Цейтлин Н.А. Из опыта аналитического статистика

Подождите немного. Документ загружается.

авторами) для проверки гипотез об адекватности, о значимости коэффициентов регрессии и т. п. в

зависимости от предпочитаемой гипотезы и ответственности за вывод [6, с. 9].

13. Полнота описания результатов статистической обработки. Основоположник

статистической теории оценивания Р. Фишер определил статистику как "учение о методах

приведения данных к компактной форме" [5, с. 286]. С появлением ЭВМ статистика стала

учением о методах бесконечного извлечения информации из данных. Действительно, обычная

программа PA (например, [2]) кроме характеристик лучшей ЭФР выводит на печать формулы для

точного описания области определения ЭФР, корреляционные матрицы факторов и

коэффициентов регрессии, результаты анализа остатков ЭФР, доверительные интервалы ЭФР и

многое другое (например, в настоящем исследовании описание только полезных результатов

расчета заняло 500 страниц машинописного текста!). Вполне вероятно, что пользователя могут

заинтересовать все дополнительные данные.

Названная проблема решается путем образования архива данных и результатов

статистической обработки, хранящихся у авторов. Кроме того, данные архива могут быть

исправлены, дополнены данными за текущий год, возможна их повторная обработка различными

методами.

14. Устойчивость структуры ЭФР и значений ее коэффициентов. В случаях значимой

мультиколлинеарности факторов, слабого влияния некоторых факторов на отклик, неудачного

выборa исходной структуры функции регрессии получаемые в результате PA ЭФР и их

коэффициенты могут оказаться неустойчивыми по отношению к процедуре исключения малого

числа наблюдений из матрицы плана.

Проблема устойчивости структуры ЭФР обычно решается "экспериментально": в процессе

PA программа отбрасывает опыты по одному - от первого до последнего, потом по два и даже по

три. Это - громоздкий метод. Он требует разработки специальной процедуры к программе PA. В

наших исследованиях для проверки устойчивости в некоторых расчетах отбрасывали только

"сильно" влияющие точки - выбросы (редкие значения величины, далеко отстоящие от основной

группы её значений) - по остаткам откликов, или по факторам.

15. Пригодность полученных формул. Убедительный ответ на вопрос о пригодности

полученных формул для предсказания, интерпретации и управления можно получить только после

их использования на практике. Сопоставление новых данных с результатами расчета

осуществляется методами проверки адекватности ЭФР.

Перейдем теперь к статистической обработке данных

Табл. 1.

Расчеты выполнялись поэтапно. На первом этапе по 77 данным Табл. 1 и структуре (1)

получили две ЭФР

%6,3S ;0,43736

%;4,3S ;0,43130

24 0292224

23 0292223

=−+−=

−

xxx

, (2)

где

- оценка математического ожидания отклика; S

- CO остаточной ошибки отклика.

Затем в процессе расчета с помощью процедуры ИОЗО [2] была обнаружена и исправлена

ошибка в опыте 38. При повторном расчете получили ЭФР

= 30,12 – 31,18x

+ 5,618x

; (3)

= -35,513 + 37,36x

– 6,562x

(4)

с меньшими CO S

0 23

= 3,1 % и S

0 24

= 3,3 %.

Существенными оказались только два фактора: индекс объема производства x

качественный показатель x

. По данным табл. 1 с использованием формул (3), (4) и программы

ДИВО получены оценки CO ошибок воспроизводимости откликов S

вос 23

= 1,8 %; S

вос 24

= 1,7 % с

числом степеней свободы 98 каждая (обнаружено 98 пар почти параллельных опытов!).

Проверка с помощью

-критерия Фишера [2] показала, что ЭФР (3) и (4) неадекватны

данным на уровнях значимости

= 10

-7

= 10

-10

соответственно. Пришлось перейти к

следующему этапу. На втором этапе была задана более сложная исходная структура

регрессионной функции по найденным на первом этапе существенным факторам

{

}

22297

2229622295294

223

2222210

xxxxxxxxxxYM ββββββββ +++++++= . (5)

Фактор х

"подозревается" в том, что он может быть влияющим, так как в 71-й строке имеет

одно (п = 1) далекое значение, а 76 значений фактора х

группируются вблизи точки х

≅

10 %.

