Бороденко В.А. Исследование систем управления в среде MATLAB

Подождите немного. Документ загружается.

191

--------------------

s^3 + 5 s^2 + 10 s + 9

Коэффициенты из символьных констант преобразуются в чи-

словые, что позволяет далее выполнять над объектом различные опе-

рации. Структурная формула может быть выражена в общем виде, ко-

гда по крайней мере один параметр остается неизвестной переменной,

и в числовом виде, когда значения всех параметров известны.

Затруднения возникают при попытке описать систему с пере-

крещивающимися связями, когда недостаточно использовать только

три основных правила структурных преобразований. В этом случае

следует либо самостоятельно получить общую структурную формулу,

пользуясь правилом переноса воздействий или правилом Мейсона,

либо воспользоваться методом решения узловых уравнений.

Метод узловых уравнений исследуем на примере системы (ри-

сунок 3.10).

Рисунок 3.10

Составляем уравнения для сигналов в точках e, f, m, n, y (на вы-

ходах блоков или сумматоров, за исключением известных сигналов, т.

е. воздействий на входах системы), уравнения в форме 1 разрешены

относительно нуля, уравнения в форме 2 разрешены относительно

входных воздействий (таблица 8).

Таблица 8

Исходные уравнения Форма 1 Форма 2

e=-W

f+W

r e+W

f-W

r=0 e+W

f=W

e f-W

e=0 f-W

e=0

m=W

f-W

n+W

r m-W

f+W

n-W

r=0 m-W

f+W

n=W

m n-W

m=0 n-W

m=0

y=W

n y-W

n=0 y-W

n=0

>> syms e f m n y r w1 w2 w3 w4 w5 w6 w7 w8

>> eq1=e+w7*f-w1*r; eq2=f-w2*e; eq3=m-w3*f+w8*n-w6*r;

>> eq4=n-w4*m; eq5=y-w5*n;

>> s=solve(eq1,eq2,eq3,eq4,eq5,e,f,m,n,y);

192

>> s.y

ans =

w5*w4*r*(w6+w2*w7*w6+w2*w3*w1)/(1+w4*w8+w2*w7+w2*w7*w4*w8)

Результатом является сигнал, т. е. реакция системы по выбран-

ному выходу относительно входа r. По умолчанию подразумевается,

что правая часть уравнений равна нулю (уравнения в форме 1), при

этом символ «равно» и ноль по правилам MATLAB не пишутся.

Можно выбрать в качестве выходного другой сигнал и, соответ-

ственно, получить реакцию (произведение входного сигнала на пере-

даточную функцию) для данного выхода. Реакции на выходах n и f

>> s.n

ans =

w4*r*(w6+w2*w7*w6+w2*w3*w1)/(1+w4*w8+w2*w7+w2*w7*w4*w8)

>> s.f

ans =

w2/(1+w2*w7)*w1*r

Решение системы линейных уравнений для определения переда-

точной функции может быть выполнено и методом Крамера. Знамена-

телем передаточной функции является характеристический полином,

т. е. главный определитель матрицы А, включающей коэффициенты

левой части уравнений в форме 2. Числитель передаточной функции

вычисляется посредством определителя, получаемого из общего опре-

делителя системы заменой столбца переменной, считающейся выхо-

дом системы, на входной вектор-столбец матричного уравнения b, об-

разованный коэффициентами при входных воздействиях – правой

части уравнений в форме 2.

>> syms w1 w2 w3 w4 w5 w6 w7 w8

>> A=[1 w7 0 0 0;-w2 1 0 0 0;0 -w3 1 w8 0;0 0 -w4 1 0;0 0 0 -w5 1]

A =

[ 1, w7, 0, 0, 0]

[ -w2, 1, 0, 0, 0]

[ 0, -w3, 1, w8, 0]

[ 0, 0, -w4, 1, 0]

[ 0, 0, 0, -w5, 1]

>> b=[w1;0;w6;0;0]

b =

>> den=det(A)

den =

193

1+w4*w8+w2*w7+w2*w7*w4*w8

>> AA=[A(:,1:4) b] % заменяем пятый столбец матрицы А вектором b

AA =

[ 1, w7, 0, 0, w1]

