифмическом виде.
Оценка запасов устойчивости по АФЧХ (рисунок 1.23).
Запас устойчивости по амплитуде A
m
устойчивой системы равен
расстоянию от критической точки (-1, j0) до ближайшей точки пересе-
чения АФЧХ с отрицательной действительной полуосью.
Рисунок 1.23
В соответствии с определением изме-
ряют непосредственно расстояние от точки
(-1, j0) до точки пересечения АФЧХ с дейст-
вительной по
луосью без учета знака, тогда
для устойчивой системы запас по ам
плитуде
будет находиться в пределах от 0 до 1, нор
ма
равна |A
m
|
=1 - А(ω
-π
) 0,5.. 0,6.
По второму способу запас устойчивости по амплитуде находят
как величину, обратную амплитуде А вектора при угле -180° или от-
резку r, т. е. A
m
= 1/ А(ω
-π
) = 1/r, где r – расстояние от точки пересече-
ния АФЧХ с отрицательной действительной полуосью до начала ко-
50
ординат (модуль |W(jω)| при аргументе -180°). Физически такая оценка
говорит о том, во сколько раз можно увеличить усиление системы без
угрозы потерять устойчивость. Значение A
m
=
, имеющее место при
отсутствии пересечения АФЧХ с отрицательной действительной по-
луосью, означает полную независимость устойчивости системы от ве-
личины ее коэффициента усиления.
Запас устойчивости по фазе
m
равен углу между отрицательной
действительной полуосью и лучом, проведенным из начала координат
в точку пересечения АФЧХ с дугой единичного радиуса.
Запас по фазе
m
= π - |φ(ω
ср
)| находится в пределах от 0 до 180,
при проектировании обычно нормой является
m
30..60
. Он харак-
теризует возможность без изменения общего усиления системы до-
бавлять звенья с суммарным сдвигом по фазе не более
m
. Макси-
мальное значение
m
, равное 180, говорит о том, что смещение по фа-
зе сигнала при прохождении его по данной системе никак не отража-
ется на устойчивости системы.
Частные случаи расчета запасов устойчивости:
- у клювообразной АФЧХ при уменьшении фазы может умень-
шаться и реальный запас устойчивости по амплитуде (рисунок 1.24,
а);
а б
Рисунок 1.24
- у АФЧХ II рода запас устойчивости по амплитуде должен оп-
ределяться как при увеличении усиления A
m
>, так и при его уменьше-
нии A
m
< (рисунок 1.24, б) – это условно устойчивые системы.
При проектировании на графиках строят опасные по условиям
устойчивости зоны.
Оценка запасов устойчивости по ЛЧХ (рисунок 1.25).
Запас устойчивости по амплитуде A
m
равен отклонению ЛАЧХ
от нуля в сторону отрицательных значений на ближайших к частоте
среза
ср
частотах пересечения ЛФЧХ с линией минус 180.
Запас устойчивости по фазе
m
равен отклонению ЛФЧХ на час-
тоте среза
ср
от линии минус 180 к нулю.
Re(
)
jIm(
)
-1
A
m
m
Re(
)
jIm(
)
-1
A
m
<
A
m
>