Однако отбрасывать далекое значение х

было бы ошибочно, поэтому оно не было исключено.

Считали также, что включение фактора х

в функцию (5) в степени выше третьей

нецелесообразно; фактор

{

}

1,0

∈x принимает лишь два значения и поэтому входит в указанную

функцию только в первой степени.

По данным табл. 1 в соответствии со структурой (5) получили следующие ЭФР:

;1,415,993,58

2223

xxx +−= S

0 23

= 2,1%; (6)

;451104,64

2224

xxx −+−= S

0 24

= 2,3%. (7)

С помощью формулы, (7) обнаружены три выброса в опытах 15, 34, 53. После их

исправления получили окончательно

;79,486,11815,69

2224

xxx −+−=

0 24

= 1,4%. (8)

По данным табл. 1 при помощи ЭФР (6) и (8) с учетом трех исправлений по программе

ДИВО нашли оценки CO ошибки воспроизводимости S

вос

= 1,8%; S

вос

= 1,4% с числом

степеней свободы 98 каждая. Гипотезы об адекватности ЭФР (6) и (8) не были отклонены на

уровнях значимости 0,08 и 0,5 соответственно. Область определения указанных ЭФР находится

в пределах между минимальными («от») и максимальными («до») значениями факторов х

– х

(см. табл. 1). Коэффициенты ЭФР (6) и (8) высоко значимы (на уровнях значимости, меньших

-9

). Коэффициенты R

детерминации ЭФР (6) и (8) равны 0,82 и 0,94 соответственно и значимы

на уровнях значимости, меньших 10

-9

(коэффициент R

показывает, какая доля вариации отклика

связана с вариацией факторов, включенных в ЭФР). Критерии информационной способности ЭФР

(6) и (8), вычисляемые как отношения общих дисперсий откликов к дисперсиям ошибок

воспроизводимости, равны 5,4 и 6,3 соответственно. Полученные статистические характеристики

свидетельствуют о высоком качестве полученных ЭФР.

Замечание. Область определения регрессионной модели фиксируется на всём множестве

факторов, характеризующих объект экспериментальных исследований (см. введение): не

варьируемых факторов (и, следовательно, не принятых в расчёт и в ЭФР) и варьируемых

факторов, принятых в расчёт (а не только на подмножестве значимых факторов, включённых в

ЭФР)!

Интерпретация ЭФР (6) и (8). Применение метода линейного регрессионного анализа для

исследования влияния 21-го показателя уровня коллективной организации труда в совокупности с

другими организационно-техническими и социально-экономическими факторами на рост

производительности труда и снижение затрат рабочего времени в расчете на единицу

продукции в содовой подотрасли за период с I980 по 1987 год позволило выявить один

существенный фактор - индекс объема производства. Воздействие остальных факторов

оказалось незначимым. Из формул (6) и (8) видно, что с ростом индекса объема производства

на интервале 0,8 ≤ х

≤ 1,7 затраты рабочего времени на единицу продукции х

снижаются, а производительность труда х

повышается; на интервале 1,7 ≤ х

≤ 1,9 видна

тенденция к снижению роста производительности труда и увеличению затрат рабочего

времени. Действительно, большинство значений х

группируются на интервале (0,804; 1,185) и

только одно х

= 1,93 (при j = 71) отстоит далеко от основной группы.

Данный пример наглядно иллюстрирует преимущества предложенного метода решения

проблемы влияющих факторов. Если бы точка с координатой х

= 1,93 была отброшена, то на

более узком интервале (0,804; 1,185) была бы определена только линейная модель. На этом

интервале ЭФР (6) и (8) также приблизительно линейны. Однако, если точка N 71 достоверна, они

позволяют оценить поведение откликов в гораздо более широком интервале (0,804; 1,93).