[ -w2, 1, 0, 0, 0]

[ 0, -w3, 1, w8, w6]

[ 0, 0, -w4, 1, 0]

[ 0, 0, 0, -w5, 0]

>> num=det(AA)

num =

w4*w6*w5+w2*w7*w4*w6*w5+w2*w3*w4*w1*w5

>> sys=simplify(num/den)

sys =

w4*w5*(w6+w2*w7*w6+w2*w3*w1)/(1+w4*w8+w2*w7+w2*w7*w4*w8)

Решая систему линейных уравнений другим методом, получаем

сразу матрицу передаточных функций для всех выходов e, f, m, n, y

соответственно (матрица А и вектор b описаны выше)

>> sys=inv(A)*b

sys =

1/(1+w2*w7)*w1

w2/(1+w2*w7)*w1

w3*w2/(1+w4*w8+w2*w7+w2*w7*w4*w8)*w1+1/(1+w4*w8)*w6

w4*w2*w3/(1+w4*w8+w2*w7+w2*w7*w4*w8)*w1+w4/(1+w4*w8)*w6

w5*w2*w4*w3/(1+w4*w8+w2*w7+w2*w7*w4*w8)*w1+w4*w5/(1+w4*w8)*w6

В последней строке матрицы sys получили уже известную пере-

даточную функцию для выхода y относительно входа r. В зависимости

от способа решения системы линейных уравнений результат может

отличаться по форме (но не по сути), например, для той же системы

>> sys=A\b

sys =

1/(1+w2*w7)*w1

w2/(1+w2*w7)*w1

(w6+w2*w7*w6+w2*w3*w1)/(1+w4*w8+w2*w7+w2*w7*w4*w8)

w4*(w6+w2*w7*w6+w2*w3*w1)/(1+w4*w8+w2*w7+w2*w7*w4*w8)

w4*w5*(w6+w2*w7*w6+w2*w3*w1)/(1+w4*w8+w2*w7+w2*w7*w4*w8)

Для системы второго порядка (рисунок 3.11) уравнения форми-

рования сигналов имеют вид a= -c+W

e; b= -d+W

a; c=W

b; d=W

Перенося все слагаемые в левую сторону и отбрасывая согласно пра-

вилам MATLAB нуль, решаем уравнения и получаем аналитическое

представление сигналов в точках a, b, c и d.

>> syms e a b c d w1 w2 w3 w4

>> eq1=a+c-w1*e; eq2=b+d-w2*a; eq3=c-w3*b; eq4=d-w4*c;

>> sys=solve(eq1,eq2,eq3,eq4,a,b,c,d);

194

>> ya=sys.a

ya =

(1+w4*w3)*w1*e/(1+w4*w3+w3*w2)

Рисунок 3.11

или, если сразу заданы выходные аргументы в левой части выражения

>> syms e a b c d w1 w2 w3 w4

>> eq1=a+c-w1*e; eq2=b+d-w2*a; eq3=c-w3*b; eq4=d-w4*c;

>> [ya,yb,yc,yd]=solve(eq1,eq2,eq3,eq4,a,b,c,d)

ya =

(1+w4*w3)*w1*e/(1+w4*w3+w3*w2)

yb =

w2*w1*e/(1+w4*w3+w3*w2)

yc =

w3*w2*w1*e/(1+w4*w3+w3*w2)

yd =

w4*w3*w2*w1*e/(1+w4*w3+w3*w2)

Найдем решение, сформировав матрицу А коэффициентов при

переменных a, b, c, d и вектор-столбец коэффициентов при e.

>> A=[1 0 1 0;-w2 1 0 1;0 -w3 1 0;0 0 -w4 1];

>> b=[-w1;0;0;0]; sys=A\b

sys =

w1*(1+w4*w3)/(1+w4*w3+w3*w2)

1/(1+w4*w3+w3*w2)*w2*w1

w3/(1+w4*w3+w3*w2)*w2*w1

w4*w3/(1+w4*w3+w3*w2)*w2*w1

Подставив значения передаточных функций, а затем значения

параметров, получим в конечном итоге численное выражение переда-

точной функции

>> syms s k1 k2 T1 T2

>> w1=k1; w2=k2; w3=1/(T1*s+1); w4=1/(T2*s+1);

>> Wbe=subs(sys(2)) % подставляем обозначения коэффициентов

Wbe =

1/(1+1/(T2*s+1)/(T1*s+1)+1/(T1*s+1)*k2)*k2*k1

>> k1=1; k2=0.1; T1=0.2; T2=2;

>> Wben=subs(Wbe) % подставляем числовые значения коэффициентов

Wben =

1/10*(2*s+1)*(1/5*s+1)/(2/5*s^2+12/5*s+21/10)

>> [num,den]=numden(Wben);

195

>> num=sym2poly(num); % преобразуем символьную запись в числовую

>> den=sym2poly(den);

>> Wben=tf(num,den) % формируем стандартную TF-модель

Transfer function:

2 s^2 + 11 s + 5

--------------------

20 s^2 + 120 s + 105

Если значения передаточных функций или их параметров были

уже известны к моменту команды на решение уравнений, они под-

ставляются автоматически и необходимость в специальном примене-

нии функции подстановки subs() отпадает.

Все рассмотренные положения можно применить к описанию

структурной схемы в виде ориентированного графа, произведя заме-

ны: входной сигнал – входной узел, выходной сигнал – выходной

узел, блок – ветвь, сигнал – узел.

3.6 Визуальное моделирование

Рассмотрим другой путь и предоставим вычислить ПФ компью-

теру – обратимся к системе Simulink. В среде Simulink структурная

схема системы регулирования составляется с помощью готовых ус-

ловных графических обозначений (УГО) из библиотеки программы.

Для этого нужно открыть рабочее поле опцией File-New-Model и ка-

талог библиотеки командой или кнопкой Simulink (в командном окне)

и Library Browser (в окне конструирования модели).

Достаточно перетащить мышью нужное количество блоков Пе-

редаточная функция (Transfer Fcn – раздел Continuous), Усилитель

Gain, Интегратор Integrator и Сумматор Sum (раздел Commonly Used

Blocks) из окна элементов в окно конструирования и составить струк-

турную схему системы, соединяя их входы и выходы (рисунок 3.12).

Открывая двойным щелчком левой кнопки или правой кнопкой

мыши свойства элемента (Block parameters), задают численные вели-

чины или имена переменных (например, полиномов num и den), кото-

рым они присвоены, имя переменной State Name на выходе блока, ес-

ли необходимо, точность вычислений выходного сигнала Absolute to-

lerance. Коэффициенты полиномов записывают в виде векторов в

квадратных скобках, последовательно, начиная с коэффициента при

старшей степени s, разделяя пробелами или запятыми (саму перемен-

ную s не пишут). Единственное значение можно в скобки не брать.

Неповторяющееся имя переменной состояния должно быть записано в

апострофах – если является новым, и без апострофов – если заимство-

196

вано из Workspace. Для нескольких выходов в порядке перечисления

сверху вниз имена разделяются запятыми, например, ('x1', 'u', 'y' ),

число имен не должно превышать количество выходов.

Рисунок 3.12

Блок Transfer Fcn отображает SISO или SIMO (один вход – мно-

го выходов) объект, в последнем случае числитель будет не вектором,

а матрицей, при этом степень полиномов числителя не должна пре-

вышать степень полинома знаменателя, который будет одинаковым

для всех включенных функций. Отдельные коэффициенты или числи-

тель (знаменатель) в целом могут задаваться именем переменной, на-

пример num и den, чему внутри блока на модельном поле будет соот-

ветствовать надпись num(s)/den(s), или [1 k 3]. Такие переменные

должны быть определены в Workspace до начала моделирования, эти

положения применяются и для других блоков.

В блоке Zero-Pole задается вектор или матрица чисел – для ну-

лей, вектор – для полюсов и коэффициентов усиления, количество

выходов равно числу колонок в матрице нулей (по умолчанию один).

Для интегратора можно также задать источник (внутренний Internal

или внешний External) и величину начальных условий Initial

Condition, верхнюю и нижнюю границу насыщения Upper/Lower satu-

ration limit, сброс по сигналу извне External reset. Внешние связи вы-

зывают появление дополнительных входов.

