Бороденко В.А. Исследование систем управления в среде MATLAB

Подождите немного. Документ загружается.

271

С точностью до наоборот ошибки повторяются для системы с

передаточной функцией w = tf([1 2 0],[1 1 2]) – рисунок 4.40, б).

а б

Рисунок 4.40

У системы W(s)=(s^3+2s^2+3s)/(s^4+2s^3+3s^2+4s+1.2) пере-

ходная характеристика начинается и заканчивается в нуле (рисунок

4.41).

Рисунок 4.41

Значение перерегулирования по графику равно бесконечности

Inf. Карта корней дает иное значение 83.5 %. Если же последовать

обычным рекомендациям, то перерегулирование следует в этом слу-

чае считать как отношение максимума к единичному скачку, т. е.

105 %, либо как отношение второй полуволны к первой, или

0.237/1.05 = 0.226 (22.6 %). В последнем случае система удовлетворя-

ет стандартным требованиям σ = 15-30 %.

Перейдем к характеристикам с конечным значением yf ≠ 0.

Для w=tf([-1 2 1],[1 2.5 2]) Stepinfo возвращает значения Over-

shoot: 79.8823, хотя должно быть 100*0.4/1.5 = 26.67, Undershoot: 200,

272

а нужно 0, т. к. это не начальный провал, и положительное значение

Peak: 1, хотя по графику это -1, а на самом деле 0.899 (рисунок 4.42).

Step Response

Amplitude

0 1 2 3 4 5 6

-1

-0.5

0.5

System: w

Peak amplitude: -1

Overshoot (%): 79.9

At time (sec): 0

System: w

Rise Time (sec): 0.418

System: w

Final Value: 0.5

System: w

Time (sec): 1.28

Amplitude: 0.899

Рисунок 4.42

Расчет перерегулирования производится для правильно выбран-

ного места максимума (в точке OverPeak с амплитудой 0.899 при вре-

мени 1.28 с), правда, при неправильно выбранной базе 0.5 вместо 1.5.

А выводится значение перерегулирования, как уже говорилось, в дру-

гой точке – точке мнимого максимума Peak, что может привести к не-

верным предпосылкам. Таким образом, глядя на график, нужно само-

му догадываться, к какой точке характеристики относится выведенное

значение перерегулирования.

Введя ПФ w=tf([-0.5 2 1],[1 2.5 2]), уменьшили начальное значе-

ние и максимум переместился, но перерегулирование по-прежнему

рассчитывается неверно – надо 100*(0.825-0.5)/(0.5+0.5)=32.5 %, а не

64.9 % (рисунок 4.43). И Undershoot отсутствует, а не равно 100 %, как

показывает stepinfo(). Иначе говоря, при разнополярных начальном

y(0) и установившемся yf значениях перерегулирование всегда будет

рассчитываться неправильно из-за неверного выбора базы – в про-

грамме за базу для расчета принимается только yf, а нужно (yf-y(0)).

Step Response

Amplitude

0 1 2 3 4 5

-0.5

0.5

System: w

Peak amplitude: 0.825

Overshoot (%): 64.9

At time (sec): 1.22

System: w

Final Value: 0.5

Рисунок 4.43

Если первое отклонение от нуля больше, чем последующие, и

они разнополярны, как для w=tf([1 1 -1],[1 0.7 4]), stepinfo(w) выводит

273

Overshoot: 288.0443, Undershoot: 400, Peak: 1, тогда как на самом деле

должно быть Overshoot = 100(0.97-0.25)/1.25 = 57.6 %, Undershoot = 0

и Peak = -0.97 (рисунок 4.44).

Step Response

Amplitude

0 2 4 6 8 10 12 14 16

-1

-0.5

0.5

System: q

Final Value: -0.25

System: q

Peak amplitude: 1

Overshoot (%): 288

At time (sec): 0

System: q

Time (sec): 1.65

Amplitude: -0.97

Рисунок 4.44

Для w=(-0.1 s^3 – s^2 – 0.07)/( s^4 + 2 s^3 + 3 s^2 + 4 s + 1.5) про-

грамма выбирает в качестве максимума экстремум обратной полувол-

ны. В версии 7.01 для этой системы имело место даже отрицательное

значение перерегулирования -691 %, хотя в учебной литературе СНГ

подобное не предусмотрено. В версии 7.11 перерегулирование поло-

жительно и имеет другую величину 487 % (рисунок 4.45).

Рисунок 4.45

Здесь опять имеет место расхождение: программа показывает

пик на положительной полуволне с амплитудой +0.277, а вычисляет

Overshoot для второй отрицательной полуволны с амплитудой

-0.27377, а именно -0.274/(-0.0467)-1 = 4.8672. Вычисляется время ре-

274

гулирования от базы 0.3232=0.27653+0.046667, а надо от yf = 0.0467,

т. к. кривая начинается от нуля. В итоге зона Δ в семь раз больше, чем

должна быть, и, естественно, ошибочно выводится существенно мень-

шее время регулирования.

Еще о проблемах при оценке времени регулирования.