Найденные ЭФР (6) и (8) исследованы также на устойчивость. Для этого же исходного

массива данных табл. 1 исключили выбросы и влияющие факторы в следующих наблюдениях:

Наблюдение 15 38 53 71

Предприятие 4 5 9 5

Год (после I980 г.) 1 2 3 4

Получили ЭФР

= 65,54 + 8,207 х

- 70,04 х

0 23

= 1,93%; f

0 23

= 70; R

= 0,81; S

вос

= 1,95%; f

вос

= 92). (9)

Приведенная ЭФР адекватна данным на уровне значимости

54,0

В адекватную ЭФР (9) попали два разных фактора. Поэтому необходимо привести уровни

значимости каждого коэффициента регрессии при этих факторах (

105

−

⋅=α ;

−

<α ) и

коэффициент корреляции между факторами (r

8,22

= -0,1). Поскольку этот коэффициент незначим (

> 0,5), а ЭФР (9) адекватна наблюдаемым данным, корректна следующая интерпретация ЭФР.

Как видно из формулы (9), затраты рабочего времени на единицу продукции в среднем по

содовой подотрасли снижаются на 0,82 % при уменьшении удельного веса рабочих высших

разрядов на 0,1 и снижаются на 7 % при росте индекса объема производства на 0,1.

По тем же данным табл. 1 (без строк 15, 38, 53 и 71) получены ЭФР для определения

изменения производительности труда

= -4,78 + 0,266х

– 10,06 х

– 1,75 х

– 77,3 х

+ 87,8 х

– 1,59 х

24+10

; S

0 24

= 1; R

= 0,96; (10)

= (2

⋅

-4

; 7

⋅

-7

; 0,01; 0,02; < 10

-7

; 2

⋅

-3

); S

вос 24

= 0,82;

= 0,1; r

8.34

= -0,45;

8.34

= 10

-5

где

-вектор уровней значимости коэффициентов регрессии (который можно использовать для

ранжировки соответствующих факторов по силе их влияния на отклик);

- уровень значимости

по Фишеру для проверки гипотезы об адекватности ЭФР (10) (поскольку

= 0,05, ЭФР (10)

адекватна наблюдаемым данным); r

8.34

- единственный значимый коэффициент корреляции между

факторами х

и х

на уровне значимости

8.34

= 10

-5

; остальные коэффициенты корреляции

незначимы.

По индексу кодовых количественных переменных

3625

xx − в исходной формуле (1) трудно

узнать номер предприятия. Поэтому в ЭФР (10) и в дальнейшем будем использовать более

"узнаваемые" переменные x

24+

, где i - номер предприятия. Так, например, в ЭФР (10) переменная

24+10

= 1, когда формула (10) используется для расчетов по предприятию № 10, и x

24+10

= 0 - для

остальных предприятий.

Высокая значимость коэффициента корреляции r

8.34

свидетельствует о

мультиколлинеарности факторов в ЭФР (10). Поэтому в работе был использован метод

ортогонализации мультиколлинеарной матрицы плана (ОММП). Расчеты выполнялись на

ЭВМ ЕС по специальной программе INTER [7]. B результате расчетов программа определила

строки плана (табл. 1): 3,6,10,16,20,50,60,62,70, исключение которых (при

= 0,05) приводит к

почти ортогональной матрице плана с факторами, включенными в ЭФP (10). Повторное

обращение к программе PA привело к следующей ЭФР:

= -3,55 + 0,31х

– 11,07х

– 1,94х

– 76,2х

+ 86х

– 2,97х

24+10

; S

= 0,97; R

= 0,97; (11)

= (10

-6

; 10

-7

; 5

⋅

-3

; 0,02; <10

-7

; 10

-4

); S

вос

= 0,82; f

вос

= 24; ЭФР (11) адекватна:

= 0,1.

Интересно, что структура и знаки коэффициентов в ЭФР (10) и (11) совпали. Это

свидетельствует об устойчивости расчета. Из ЭФР (11) видно, что в целом по подотрасли рост

производительности труда х

достоверно связан с увеличением времени х

, ростом индекса

объема производства х

, снижением удельного веса рабочих высших разрядов х

, удельного

веса рабочих, охваченных бригадной формой организации труда в специализированных

бригадах, х

, уровня дисциплины труда х

; он является наименьшим на предприятии № 10

(х

24+10

Теперь, когда математические трудности интерпретации модели регрессии преодолены и

нет основания говорить о "некорректности" интерпретации из-за мультиколлинеарности

факторов, можно ставить вопрос о достоверности исходных данных. Действительно, из

формулы (11) следует, что для повышения производительности труда х

необходимо снизить

удельный вес рабочих высших разрядов х

и уровень дисциплины труда х

. Эти выводы

нелогичны. Можно только предположить, что на некоторых предприятиях нарушения

дисциплины труда скрывались (и не отражены в исходных данных табл. 1), а также

проявлялись в приписках роста производительности труда, что, по-видимому, и привело к

искажению результатов статистического анализа. Предположили, что статистический анализ

данных табл. 1 по каждому заводу в отдельности позволит сделать более логичные выводы. В

исходной структуре (1) исключили коды предприятий х

– х

. Получили ЭФР для каждого

предприятия по данным за семь лет:

№ 1. х

= 0,159 + 11,38 х

; (12)

= 149,5 - 16,162 х

- 75,44 х

+ 42,84 х

- 97,4 х

; (13)

= -96,4 + 96,49 х

; (14)

№ 2. х

= -1,65 + 13,25 х

+ 6,513 х

+ 0,386 х

; (15)

= -31,6 + 112,5 х

- 94,18 х

; (16)

= -102,4 + 10,49 х

+ 96,73 х

… (17)

и так далее; для предприятий № 3 - 10 формулы (18) - (41) опущены в целях экономии места. Для

последнего предприятия получили

№ 11. х

= -1,77 - 10,07 х

+ 19,93 х

; (42)

= 81,11 - 23,18 х

- 162,17 х

+ 63,43 х

- 8,973 х

+ 69,24 х

; (43)

= -174,2 - 16,11 х

+ 177,2 х

. (44)

Статистические характеристики полученных формул (табл. 2) дали возможность проверить

предположение о постоянстве дисперсии откликов х

, х

и х

. Для этого воспользовались

критерием Фишера - Бонферрони [6, с. 13]. Получили соответствующие уровни значимости

0,1,

= 0,011,

= 0,5, превышающие

= 0,01. Отсюда следует, что дисперсии откликов

можно считать однородными. Средние значения остаточных СО откликов: S

0 23

= 1,3%;

0 24

= 0,8%; S

0 25

= 0,1%.

Таблица 2

Статистические характеристики эконометрических регрессионных моделей (12) - (14) для

предприятий содовой подотрасли

Уровни значимости Номер

пред-

приятия

Номер

формулы

СО остато-

чной ошибки

ост Y

Коэффициент

Детерминации

коэффициентов

регрессии

Мультиколли-

неарности

…

(11)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

…

(42)

(43)

(44)

0,063

0,14

0,05

0,5

0,6

…

0,3

0,6

0,98

0,999

0,9

0,998

0,97

0,96

…

0,97

0,998

0,95

-5

-4

; 10

-3

; 10

-3

; 10

-2

-3

; 10

-3

; 10

-2

-4

; 10

-2

-3

;

0,03

…

0,01; 4

⋅

-4

0,2; 0,07; 0,09; 0,1; 0,1

0,03; 10

-3

0,3

0,08

0,6

0,2

…

0,2

⋅

-5

0,3

В содержательном плане полученные формулы условно разделены на ортодоксальные и

неортодоксальные. К ортодоксальным относятся формулы, имеющие коэффициенты, знаки

которых были известны до статистического анализа, остальные формулы являются

неортодоксальными. В свою очередь, ортодоксальные формулы разделены на "хорошие" и

"удовлетворительные". «Хорошими» считаются те из формул (12) - (44), которые содержат более

одного положительного коэффициента (свободный член не учитывается), когда откликами

являются х

и х

, и более одного отрицательного, когда откликом служит х

. Это формулы (15),

(17), (20), (24), (25), (30) и (39). К "удовлетворительным" относятся формулы с одним

положительным коэффициентом, когда откликами являются х

и х

, или с одним

отрицательным, когда откликом служит х

. Это формулы (12), (14), (27), (32), (33) и (41).

Из ортодоксальных формул следует, что на каждом предприятии существуют свои

значимые факторы повышения технико-экономических показателей их работы. Например, как

видно из ЭФР (15

), существенным источником роста производительности труда на

предприятии № 2 является повышение удельного веса рабочих, охваченных бригадной

формой организации труда в хозрасчетных бригадах х

, удельного веса всех рабочих,

оплачиваемых по единому наряду

и по КТУ

Аналогично интерпретируются остальные формулы. Для удобства дальнейшего

практического использования ортодоксальных формул по ним можно построить номограммы (см.,

например, рисунок), которые позволяют легко без вычислений определять значения технико-

экономических показателей в зависимости от показателей уровня организации труда на

предприятиях.

Рисунок. Номограмма для определения роста производительности труда (х

) на

предприятии № 2 в зависимости от удельного веса рабочих, охваченных бригадной хозрасчетной

формой организации труда (х

), удельного веса рабочих, оплачиваемых по единому наряду (х

) и

КТУ (х

Неортодоксальные формулы требуют дополнительного всестороннего анализа. Например,

из формулы (42) видно, что на предприятии № 11 рост производительности труда за семь лет был

достоверно связан с повышением уровня механизации труда в основных цехах х

, но с ростом

удельного веса рабочих комплексных бригад х

производительность труда достоверно снижалась.

Причина этого нe выяснена. Возможно, в комплексные бригады были объединены рабочие низкой

квалификации или для указанных бригад не был обеспечен должный фронт работ, наблюдались

перебои в поставке материалов и тому подобное.

Выводы. Статистический анализ эконометрических данных осложнен большим количеством

проблем, решение которых позволяет получить пригодные статистические модели.

Для решения проблемы мультиколлинеарности факторов впервые использован метод

ортогонализации мультиколлинеарной матрицы плана. Для выявления влияющих факторов

предложено в функцию регрессии вводить дополнительные базисные функции. Подбор исходных

структур эмпирических функций регрессии осуществляли поэтапно: на первом этапе выделяли

значимые линейные члены, на втором - применяли более сложные базисные функции значимых

факторов, выделенных на первом этапе.

Адекватность эмпирических функций регрессии проверяли путем сравнения остаточной

дисперсии с оценкой дисперсии воспроизводимости отклика, найденной по почти параллельным

опытам.

Установили факты наличия статистических связей между показателями уровня

коллективной организации труда и технико-экономическими показателями на отдельных

предприятиях содовой подотрасли.

Определили также, что в целом по подотрасли рост производительности труда и снижение

затрат рабочего времени в расчете на единицу продукции в период 1980 - 1986 г.г. происходило

главным образом за счет роста объема производства, а не за счет совершенствования

коллективной организации труда, несмотря на то, что из года в год увеличивалось количество

комплексных и хозрасчетных бригад, количество рабочих, совмещающих профессии, повышались

уровень квалификации рабочих, коэффициент использования рабочего времени и так далее.

Это свидетельствует о формальном подходе к проблемам организации труда на

предприятиях, где основное внимание уделялось количественной стороне показателей, а

сами коллективные трудовые процессы не исследовались и не проектировались.

(Просьба к читателю обратить внимание на то, что последние выводы относятся лишь к

историческому периоду «советской власти КПСС», которая ни на решение проблем организации

труда, ни, тем более, проблем регрессионного анализа существенного влияния не оказала :-).

Литература

1. Бродский В. З. и др. Таблицы планов эксперимента для факторных и полиномиальных моделей

(справочное издание). - M.: Металлургия, 1982. - 752 с.

2. Рудай A. H., Цейтлин H. А., Рудай В. И., Ицков Ф. Э. Разработка рациональных процедур программы

линейного регрессионного анализа // Стат. методы в основной химии: Тp. НИОХИМ. - Харьков, 1986.- Т.63.

- С. 93-97.

3. Дрейпер H., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. - M.: Финансы и статистика, 1986. - Кн. 1. -

366 с.; Кн. 2. - 352 с.

4. Цейтлин H. А., Гордеев Л. С., Ицков Ф. Э., Рудай A. H. Оценка дисперсии воспроизводимости отклика

в пассивном регрессионном эксперименте // Теорет. основы хим. технологии. - 1987. - T. 21. - №6. - С. 830 -

835.

5. Налимов В. В. Вероятностная модель языка. О соотношении естественных и искусственных языков. -

M.: Наука, 1979. - 304 с. 6. Клас А. и др. Введение в эконометрическое моделирование. - М.: Статистика,

1978. - 152 с.

7. Цейтлин H. А. Применение методов математической теории эксперимента в содовой

промышленности: Обзор. информ. НИОХИМ (Содовая пром-сть). - M.: НИИТЭХИМ, 1984. - 36 с.

8. Ицков Ф. Э., Рудай A. H., Цейтлин Н. A. Построение интерпретируемых регрессионных моделей

технологических объектов // Настоящий сб. - С. 40 - 47.

6.3. Многофакторный регрессионный анализ

Никакой достоверности нет в науках там, где нельзя приложить ни одной из

математических наук, и в том, что не имеет связи с математикой. (Леонардо да Винчи)

Регрессионный анализ (РА) является наиболее популярным методом построения

математической модели по результатам наблюдений за работой объекта экспериментальных

исследований. Методы постановки и решения задач РА читатель найдет в блестяще написанных

книгах [2.1-2.23] и многих других.

В данном разделе обсуждаются только те проблемы многофакторного РА, которые часто

встречались в нашей практической работе: проблемы пропуска данных, окаймления области

определения отклика, выбросов отклика (грубых ошибок), структурной идентификации

регрессионной модели (РМ), нормальности распределения остатков, адекватности РМ, описания и

интерпретации результатов РА в научном отчете и др.; описаны алгоритмы некоторых сервисных

процедур РА: окаймление области определения РМ, округление численных оценок параметров

РМ, редукция корреляционной матрицы, оценка СО ошибки воспроизводимости отклика по

данным пассивного эксперимента, проверка гипотезы об адекватности РМ. В конкретных

прикладных работах обсуждаются многие нюансы статистических задач, без рассмотрения

которых изучение статистической теории было бы неполноценным.

6.3.1. Обработка данных пассивного регрессионного эксперимента

- Папочка, что такое «Структурная идентификация регрессионной модели»?

– Где это ты такое прочитала, доченька? – Это я написала, папочка…

Статистическая обработка данных пассивного регрессионного эксперимента связана с

большими трудностями как вычислительного порядка, так и при интерпретации результатов

расчёта. Грамотно поставленный эксперимент всегда необходимо оптимально планировать.

Однако зачастую это бывает трудно, дорого или просто невозможно. В этом случае возникающие

трудности приходится преодолевать, а при интерпретации - надеяться на удачное расположение

«звёзд», то есть, экспериментальных точек в факторном пространстве. Далее названные проблемы

будут рассмотрены подробно.

6.3.1.1. α-МЕТОД ПРОВЕРКИ СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ В ПРИЛОЖЕНИИ К

АНАЛИЗУ ПРОЦЕССА ПРИГОТОВЛЕНИЯ СУСПЕНЗИИ ГИДРООКИСИ КАЛЬЦИЯ

Старшина: -У кого склонность к математике? Бери лопату и извлекай корни!

В одноимённой работе [Колесникова С. В., Цейтлин H. A. – Хим. технология. – 1982. - № 6.,

С. 10 – 16] продемонстрирована высокая эффективность использования α-метода проверки

гипотез в приложении к задачам регрессионного анализа, приведен пример рационального

представления в отчёте результатов статистической обработки наблюдений.

В качестве примера использования α-метода выполним регрессионный анализ модели

процесса приготовления известкового молока и очистки рассола от солей магния

. В этом

процессе контролируют концентрацию СаО

акт

в суспензии гидроокиси кальция, общую

щелочность, концентрацию магния в шламе [1]. Для улучшения технологических показателей и

автоматического управления процессом очистки рассола необходимо было исследовать

взаимосвязи между отдельными параметрами свойств рассола, суспензии гидроокиси кальция и

шлама рассолоочистки. Невозможность произвольного изменения технологических факторов для

оптимального планирования экспериментов усложняет эту задачу. В связи с этим воспользовались

«пассивными наблюдениями» - провели четыре обследования в разное время года при различных

технологических ситуациях. Таким образом удалось максимальным образом расширить факторное

пространство и добиться минимальной корреляции между факторами (а в дальнейшем и между

коэффициентами регрессионной модели).