В блоке State-Space задаются матрицы A, B, C, D (по умолчанию

все равны 1) и вектор начальных значений переменных состояния.

197

Число элементов вектора входа определяется количеством столбцов

матриц B, D, ширина вектора выхода (число выходных переменных

состояния) – количеством строк матриц C, D. Не допускаются началь-

ные значения переменных Initial Conditions x0 типа Inf или NaN или

задание числа значений, не соответствующего количеству перемен-

ных состояния (размеру матрицы A).

Библиотека элементов Control System Toolbox включает универ-

сальный блок LTI System, в котором может быть задана TF, ZPK и SS

модель – по умолчанию объект с передаточной функцией tf(1,[1 1]).

Для SS объекта могут быть определены начальные условия Initial

States в виде вектора x0.

Блок Transport Delay нуждается в задании неотрицательного

значения задержки Time delay в секундах (по умолчанию 1). Началь-

ное значение выхода (начальные условия) может быть задано в графе

Initial output, по умолчанию это значение равно нулю, оно не может

быть Inf или NaN. Если предполагается линеаризировать S-модель,

получить для нее описание в виде SS или TF объекта, следует задать

положительный целый порядок аппроксимации Паде Pade order (по

умолчанию 0). В среде Simulink это число не используется. Также для

последующей линеаризации может быть включена опция Direct

feedthrought of input during linearization, позволяющая исключить зве-

но из схемы (закоротить вход и выход) при вычислении линеаризиро-

ванной модели.

В MATLAB основной моделью является пространство состоя-

ний, а в нем не могут быть заданы отдельно дифференцирующие и

любые иные звенья с m > n, поэтому их желательно предварительно

совместить с соседними звеньями, у которых m < n, либо преобразо-

вать в реальные дифференцирующие звенья. Блок Derivative вычисля-

ет производную входного сигнала по времени du/dt и воспроизводит

реальное дифференцирующее звено (фильтр) с ПФ s/(Ns+1). Настраи-

ваемая постоянная времени N по умолчанию равна Inf.

Готовую схему можно испытать, подключив на ее входы источ-

ники сигналов (Sources), на выходы – отображающие средства (Sinks),

задав период моделирования в окне Simulation stop time и нажав кноп-

ку Start simulation, введя в командной строке sim имя_модели, либо

sim('model') или t=sim('model',tk), где tk – период моделирования.

Модель можно сохранить в виде файла с расширением .mdl (по

умолчанию – в рабочую папку) и вызвать командой open имя_модели.

При исследовании автономной системы, т. е. свободного движе-

ния, внешние источники не обязательны, достаточно задать началь-

ные условия в стандартных блоках State-Space, интеграторах или

198

звеньях чистого запаздывания, блоке LTI System. В библиотеку Simu-

link Extras-Additional Linear включены специальные блоки с заданием

начальных условий на входах и выходах – в пространстве состояний

State-Space with initial outputs, с передаточной функцией Transfer Fcn

with initial outputs, с нулями-полюсами Zero-Pole with initial outputs, а

также с заданием начальных значений переменных состояний – с пе-

редаточной функцией Transfer Fcn with initial states, с нулями-полю-

сами Zero-Pole with initial states.

Подключив к входам и выходам системы блоки вход (In1) и вы-

ход (Out1) из библиотеки элементов Commonly Used Blocks и вызвав

через меню Tools-Control Design-Linear Analysis (Инструменты-Проек-

тирование систем управления-Линейный анализ) окно Control and

Estimation Tools Manager, командой Linearize Model (Линеаризовать

модель) можно передать численные параметры математической моде-

ли системы графическому анализатору. В его окне LTI Viewer:

Linearization Quick Plot будут построены переходные характеристики

– по умолчанию, иные характеристики – по выбору пользователя.

Чтобы передать параметры такой модели в базу данных (рабо-

чее пространство – WorkSpace) программы MATLAB следует, вызвав

посредством меню File-Export диалоговое окно LTI Viewer Export, по-

сле двойного щелчка мышью задать имя своей модели в графе Export

As, а затем командой Export to Workspace передать данные и закрыть

три последних окна, не сохраняя проект.