Анализируя систему w=tf([-2 .6],[1 2 2]), программа берет для

определения времени регулирования базу 0.55+0.3=0.85, а не 0.3, счи-

тая Δ = 0.05*max(abs(y(t)-yf)). Указанную базу следовало бы для слу-

чая yf ≠ 0 принимать равной abs(yf - y(0)), как это предусмотрено для

времени нарастания. Реальное (при базе 0.3) время регулирования для

тех же 5 % будет уже 4.97 с, а не 2.73 с, т. е. возросло почти в два раза

(рисунок 4.46).

Рисунок 4.46

Построим переходную характеристику для w=tf([1 .1],[1 .5 1]).

Если бы программа выбирала базу для оценки времени регулирования

0.1, а не ошибочную 0.68, время регулирования изменилось бы от 12.3

до 24.5 с, т. е. возросло в два раза (рисунок 4.47).

Рисунок 4.47

275

Для системы w=tf([0.9 1 2 2 1.2],[1 2 3 4 1.2]) с ненулевым на-

чальным значением (рисунок 4.48) базу для расчета времени регули-

рования программа принимает по начальному провалу Undershoot

0.9 - 0.443 = 0.557, а не по разнице начального и установившегося зна-

чений 0.1 – соответственно, это приводит к неверному определению

времени регулирования. Зато функция stepinfo() выводит значение на-

чального провала Undershoot: 0, что не совпадает с графиком и опре-

делением. Таким образом, ошибка в определении времени регулиро-

вания будет иметь место всегда при разнополярных y(0) и yf, а также

при выполнении условия |max(y-yf)|>|yf-y(0)|.

Рисунок 4.48

Для системы w=tf([1 1 2 2 1.2],[1 2 3 4 1.2]) с y(0) = yf (рисунок

4.49) программа принимает за базу для расчета времени регулирова-

ния величину начального провала 1 – 0.389 = 0.611, тогда как для рас-

чета перерегулирования в качестве базы берет 1. Между тем, функция

stepinfo() по-прежнему говорит, что Undershoot: 0.

Рисунок 4.49

276

Интересные результаты получаются и при анализе показателей

качества системы с ПФ W(s) = s/(s^3 + 2s^2 + 3s). Хотя вид кривой

вполне приемлем для анализа (рисунок 4.50), выводится значение Inf

вместо 0.333 для установившегося значения, вычисляемого функцией

dcgain(), не определяется время нарастания, время регулирования, пе-

ререгулирование равно NaN вместо 10.8 %. А параметры, предостав-

ленные функцией stepinfo() для этой же системы, либо не совпадают с

указанными на графике, либо не имеют смысла.

>> stepinfo(sys)

ans =

RiseTime: 14.1957

SettlingTime: 17.3897

SettlingMin: 0.3333

SettlingMax: 0.3333

Overshoot: 4.4409e-014

Undershoot: 0

Peak: 0.3333

PeakTime: 53.2337

Рисунок 4.50

В то же время не по системе, а по переходной характеристике

этой же системы функция выводит вполне нормальные значения

>> [y,t]=step(w,15);

277

>> St=stepinfo(y,t)

St =

RiseTime: 1.0402

SettlingTime: 3.4043

SettlingMin: 0.3044

SettlingMax: 0.3695

Overshoot: 10.8440

Undershoot: 0

Peak: 0.3695

PeakTime: 2.2125

Поскольку ранее уже отмечалось, что, в отличие от графика,

функция stepinfo() выводит не действительное значение y(t) в точке

Peak, а его модуль, то, вероятно, и другие показатели качества регули-

рования вычисляются для функций step() и stepinfo() разным образом,

что и проявилось в данном примере.

Таким образом, результаты, получаемые при моделировании в

MATLAB, могут противоречить как собственным формулировкам

программы, так и определениям, традиционным для учебной литера-

туры СНГ. Их следует использовать достаточно осторожно, особенно

для случаев, когда переходная характеристика начинается не с нуля

(т. е. при m = n); заканчивается в нуле (астатические звенья, b

= 0);

начинается и заканчивается на одном и том же уровне; имеет разно-

полярные значения.

4.5 Проектирование ПИД регулятора

Для решения этой задачи в MATLAB предусмотрены средства

PID Tuner и SISO Design Tool.

ПИД регулятор представляется в параллельной PID и стандарт-

ной PIDSTD формах. Функция comp = pid(Kp,Ki,Kd,Tf) формирует не-

прерывный параллельный регулятор с независимыми пропорциональ-

ным Kp, интегральным Ki, дифференциальным Kd коэффициентами

усиления и постоянной времени инерции Tf дифференциального

фильтра (реального дифференцирующего звена)

sTf

KiKp

sTf

sKd

KpsW

PID

)(











Все числа должны быть вещественными, конечными, а постоян-

ная времени – неотрицательной, по умолчанию Kp=1, Ki=0, Kd=0 и

Tf=0. Задавая лишь часть параметров, получаем разный тип регулято-

ра, например, П-регулятор при задании pid(Kp), ПИ-регулятор при за-

дании pid(Kp,Ki), И-регулятор при задании pid(0,Ki), ПИД-регулятор

278

при задании pid(Kp,Ki,Kd), ПИД-регулятор с реальным дифференци-

рующим звеном (PIDF) при задании pid(Kp,Ki,Kd,Tf).

