Бороденко В.А. Исследование систем управления в среде MATLAB

Подождите немного. Документ загружается.

261

го корня отрицательно. Показатели качества для таких корней не

имеют смысла и их не стоит принимать во внимание.

Построив с помощью функции step() или графического анализа-

тора ltiview(имя_системы) переходную характеристику для заданных

входа-выхода (рисунок 4.35), на вкладке Characteristics (Характери-

стики) контекстного меню можно задать показ прямых показателей

качества: максимума (Peak Response), времени регулирования (Settling

Time), времени нарастания (Rise Time) и установившегося значения

DC Gain (Steady State или Final Value).

>> sys=tf(1,[1 2 3 4]); step(sys)

Step Response

Time (sec)

Amplitude

0 5 10 15 20 25 30 35

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

System: sys

Peak amplitude: 0.372

Overshoot (%): 48.6

At time (sec): 2.57

System: sys

Rise Time (sec): 0.955

System: sys

Settling Time (sec): 20.9

System: sys

Final Value: 0.25

Рисунок 4.35

При работе с графиком step в окне редактирования свойств

Properties на вкладке Options необходимо обязательно проверить дей-

ствительные значения зоны Δ для оценки времени регулирования и

интервала оценки времени нарастания, особенно, если вы работаете с

компьютером общего пользования. Значения показателей качества

определяются по табличке, формируемой при установке указателя

мыши на маркеры графика, при щелчке мышью табличка сохраняется.

Из графика время нарастания по диапазону (0,1-0,9) установившегося

значения 0.955 с, время регулирования при ошибке 2 % равно 20.9 с,

значение максимума 0.372 при времени достижения максимума 2.57 с,

перерегулирование (Overshoot) 48.6 %, установившееся значение 0.25,

установившаяся ошибка ε(∞) = 1 – 0.25 = 0.75.

По типовому графику переходного процесса в MATLAB (рису-

нок 4.36) видно, что программа различает заброс от установившегося

значения вверх (Overshoot) и провал от начального (Init) значения

262

вниз (Undershoot). Последнее понятие отсутствует в учебной литера-

туре СНГ и не отображается в численных характеристиках на графике

Step самой MATLAB, однако используется при расчете регуляторов.

Рисунок 4.36

Функция S=lsiminfo(y,t,yfinal) для сформированных любым спо-

собом массивов характеристики y, отсчетов времени t и расчетного ус-

тановившегося значения yfinal выводит следующие показатели, объе-

диненные в структуру.

>> [y,t]=impulse(sys);

>> St=lsiminfo(y,t,0) % установившееся значение 0

St =

SettlingTime: 22.2467

Min: -0.1624 % минимальное значение y(t)

MinTime: 3.4959

Max: 0.2531 % максимальное значение y(t)

MaxTime: 1.3984

Командой lsiminfo(y, t, yfinal, 'SettlingTimeThreshold', %Settling)

можно задать одновременно зону Δ %Settling в относительных едини-

цах вместо установленной по умолчанию 0.02. Из структуры можно

извлечь и использовать отдельные элементы

>> St.SettlingTime

ans =

22.2467

Функция stepinfo(sys) позволяет извлечь в виде структуры чис-

ленные значения почти всех показателей качества без вывода графика

(отсутствует только установившееся значение Final Value). Функция

также имеет форму stepinfo(y,t,yfinal), т. е. может использовать любую

временную характеристику, а если yfinal не задано, вместо него она

использует значение на последнем отсчете. Параметры SettlingMin и

263

SettlingMax характеризуют наименьшее и наибольшее отклонения

кривой в динамике от установившегося значения с момента первого

пересечения кривой с линией установившегося значения.

>> stepinfo(sys)

ans =

RiseTime: 0.9550

SettlingTime: 20.9405

SettlingMin: 0.1633

SettlingMax: 0.3716

Overshoot: 48.6365

Undershoot: 0

Peak: 0.3716

PeakTime: 2.5743

Заметим, что наблюдаются случаи расхождения параметров Set-

tlingMin, SettlingMax с графиком, связанного, очевидно, с интерполя-

цией, что, хотя они и не являются основополагающими для оценки

качества, все же ставит под сомнение правильность определения ос-

тальных показателей. Например, для модели с ПФ w=tf([1 2 1],[1 2 4])

было выведено SettlingMax: 0.3716 вместо 0.27, и SettlingMin: 0.1633

вместо 0.128 по графику. Кроме того, для монотонных процессов без

перехода кривой через линию установившегося значения, в качестве

SettlingMin принимается второй (более высокий) уровень оценки вре-

мени нарастания, а в качестве SettlingMax – значение Peak Amplitude,

т. е. смысл этих параметров теряется.