Кроме того, если к системе подключены блоки вход (In) и выход

(Out), параметры системы в виде матриц A, B, C, D можно определить

с помощью обращения [a, b, c, d] = linmod('имя_модели'), после чего

создать описание в пространстве состояний функцией ss(a, b, c, d).

>> [a,b,c,d]=linmod('standard3')

a =

0 0 1

-4 -2 -3

0 1 0

b =

c =

1 0 0

d =

Обращение [num, den] = linmod('имя_модели') позволяет полу-

чить векторы коэффициентов числителей и знаменателей передаточ-

199

ных функций линеаризированной TF модели системы. Командой

S=linmod('имя_модели') выводится структура линеаризированной мо-

дели, отдельные свойства которой можно просмотреть или изменить.

>> S=linmod('standard3')

S = % структурное описание линеаризированной модели

a: [3x3 double]

b: [3x1 double]

c: [1 0 0]

d: 0

StateName: {3x1 cell}

OutputName: {'standard3/Out1'}

InputName: {'standard3/In1'}

OperPoint: [1x1 struct]

Ts: 0

>> S.StateName % имена переменных состояния и их порядок

ans =

'standard3/Integrator'

'standard3/Integrator2'

'standard3/Integrator1'

Функции linmod2() и linmodv5() выполняют те же операции, ис-

пользуя усовершенствованные алгоритмы вычислений, однако строят

только SS модель. Наконец, при подключенных входе (In) и выходе

(Out) функция sys=linearize('имя_модели') возвращает SS модель в ви-

де одного объекта с указанием составляющих блоков.

>> sys=linearize('standard3')

a =

Integrator Integrator2 Integrator1

Integrator 0 0 1

Integrator2 -4 -2 -3

Integrator1 0 1 0

b =

In1

Integrator 0

Integrator2 1

Integrator1 0

c =

Integrator Integrator2 Integrator1

Out1 1 0 0

d =

In1

Out1 0

Continuous-time model.

200

Заметим, что в версии 7.01 MATLAB на назначение номеров уз-

лов (индексов переменных состояния) влияет очередность выклады-

вания блоков с s в знаменателе на рабочее поле – только за счет этого

получается разный вид описаний системы в пространстве состояний.

Функция [X,U,Y,DX]=trim('модель') находит параметры равно-

весия S-модели, при которых производные DX ее переменных состоя-

ния стремятся к нулю, возвращая подобранные значения переменных

состояния Х, входов U, выходов Y. Поиск начинается от начальных

значений х0 = 0, если точка равновесия таким образом не отыскивает-

ся, начальный вектор х0 подбирается. Могут быть заданы начальные

значения x0, u0, y0, от которых должен начаться поиск. Значения х0,

найденные программой в процессе поиска, можно получить командой

[sizes,x0,xstr] = имя_модели([],[],[],0).

>> [X,U,Y,DX]=trim('standard3')

X =

0.2000

-0.0000

U =

-0.2000

Y =

0.2000

DX =

1.0e-015 *

-0.0000

0.1110

-0.0000

>> [sizes,x0,xstr] = standard3([],[],[],0)

Simulink снабжен специальными блоками, предназначенными

для адекватной линеаризации систем. В библиотеке Simulink Extras-

Linearization имеется блок производной с переключением Switched

Derivative, который, помимо постоянной N из передаточной функции

Ns/(Ns+1), имеет настраиваемый переключатель Switch value, уста-

навливаемый в состояние 1 для линеаризации и 0 при симуляции. Там

же находится блок задержки Switched Transport Delay, в котором по

умолчанию задан Pade order, равный 2, и включено закорачивание

звена Direct feedthrough при линеаризации. Отмечают, что включение

этой опции в звеньях чистой задержки может изменить индексацию

переменных состояния при использовании linmod или trim. Применив

команды компиляции для структурной модели, например, с именем

«sdelay», получим список переменных состояния в массиве x_str.

>> [sizes, x0, x_str]=sdelay([],[],[],'lincompile')