Функция comp=pidstd(Kp,Ti,Td,N) создает непрерывный PID ре-

гулятор в стандартной форме с общим пропорциональным коэффици-

ентом усиления Kp, постоянными времени интегрирования Ti и диф-

ференцирования Td и делителем N инерционной постоянной времени







































sNTd

sTi

sNTd

sTd

sTi

KpsW

PIDSTD

1)/(

1)(

Все числа должны быть вещественными, Kp и Td – конечными,

постоянная времени Td – неотрицательной, постоянная времени Ti и

делитель N – положительными. По умолчанию Kp=1, Ti=Inf, Td=0 и

N=Inf. Задавая часть параметров, получаем разный тип регулятора,

например, П-регулятор при задании pidstd(Kp), ПИ-регулятор при за-

дании pidstd(Kp,Ti), ПИД-регулятор при задании pidstd(Kp,Ti,Td),

ПИД-регулятор с реальным дифференцирующим звеном (PIDF) при

задании pidstd(Kp,Ti,Td,N). И-регулятор реализуется приблизительно,

коэффициенты составляющих равны Ki = Kp/Ti, Kd = Kp*Td.

Функции pid(sys) и pidstd(sys) преобразуют систему sys в PID

или PIDSTD объект, если это допускают параметры системы, для мас-

сива объектов sys формируется массив PID или PIDSTD объектов.

Создадим PID и PIDSTD объекты regp и regs, исследуем их свойства

>> regp=pid(3,0.1,0.01)

Continuous-time PID controller in parallel form:

Kp + Ki * --- + Kd * s

with Kp = 3, Ki = 0.1, Kd = 0.01

>> get(regp)

Kp: 3

Ki: 0.1000

Kd: 0.0100

Tf: 0

IFormula: ''

DFormula: ''

InputDelay: 0

OutputDelay: 0

Ts: 0

TimeUnit: ''

InputName: {''}

279

InputUnit: {''}

InputGroup: [1x1 struct]

OutputName: {''}

OutputUnit: {''}

OutputGroup: [1x1 struct]

Name: ''

Notes: {}

UserData: []

>> regs=pidstd(3,0.1,0.01)

Continuous-time PID controller in standard form:

1 1

Kp * (1 + ---- * --- + Td * s)

Ti s

with Kp = 3, Ti = 0.1, Td = 0.01

>> get(regs)

Kp: 3

Ti: 0.1000

Td: 0.0100

N: Inf

IFormula: ''

DFormula: ''

...и так далее

Как видно из распечатки, индивидуально задаются свойства Kp,

Ki, Kd, Tf – для объекта типа PID, Kp, Ti, Td, N – для объекта типа

PIDSTD; свойства Iformula, Dformula необходимы только для дис-

кретных регуляторов и в непрерывных моделях игнорируются. Ос-

тальные свойства те же, что и для других LTI объектов.

Как и у других LTI-объектов, можно извлечь характеризующие

регулятор параметры или преобразовать структуру регулятора

>> [Kp,Ki,Kd,Tf]=piddata(regp)

Kp =

Ki =

0.1000

Kd =

0.0100

Tf =

>> [Kp,Ti,Td,N]=pidstddata(regs)

Kp =

Ti =

280

0.1000

Td =

0.0100

N =

Inf

>> [Kp,Ti,Td,N]=pidstddata(regp) % из другой формы

Kp =

Ti =

Td =

0.0033

N =

Inf

>> rg=pid(regs) % преобразование формы регулятора

Continuous-time PID controller in parallel form:

Kp + Ki * --- + Kd * s

with Kp = 3, Ki = 30, Kd = 0.03

Конструктор PID Tuner предназначен для проектирования в ин-

терактивном режиме PID регулятора в прямой цепи замкнутой SISO

системы регулирования с главной единичной отрицательной обратной

связью (рисунок 4.51)

Рисунок 4.51

Для регулятора С необходимо задать его тип (P, I, PI, PD, PDF,

PID, PIDF) и форму описания (параллельная parallel или стандартная

standard). Команда pidtool(plant, 'type') вызывает конструктор для

имеющегося объекта управления plant с указанием типа регулятора в

виде строковой переменной 'type', по умолчанию используется парал-

лельная форма. При обращении pidtool(plant, cbase) проектирование

ведется в сравнении с образцовым регулятором cbase и результирует-

ся в виде регулятора того же типа и формы.

Выведенное диалоговое окно позволяет выбирать способ синте-

за Design Mode (Basic, Extended), форму описания Form (Parallel, Stan-

dard), тип регулятора Type (P, I, PI, PD, PDF, PID, PIDF), тип графика

Plot (Step, Bode) и вид анализируемой реакции в меню Response: