Бороденко В.А. Исследование систем управления в среде MATLAB

Подождите немного. Документ загружается.

181

3.5 Структурные преобразования

Рассмотрим принципы формирования модели для единичного

объекта или их произвольного сочетания.

В соответствии с определением, передаточная функция системы

может быть получена по известным входному воздействию и реакции

системы на него, если существует преобразование Лапласа от этих

временных функций. Прямое и обратное преобразования Лапласа яв-

ляются элементами пакета символьной математики, поэтому в начале

действий необходимо объявить используемые символьные перемен-

ные s и t

>> syms s t;

>> yt=2.5+2.5*exp(-2*t)-5*exp(-t); % реакция системы

>> ys=laplace(yt) % преобразование Лапласа от реакции системы

ys =

5/2/s+5/2/(s+2)-5/(1+s)

>> rs=laplace(t^0) % преобразование Лапласа от скачка 1(t)

rs =

1/s

>> ws=ys/rs % отношение преобразований Лапласа выхода и входа

ws =

(5/2/s+5/2/(s+2)-5/(1+s))*s

>> w=simplify(ws) % упростить вид передаточной функции

w =

5/(s+2)/(1+s)

MATLAB позволяет решить задачу идентификации объекта (по-

строения его модели в виде передаточной функции или описания

вход-состояние-выход), если для объекта известен закон изменения

входа u(t) и выхода y(t) во времени (обе функции должны быть пред-

ставлены вектором-столбцом значений одинаковой размерности, по-

этому вектор-строка u транспонирован в вектор-столбец). При созда-

нии набора данных da функцией iddata() последним указано значение

шага дискретности (Sampling interval) по времени t

= 0.01 с.

>> da=iddata(y,u',0.01)

Time domain data set with 201 samples.

Sampling interval: 0.01

Outputs Unit (if specified)

Inputs Unit (if specified)

Далее по набору da формируется непрерывная (t

= 0) модель

методом предсказаний Prediction Error Method в пространстве состоя-

182

ний ′ss′ с каноническим представлением ′can′. Программа самостоя-

тельно определяет матрицу К влияния шумов e(t) на входах объекта и

вектор начальных условий х(0); в заключение SS модель вручную пре-

образована в передаточную функцию W(s) = 5/(s+3).

>> w=pem(da,'ts',0,'ss','can')

State-space model: dx/dt = A x(t) + B u(t) + K e(t)

y(t) = C x(t) + D u(t) + e(t)

A =

x1 -3

B =

x1 5

C =

y1 1

D =

y1 0

K =

x1 8.6974

x(0) =

x1 4.7539e-016

Estimated using PEM from data set da

Loss function 1.58473e-031 and FPE 1.64909e-031

>> sys=tf(w)

Transfer function from input "u1" to output "y1":

-----

s + 3

Составление структурной схемы системы и ее преобразования

могут выполняться аналитическим путем в командном окне. Последо-

вательное соединение звеньев выполняется знаком умножения w1*w2

или функцией series(w1,w2). Обращение series(w1,w2,outputs1,inputs2)

используется для блоков с несколькими индексированными входами

или выходами, где outputs1 и inputs2 это векторы индексов соединяе-

мых выходов первого блока и входов второго блока в соответствен-

ном порядке. Размерность векторов должна быть одинаковой, часть

выходов первого и входов второго блоков может не соединяться (ри-

сунок 3.8, а). Индексы выводов сверху вниз устанавливает MATLAB.

183

а б

Рисунок 3.8

Команда series(w1,w2,'name') производит последовательное со-

единение блоков по совпадению имен, что требует предварительного

присвоения одинаковых имен по крайней мере одному выходу блока

w1 и входу блока w2. Входами эквивалентного звена являются входы

w1, выходами – выходы w2, незадействованные выходы w1 и входы

w2 ненаблюдаемы и неуправляемы.

>> w1=tf([1;2]); w2=tf([3 4;5 6]) % матрицы коэффициентов

>> w=series(w1,w2,2,1) % соединяем выход w1.2 с входом w2.1

Transfer function from input to output...

#1: 6

#2: 10

>> w=series(w1,w2,[1 2],[2 1]) % перекрестное соединение

Transfer function from input to output...

#1: 10

#2: 16

>> w1=ss([1;2]); w2=ss([3 4;5 6]); % в пространстве состояний

>> w=series(w1,w2,2,1)

d =

y1 6

y2 10

% как вход системы используется только один второй вход w1

Static gain.

>> w=series(w1,w2,[1 2],[2 1])

d =

184

y1 10

y2 16

% в качестве входа системы оба входа w1 объединяются в один

Static gain.

Параллельное соединение производится знаками «+», «-» и фун-

кцией parallel(w1,w2). Форма parallel(w1,w2,in1,in2,out1,out2) исполь-

зуется для блоков с несколькими индексированными входами или вы-

ходами, где in1, in2 и out1, out2 это векторы попарно равной размерно-

сти индексов соединяемых входов и выходов первого и второго бло-

ков в соответственном порядке. Команда parallel(w1,w2,'name') произ-

водит параллельное соединение блоков по совпадению имен, что тре-

бует предварительного присвоения одинаковых имен объединяемым

входам и выходам блоков (рисунок 3.8, б). При этом может объеди-

няться лишь часть входов или выходов. У эквивалентной модели бу-

дут три группы входов (от w1, от w2 и объединенные u) и выходов (от

w1, от w2 и объединенные y).

>> w1 = ss(eye(3),'InputName',{'C','B','A'},'OutputName',{'Z','Y','X'});

>> w2 = ss(eye(3),'InputName',{'A','C','B'},'OutputName',{'X','Y','Z'});

>> parallel(w1,w2,'name') % объединение по именам

d =

C B A

Z 1 1 0

Y 1 1 0

X 0 0 2

Static gain.

>> w1=ss(eye(3));w2=ss(eye(3)); % объединение по индексам

>> w=parallel(w1,w2,[1 2 3],[1 2 3],[1 2 3],[3 2 1])

d =

u1 u2 u3

y1 1 0 1

y2 0 2 0

y3 1 0 1

Static gain.

Соединение с отрицательной ОС образуется командой feed-

back(w1,w2), где звено w1 находится на прямом пути, а w2 (или коэф-

фициент усиления k, или просто 1 для единичной ОС) в цепи обратной

связи. Положительная обратная связь задается неотрицательным

третьим аргументом feedback(w1,w2,k) или отрицательным вторым

185

feedback(w1,-w2). Отрицательная обратная связь задается неотрица-

тельным вторым аргументом при отсутствии третьего или отрица-

тельным третьим аргументом feedback(w1,w2,-k). По крайней мере

один аргумент должен быть LTI объектом, например, при объедине-

нии двух пропорциональных звеньев sys=feedback(tf(k1),k2).

>> w1=tf(1,[0.1 1]); w2=tf(2,[0.2 1]); w3=tf(3,[0.3 1])

>> w=w1*w2+w3

Transfer function:

0.06 s^2 + 1.5 s + 5

--------------------------------

0.006 s^3 + 0.11 s^2 + 0.6 s + 1

>> series(w1,w2) % просто последовательное соединение

Transfer function:

--------------------

0.02 s^2 + 0.3 s + 1

>> parallel(w1,-w2) % просто параллельное соединение

Transfer function:

-1

--------------------

0.02 s^2 + 0.3 s + 1

>> feedback(w1*w2,w3) % соединение с отрицательной обратной связью

Transfer function:

0.6 s + 2

--------------------------------

0.006 s^3 + 0.11 s^2 + 0.6 s + 7

Сложная форма sys=feedback(w1, w2, feedin, feedout, sign) под-

разумевает, что у объекта w1 в прямой цепи для обратной связи через

w2 (регулятор) используются только выходы с индексами, описывае-

мыми вектором feedout, и входы с индексами, описываемыми векто-

ром feedin. Размерность указанных векторов определяется числом

входов и выходов регулятора w2. Знак обратной связи определяется

полем sign, при ООС оно может отсутствовать. Входами и выходами

эквивалентного звена будут входы и выходы w1.

Поскольку функция feedback не может оперировать со звеньями,

содержащими задержку в явном виде, такие звенья необходимо пред-

варительно преобразовывать либо в форму pade, либо в пространство

состояний, например, W=feedback(ss(w),1).

186

Функция augstate() увеличивает число состояний системы.