Априори считали, что факторами, определяющими процесс приготовления суспензии

гидроокиси кальция и очистки рассола от солей магния, являются: концентрация СаО

акт

суспензии гидроокиси кальция, г/л, (Х

); содержание СаО

акт

в твердых отходах гашения, %, (X

);

температура рассола, поступающего на гашение,

C, (Х

); концентрация кальция, (X

), магния, (X

)

и сульфатов (X

) в рассоле, г/л, а также разность между общей щелочностью и концентрацией

магния в шламе рассолоочистки, г/л, (X

). Последний фактор характеризует перерасход извести на

очистку рассола.

В качестве откликов выбраны три переменные: X

- количество суспензии гидроокиси

кальция, образующейся при гашении извести одним кубометром рассола, м

; X

- разность между

общей щелочностью и концентрацией магния в шламе рассолоочистки, г/л; X

- содержание СаО

акт

твердых отходах гашения, %.

Результаты наблюдений обрабатывались методами корреляционного и регрессионного

анализов [2]. Это позволило обобщить информацию о результатах 25-ти наблюдений (табл.1).

Таблица 1.

Результаты статистической обработки наблюдений производственного процесса приготовления

суспензии гидроокиси кальция

Переменная X

* X

Среднее

0,82 19 3,9 3,2 0,36 0,98 13 32 72 104 95

СО S

0,93 8,3 0,89 0,82 0,30 0,13 6,5 8,3 7,2 15 30

0,03 0,06 10

-4

0,8 0,3 0,02 0,04 0,6 0,09 0,4

0,21 0,1 0,07 0,5 0,6 0,06 0,01 0,6 0,2 0,01

-0,39

-0,30 0,007

0,3 0,05 0,2 0,1 0,3 0,6 0,6

0,07 -0,37 0,55 0,8 0,1 0,2 0,006

0,06 0,6 0,3

-0,04

0,24 0,23 0,27 0,4 0,3 0,3 0,07 0,5 0,2

-0,22

-0,08 -0,40 -0,33 -0,18 0,5 0,6 0,5 0,3 0,2

0,47 -0,01 0,25 -0,20 0,23 0,13 0,3 0,6 0,6 0,6

-0,41

-0,47 0,29 0,53 -0,23 0,09 -0,22 0,6 0,3 0,3

0,12 -0,09 0,21 -0,01 -0,37 -0,13 0,08 0,12 0,5 0,02

-0,35

-0,29 0,11 -0,11 -0,16 0,19 0,11 0,22 -0,13 0,0007

0,19 0,48 0,08 0,22 0,28 -0,27 -0,09 -0,22 -0,17 -0,62

Обозначения переменных X

приведены в тексте; СО - среднеквадратичное

отклонение; треугольный фрагмент корреляционной матрицы (ТФ КМ) приведен под

главной диагональю; треугольный фрагмент матрицы уровней значимости (ТФ МУЗ) - над

главной диагональю; обе матрицы - квадратные и симметричные относительно главной

диагонали; диагональные элементы КМ и МУЗ равны 1 и 0 соответственно.

Средние значения величин

X и их среднеквадратичные отклонения (СО) S

позволяют

ориентировочно ограничить исследованную область по каждой переменной интервалом с

вероятностью 95% от

SX 2− до

SX 2+ , j

∈

{1, 11}. Значения элементов корреляционной

матрицы r

; i > j (под главной диагональю в табл. 1) характеризуют тесноту линейной связи

переменных i-й и j-й соответственно. Значимость оценок r

коэффициентов корреляции

характеризуется соответствующими уровнями значимости

ijji

ˆˆ

(над главной диагональю в

табл. 1). Значения уровней значимости

ijji

αα

ˆˆ

= (табл. 1) равно вероятностям ошибочного

отклонения нулевой гипотезы

ij0

= 0, i > j;

{

}

11,1, ∈ji

. (1)

в пользу альтернативной гипотезы

ij1

≠

0, (2)

где ρ

←

- истинный коэффициент корреляции (стрелка

←

читается: «оцененный

выборочным значением»). Чем меньше

, тем значимее r

Данные табл. 1 позволяют в случае необходимости получить эмпирические функции

регрессии (ЭФР) одной переменной X

по любой другой X

(

)

(

)

jjijjiii

XXrSSXX −+= / ; (3)

остаточная ошибка этих ЭФР

(

)

5,0

jii

rSS −= . (4)