В случае, когда система неустойчива, либо установившееся зна-

чение не определяется, функция возвращает значения NaN и Inf

>> stepinfo(w)

ans =

RiseTime: NaN

SettlingTime: NaN

SettlingMin: NaN

SettlingMax: NaN

Overshoot: NaN

Undershoot: NaN

Peak: Inf

PeakTime: Inf

К сожалению, функция не выводит для информации установ-

ленные значения зоны Δ %Settling и диапазона времени нарастания

%Rise, хотя от этого зависят результаты. Например, переопределив

эти параметры на 5 % и 0-100 %, получим иные значения времени на-

растания и регулирования для той же самой кривой.

>> stepinfo(sys,'SettleTimeThreshold',0.05,...

264

'RiseTimeLimits',[0 1])

ans =

RiseTime: 1.6498

SettlingTime: 15.1031

SettlingMin: 0.1633

SettlingMax: 0.3716

Overshoot: 48.6365

Undershoot: 0

Peak: 0.3716

PeakTime: 2.5743

Более того, функция не подчиняется общим установкам ctrlpref

и LTIView-Toolbox Preferences по этим параметрам, поэтому для нее

их нестандартные значения необходимо устанавливать специально

перед обращением. Дополнением к штатной функции stepinfo() может

служить разработанная функция steps().

function steps(sys,st,rt)

% Расчет для sys прямых показателей качества с дополнительными параметрами

% st – зона delta, rt – диапазон для Rise Time, все в относительных единицах

if nargin<3 % если не заданы пользователем, то запрашиваем ctrlpref

P=timeoptions('cstprefs'); rt=P.RiseTimeLimits;

end

if nargin==1

st=P.SettleTimeThreshold;

end

Quality=stepinfo(sys,'SettleTimeThreshold',st,'RiseTimeLims',rt)

T=num2str(st); disp([' %Settling: ' T])

T=num2str(rt); disp([' %RiseTime: ' T])

yf=dcgain(sys); T=num2str(yf); disp([' FinalValue: ' T])

end

Для установившегося динамического режима принято опреде-

лять коэффициенты ошибок – позиционной С0, по скорости С1, по

ускорению С2, что и делает предлагаемая функция coef(sys). Здесь sys

– функция ошибки по задающему воздействию или возмущению.

function coef(sys)

% Расчет коэффициентов ошибок по заданной модели sys

if isstable(sys)

[num,den]=tfdata(sys,'v');

n=length(den);

b=num/den(n); a=den/den(n);

c0 = b(n)

if n>1

265

c1 = b(n-1) - a(n-1)*c0

end

if n>2

c2 = b(n-2) - a(n-2)*c0 - a(n-1)*c1

end

else

c0 = Inf, c1 = Inf, c2 = Inf

end

Результат выглядит следующим образом

>> a=[0 1 0;0 0 1;-4 -3 -2]; b=[0 0 1]'; c=[5 0 0]; d=0;

>> sys=ss(a,b,c,d);

>> coef(sys)

c0 =

1.2500

c1 =

-0.9375

c2 =

0.0781

Переходная характеристика и полученные по ней прямые оцен-

ки качества являются, как правило, главным критерием правильности

выбора параметров системы регулирования, в связи с чем целесооб-

разно внимательнее рассмотреть, как это делает MATLAB.

Оценим прежде, насколько едины в определениях показателей

качества регулирования авторы учебников СНГ. Для большинства из

них перерегулирование – это просто максимальное отклонение управ-

ляемой величины от установившегося значения, выраженное в про-

центах от него [6], относительное значение величины первого выброса

переходного процесса [7, 8]. Обычно подразумевается первое макси-

мальное отклонение, и время t

макс

должно измеряться для первого мак-

симума характеристики. Ряд авторов делает дальше уточнение – от-

клонение регулируемой величины от заданного значения в сторону,

противоположную начальному отклонению [9, 10], максимальный

«выбег» регулируемой величины в сторону, противоположную на-

чальному отклонению [11], в статических системах совпадающее по

знаку со статическим отклонением, статической ошибкой [12, 13].

Специально отмечают, что, так как любая реальная система об-

ладает инерционностью, то в момент задания скачка на входе h(0) = 0,

и, следовательно, в первый момент и разность h(∞)-h(t) всегда будет

максимальна. Поэтому определять отклонение в самый первый мо-

мент времени заведомо бессмысленно [13].

266

Для реакции на возмущение (m<n, астатическая система с b

=0)

перерегулирование определяется величиной h

макс

- h

, приходящейся

на единицу f(t) = 1(t). Иногда оно определяется и как отношение вто-

рого максимума характеристики к первому σ = h

макс,2

макс,1

[14, 15].

У астатических систем с m = n происходит скачок начального

значения, конечное остается тем же, т. е. равно нулю, перерегулирова-

ние определяют как отношение первого максимального выброса к на-

чальному значению (h

) [7].

Показателем качества является и само первое максимальное ди-

намическое отклонение h

макс

-h(∞), тогда указывают его допустимое

значение непосредственно в единицах измерения управляемой вели-

чины, задавая отдельно от перерегулирования [15]. Для тех переход-

ных процессов, где начальное и конечное значения регулируемой ве-

личины одинаковы, понятие перерегулирования теряет смысл. Оно

заменяется понятием максимального относительного отклонения,

равного отношению первого максимального отклонения к заданному

значению регулируемой величины. Подобный процесс всегда немоно-

тонный, но колебательным его называют лишь в случае изменения

знака отклонения [9].

Для процессов с различными начальным и конечным значения-

ми характеристику строят в относительных отклонениях, приняв на-

чальное значение кривой переходного процесса за нуль, а разность

между установившимся конечным и начальным значением до скачка

(предначальным) за единицу. В монотонном процессе перерегулиро-

вание равно нулю. В астатической системе оно теряет смысл, так как

знаменатель σ обращается в нуль. Вместо σ в этом случае пользуются

понятием максимального отклонения х

макс

при единичном воздействии

[11].

Таким образом, ходовая формула для вычисления перерегули-

рования состоит в делении разности максимального и установившего-

ся значений переходной характеристики на разность ее начального и

установившегося значений

)0(

max







Для оценки времени регулирования обычно принимают Δ = 5 %

от установившегося значения (предела W(s) при s=0), для возмущения

на входе объекта берут 5 % от коэффициента передачи объекта k

, для

возмущения на выходе объекта – 5 % от начального отклонения h(

)

[15]. По аналогичным принципам выбирают зону 10-90 % для оценки

267

времени нарастания. С другой стороны считают также, что время ре-

гулирования – это время устранения рассогласования до 5 % его на-

чального значения [16]. Из всех приведенных формулировок следует,

что среди преподавателей единства в методах определения и смысле

основных параметров нет.

Надо сказать, что и авторы MATLAB допускают неточные или

противоречивые формулировки. Начнем с того, что в справке время

регулирования определяется по зоне 5 %, хотя заводская установка

равна 2 %, что может привести неопытного пользователя к ошибке.

Peak Amplitude в разных местах документации определяется то

как наибольшее абсолютное значение реакции y(t), т. е. наибольшее

отклонение от нуля независимо от знака, то как наибольшее отклоне-

ние от установившегося значения, что совсем не одно и то же. Время

нарастания Rise Time определяется по уровням от установившегося

значения Final Value – в одном случае, от разницы между установив-

шимся и начальным значениями – в другом случае, фактически вы-

числяется именно по разнице. Зона для вычисления времени регули-

рования определяется в процентах от установившегося значения (по

справке), а на самом деле от максимальной абсолютной разницы меж-

ду текущим у(t) и установившимся значениями. Перерегулирование

Overshoot определяется величиной, на которую сигнал реакции пре-

вышает установившееся значение, и находится в процентах от устано-

вившегося значения (фактически), но в другом месте документации –

от разницы между установившимся и начальным значениями. То же

относится и к начальному провалу Undershoot – относительной вели-

чине первого отклонения от начального значения в сторону, противо-

положную направлению к установившемуся значению.

Уже это несовпадение формулировок в документации и про-

грамме говорит о возможности появления ошибок при оценке нестан-

дартных характеристик. Рассмотрим, как принятый в MATLAB под-

ход влияет на значения прямых показателей качества.

Заметим попутно, что при исследовании систем регулирования

возможны три типа передаточных функций: с m = 0 (нули отсутству-

ют) – такова главная передаточная функция от входа задания r(t) к ре-

гулируемому выходу y(t); с m = n (порядок полинома числителя m ра-

вен порядку полинома знаменателя n) – это соответствует функции

передачи ошибки регулирования от задания; с 0 < m < n (это функции

влияния возмущения на регулируемую величину и ошибку регулиро-

вания).

Для систем с m = n MATLAB допускает неверное определение

значений перерегулирования и времени достижения максимума. Здесь

268

фиксируется отклонение в момент начала процесса. Такой подход

противоречит идее, что перерегулирование связано с забросом за ли-

нию установившегося значения при движении к ней от начального

значения. Так, для передаточной функции ошибки статической систе-

мы W(s) = (s^2+2s+1)/(s^2+2s+3) перерегулирование (Overshoot) на

графике переходной функции охарактеризовано значением 200 % (ри-

сунок 4.37), тогда как при оценке корневым методом по полюсам пе-

редаточной функции для той же самой системы программа MATLAB

дает значение перерегулирования только 10.8 %.

Рисунок 4.37

При стандартном расчете по кривой перерегулирование равно

σ = (0.333-0.261)/(1.000-0.333) = 0.072/0.667 = 0.108, т. е. те же 10.8 %.

Это же значение 10.8 % выводит программа по переходной характери-

стике при полном удалении из системы нулей (m = 0), например, для

главной передаточной функции W(s) = 3/(s^2+2s+3). Как же следует

оценить нашу систему в MATLAB по величине перерегулирования –

она плохая (200 %) или хорошая (10.8 %)?

В то же время величину Δ для оценки времени регулирования

рассматриваемого переходного процесса программа берет в соответ-

ствии с рекомендуемым подходом, как 5 % от разницы начального

(максимального) и установившегося значений 0.05∙(1.000-0.333) =

= 0.05∙0.667=0.033. Этот же подход применен для расчета времени на-

растания, которое находится здесь правильно, но в противоречии с

определением – оно должно измеряться на пути к максимуму, до, а не

после него. Значит, либо время нарастания измеряется неверно, либо

это максимум не настоящий, что и есть на самом деле.

Пример говорит о том, что программа не различает относитель-

ную величину – перерегулирование, и абсолютную величину – мак-

симальное динамическое отклонение, поэтому к результатам модели-

рования следует подходить внимательно, проверяя их по возможности

269

иными способами и представляя примерно ожидаемый результат.

Понятно, что в соответствии с теоремой о начальном значении

переходной функции пик характеристики в момент t = 0 определялся

не характеристическим полиномом системы, т. е. ее собственными

свойствами, а отношением коэффициентов при старших степенях s в

числителе и знаменателе передаточной функции. А оно не связано не-

посредственно с собственными свойствами системы и, естественно, не

может вытекать из расположения нулей и полюсов на комплексной

плоскости. Таким образом, временные и корневые модели в MATLAB

могут при оценке качества регулирования даже систем второго поряд-

ка давать существенно противоречащие друг другу результаты.

MATLAB считает максимумом (Peak Response) наибольшее аб-

солютное значение характеристики max(abs(y)) – не сказано, что пер-

вое, и не обязательно с переходом через линию установившегося зна-

чения, что в учебной литературе СНГ подразумевается.

Поэтому MATLAB берет на кривой (рисунок 4.38) не первый, а

третий максимум, т. е. не локальный максимум и не первый по поряд-

ку, а просто наибольший (абсолютный). Естественно, полученный ре-

зультат не будет совпадать с корневыми оценками и со стандартным

определением t

max

(время первого максимума), которое, может быть,

при работе со студентами следует скорректировать.

Рисунок 4.38

Реакция системы W(s) = (-2s+0.93)/(s^2+2s+2) (рисунок 4.39)

выявляет три ошибки, связанные, на наш взгляд, с понятием Peak. Во-

первых, на графике отображается отрицательное значение -0.509, а

функция stepinfo() выводит положительное 0.509. Почему для одного

и того же понятия используются разные методы определения, извест-

но только создателям MATLAB, однако, для того, чтобы узнать на са-

270

мом деле, отрицательный это максимум или положительный, необхо-

димо каждый раз дополнительно к функции stepinfo() строить график,

что существенно снижает ценность этой функции.

Рисунок 4.39

Во-вторых, для оценки перерегулирования требуется не наи-

большее отклонение вообще, а максимальное отклонение кривой от

линии установившегося значения после пересечения кривой этой ли-

нии – на графике это точка с амплитудой 0.507 для времени 3.68 с (на-

зовем ее OverPeak). А то, что на графике помечено как Peak amplitude,

это наибольший начальный провал Undershoot, имеющий для оценки

качества регулирования второстепенное значение.

В-третьих, хотя перерегулирование Overshoot печатается для

точки Peak amplitude при времени 0.577 с, вычислено оно для точки

настоящего максимума 100*(0.507/0.465-1)=9.05, что вводит пользо-

вателя в заблуждение. Нигде никак не показано, для какой точки в

действительности вычислено перерегулирование, об этом можно

только догадываться. Очевидно, необходимо разделить вообще мак-

симальное значение и тот максимум (минимум) характеристики, на

котором определяется перерегулирование – эти точки Peak и OverPeak

не всегда совпадают.

Если установившееся значение характеристики yf = 0, програм-

ма сразу присваивает перерегулированию значение Inf. В результате

для случая ненулевого начального значения (рисунок 4.40, а) пере-

ходной характеристики системы с ПФ w = tf(-[1 2 0],[1 1 2]) функция

stepinfo() выводит три неверных результата Overshoot: Inf, Undershoot:

Inf, Peak: 1.17, тогда как на самом деле должно быть Peak: 0.359 (если

мы договорились указывать точку OverPeak) или хотя бы Peak: -1.17,

как на графике, Undershoot: 17 % и Overshoot: 35.9 % (вычисляется по

отношению полуволны переброса 0.359 к начальному значению 1).

Кроме того, неверно определяется база для оценки времени регулиро-

вания 1.17 вместо 1.0, добавляется начальный провал Undershoot.