Функция append() просто объединяет под одним названием несколько

подсистем, оставляя их независимыми и формируя блочно-диаго-

нальную передаточную матрицу. Для систем, описанных в про-

странстве состояний, с параметрами A

, B

, C

, D

и A

, B

, C

, D

, ко-

манда append(sys1,sys2) создает модель вида



































































































































Функция w=blkdiag(sys1,sys2,...) размещает объекты sys1, sys2

по главной диагонали суммарного массива. Если хотя бы один объект

является SS моделью, эквивалентный объект также будет представлен

в пространстве состояний.

Функция lft() объединяет две подсистемы с несколькими входа-

ми и выходами в замкнутый контур обратной связи, функция

connect(sys, q, inputs, outputs) строит из них объединенную систему с

помощью матрицы связей q или имен связей и функции описания

сумматора sumblk(output, in1,…,in_n, signs). Для MIMO систем воз-

можно быстрое описание вектора однотипных имен вида {'e1'; 'e2';

'e3'} посредством функции strseq('e', [1 2 3]) или strseq('e', 1:3).

Пример описания системы методом именования всех элементов

и их связей (рисунок 3.9)

Рисунок 3.9

>> w1=tf(1,[1 2]); w2=tf([1 1],[1 3]);

>> w1.InputName='e'; w1.OutputName='u'; % имена связей блока w1

>> w2.InputName='u'; w2.OutputName='y'; % имена связей блока w2

>> Sum=sumblk('e','r','y','+-'); % выход и входы сумматора

>> sys=connect(w1,w2,Sum,'r','y') % элементы, вход и выход схемы

Transfer function from input "r" to output "y":

s + 1

-------------

s^2 + 6 s + 7

187

При описании с индексацией связей обычно сначала группиру-

ют блоки в систему функцией append(), затем описывают матрицу q

связей этих блоков (левая колонка – входы, правая колонка – выходы,

номера соответствуют порядку перечисления блоков в функции ap-

pend, минус обратной связи указывается не у входа, а у выхода блока)

>> block=append(w1,w2,Sum); % функции блоков описаны выше

>> q=[1 3; 2 1; 3 -2]; % вход w1 с Sum (3), вход w2 с выходом w1 ...

>> sys=connect(block,q,3,2) % вход системы на Sum, выход с w2

Transfer function from input "r" to output "y":

s + 1

-------------

s^2 + 6 s + 7

Матрицу передаточных функций MIMO системы можно образо-

вать двояко – либо объединяя отдельные SISO модели, либо задавая

массивами данные для числителя и знаменателя передаточной функ-

ции, используя tf и фигурные скобки. В обоих случаях новая система

имеет один вход, но несколько (по числу объединяемых объектов)

выходов. При этом MATLAB не требует одинаковости характеристи-

ческих полиномов, а порядок системы определяется наибольшей их

степенью.

>> w11=tf([1 1],[1 2]);

>> w21=tf(3,[1 4 5]);

>> sys=[w11; w21] % первый способ

Transfer function from input to output...

s + 1

#1: -----

s + 2

#2: -------------

s^2 + 4 s + 5

>> sys=tf({[1 1];3}, {[1 2];[1 4 5]}); % второй способ

Обращение sys=[w11, w21] создаст MIMO систему с двумя вхо-

дами и одним выходом. После создания MIMO системы можно от-

дельно манипулировать каждым элементом матрицы передаточных

функций, просматривая или изменяя его, например

>> sys(2,1)

Transfer function:

188

-------------

s^2 + 4 s + 5

>> sys(2,1)=tf(-3,[1 2])

Transfer function from input to output...

s + 1

#1: -----

s + 2

-3

#2: -----

s + 2

При объединении LTI объектов разного типа соблюдается пра-

вило приоритетов FRD > SS > ZPK > TF, согласно которому все объ-

екты переводятся в тот вид модели из имеющихся, который находится

левее всех в списке приоритетов.

Без вычислений с символьными переменными не обойтись, если

хотя бы один параметр является неизвестной величиной. Кроме того,

вычисления с символьными переменными позволяют проследить уча-

стие тех или иных параметров в общей функции преобразования.