Значимость оценки коэффициента регрессии (S

в формуле (3) тождественно равна

значимости оценки коэффициента корреляции и устанавливается с помощью статистики t

Стьюдента

,/2

= r[f/(1 – r

)]

0,5

; f = N - 2, (5)

где индексы i, j для простоты опущены; N - число опытов. Значения

(см. табл. 1) вычисляются

по формуле (2.2), в которой n = 2 и

α−

= L –[L

– 2t

f,1-α/n

(f + 3)]

0,5

; L = f + 1,5t

f,1-α/n

+3. (6)

При N > 9 значение

проще оценивать по формуле

1-α/2

= 0,5 (N - 3)

0,5

ln[(1 + r)/(1 - r)]; N > 3. (7)

Желательно выявить парные корреляционные и регрессионные связи между

рассматриваемыми переменными, то есть, предпочтительна гипотеза H

(2). Ответственность за

вывод принята малая. Из табл. 2 (см. в разделе 1) выберем соответствующий критический уровень

значимости

к1

= 0,1; это дает 16 значимых связей.

До проведения опытов предполагали, что показатели качества линейно зависят от всех

технологических факторов. Анализ линейной регрессионной модели позволил получить ЭФР,

включающие лишь несколько значимых факторов:

=1,2 - 0.06X

, S

0,6

= 0,12 м

; (8)

= -62 + 55X

+ 3,8X

+ 0,14X

; S

= 4,6 г/л; (9)

R = 0,73;

21;4

F = 8,4;

= 0,0004;

= (4,7 3,3 2,1)';

= (0,00025 0,003 0,044)';

= 23+ 2,2X

- 0,45X

; S

= 6,1%; (10)

R = 0,71;

22;3

F = 2,3;

= 0,002;

t = (3,3 2,9)';

= (0,0026 0,008)',

где S

– СО остаточной ошибки ЭФР; R - коэффициент множественной корреляции; F

f1,f2

статистика Фишера, характеризующая значимость всех коэффициентов регрессии,

- вектор

статистик Стьюдента, характеризующих значимость каждого коэффициента;

- оценки

уровней значимости величин

2,1

; значок ^ над символами означает «оценка»; векторы

подчеркнуты. Критический уровень значимости α

к1

= 0,05 выбран для обычной ответственности за

вывод и предпочтительной альтернативной гипотезы (предпочительна гипотеза о значимом

отличии от нуля коэффициентов регрессии).

Согласно формуле (8), количество суспензии гидроокиси кальция, образующейся при

гашении извести одним кубометром рассола, значимо уменьшается с увеличением концентрации

магния в рассоле (ypoвень значимости

6,3

= 0,05 - табл. 1).

Из формулы (9) следует, что разность между общей щелочностью и концентрацией магния в

шламе рассолоочистки повышается с ростом концентрации кальция и магния в рассоле и

увеличением содержания CaO

акт

в суспензии гидроокиси кальция.

Согласно формуле (10) содержание СаО

акт

в твердых отходах гашения растет с увеличением

концентрации сульфатов в рассоле и понижением его температуры.

Приведенная интерпретация ЭФР считается корректной, если факторы в этих ЭФР не

коррелируют между собой. Выпишем из табл. 1 уровни значимости корреляций между факторами,

входящими в ЭФР (9) и (10):

3 1

= 0,05;

10 1

= 0,09;

10 3

= 0,6;

4 2

= 0,07.

В данном случае желательно не иметь парные корреляционные связи между факторами, то

есть предпочтительной является гипотеза H

(1). С обычным уровнем ответственности за вывод

выбираем из табл. 2. (раздел 1) критический уровень значимости

к0

= 0,04. Поскольку все оценки

уровней значимости корреляций оказались больше критического уровня, корреляция между

факторами незначима; интерпретация ЭФР совершенно корректна. Это свидетельствует об

удачной организации «пассивных наблюдений».

Литература

1. Карасик Э. M. Исследование седиментационных и фильтрационных свойств

гидроокиси магния, осажденной из природных растворов: Автореф. канд. дис. - Л., 1970. -

22 с.

2. Дрейпер H., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ / Пер. с англ. Ю. П.

Адлера и В. Г. Горского. - M.: Статистика, 1973. - 392 с.