В общем виде MATLAB позволяет выполнять алгебраические

действия над передаточными функциями звеньев, как символьными

переменными

>> syms w1 w2 w3

>> w=w1*w2

w =

w1*w2

>> w=w1-w2

w =

w1-w2

>> w=times(w1,w2)

w =

w1*w2

>> w=minus(w1,w2)

w =

w1-w2

однако специализированные функции serial(), parallel() и feedback() к

символьным переменным не применимы.

Передаточные функции могут быть выражены в общем виде че-

рез коэффициенты усиления k и постоянные времени T с использова-

нием упомянутых алгебраических операций

189

>> syms s k1 k2 k3 T1 T2 T3

>> w1=k1/(T1*s+1); w2=k2/(T2*s+1); w3=k3/(T3*s+1);

>> w=w1*w2+w3

w =

k1/(T1*s+1)*k2/(T2*s+1)+k3/(T3*s+1)

причем результат можно распечатать в более наглядном виде

>> pretty(w)

k1 k2 k3

--------------------- + --------

(T1 s + 1) (T2 s + 1) T3 s + 1

привести выражение к общему знаменателю, с выводом отдельно чис-

лителя и знаменателя

>> [num,den]=numden(w)

num =

k1*k2*T3*s+k1*k2+k3*T1*s^2*T2+k3*T1*s+k3*T2*s+k3

den =

(T1*s+1)*(T2*s+1)*(T3*s+1)

и привести подобные, например, в числителе

>> collect(num)

ans =

k3*T1*s^2*T2+(k1*k2*T3+k3*T1+k3*T2)*s+k1*k2+k3

Можно проделать те же действия, подставив вместо коэффици-

ентов передачи и постоянных времени их численные значения

>> w1=1/(0.1*s+1); w2=2/(0.2*s+1); w3=3/(0.3*s+1); w=w1*w2+w3

w =

2/(1/10*s+1)/(1/5*s+1)+3/(3/10*s+1)

>> pretty(w)

2 3

------------------------ + ----------

(1/10 s + 1) (1/5 s + 1) 3/10 s + 1

>> [num,den]=numden(w)

num =

750*s+2500+30*s^2

den =

(s+10)*(s+5)*(3*s+10)

>> den=expand(den) % раскрываем скобки в знаменателе

den =

3*s^3+55*s^2+300*s+500

190

Опишем систему, охваченную жесткой отрицательной обратной

связью с передаточной функцией k

звена в цепи ОС.

>> w1=1/(0.1*s+1); w2=2/s; w3=3/(0.3*s+1); w4=k4;

>> w=(w1+w2)*w3 % прямая связь – разомкнутая система

w =

3*(1/(1/10*s+1)+2/s)/(3/10*s+1)

>> ww=w/(1+w*w4) % замкнутая система

ww =

3*(1/(1/10*s+1)+2/s)/(3/10*s+1)/(1+3*(1/(1/10*s+1)+2/s)/(3/10*s+1)*k4)

>> [num,den]=numden(ww)

num =

120*(3*s+5)*(s+10)*s*(3*s+10)

den =

(s+10)*s*(3*s+10)*(3*s^3+40*s^2+100*s+360*k4*s+600*k4)

>> n=collect(num); d=collect(den);

>> ww=n/d

ww =

(1080*s^4+16200*s^3+60000*s^2+60000*s)/(9*s^6+240*s^5+(2200+1080

*k4)*s^4+(8000+16200*k4)*s^3+(10000+60000*k4)*s^2+60000*k4*s)

>> r=simplify(ww) % упрощаем выражение

r =

120*(3*s+5)/(3*s^3+40*s^2+100*s+360*k4*s+600*k4)

>> pretty(r)

3 s + 5

120 ----------------------------------------

3 2

3 s + 40 s + 100 s + 360 k4 s + 600 k4

Во многих случаях целесообразно перейти функцией sym2poly()

от символической записи к записи в виде полиномов-векторов, по-

скольку ассортимент функций, применимых к символьным выраже-

ниям, достаточно ограничен.

>> [num,den]=numden(w)

num =

den =

s^3+5*s^2+10*s+9

>> num=sym2poly(num)

num =

>> den=sym2poly(den)

den =

1 5 10 9

>> ww=tf(num,den)

Transfer function: