Чекмарев А.А. Начертательная геометрия или черчение

Подождите немного. Документ загружается.

а) одна из пересекающихся поверхностей— поверхность вра

щения, другая поверхность имеет круговые сечения;

б) обе поверхности имеют общую плоскость симметрии

(т. е. ось поверхности вращения и центры круговых сечений

второй поверхности принадлежат одной плоскости — плоско

сти их симметрии);

в) плоскость симметрии параллельна плоскости проекций

(это условие при необходимости может быть обеспечено преоб

разованием чертежа).

Рассмотрим некоторые примеры применения этого способа.

Построение линии пересечения прямого кругового конуса и

наклонного кругового цилиндра (рис. 10.8), оси которых пере-

секаются. Пересекающиеся поверхности имеют общую плос-

кость симметрии, параллельную плоскости V и проходящую

через их оси. Относительно этой плоскости симметрична и

линия пересечения поверхностей. В дальнейшем изложении

будут указываться построения проекций только видимых точек

линии пересечения. Из характерных точек можно отметить че-

тыре с проекциями а\ е\ к\ п'. Они являются точками пере-

сечения проекций очерковых линий.

Для построения проекций промежуточных точек, напри-

мер Ъ', находят центр и радиус вспомогательной сферы. Для

этого на цилиндре проводят окружность, фронтальная проекция

которой изображается отрезком 1 '2'. Эту окружность можно рас-

сматривать (рис. 10.8, а) как параллель множества сфер, центры

Рис. 10.8

136

которых лежат на перпендикуляре—линии центров, проведенном

из точки с проекцией 3' центра кругового сечения к плоскости

окружности с проекцией 1'2'. Выберем (рис. 10.8, б) из сфер

такую, центр которой с проекцией о\ находится в точке пересе-

чения линии центров сфер и оси конуса SO {s'o'). Эта сфера

радиусом Rx = o{l'=o{2' пересекает конус по окружности, про-

ецирующейся в отрезок 4'5'. Окружности с проекциями 1'2' и

4'5' лежат на поверхности одной вспомогательной сферы радиуса

Ri и пересекаются между собой в двух точках, фронтальные про-

екции которых совпадают. На чертеже отмечена проекция Ь' ви-

димой точки. Проекции последующих точек строят аналогично.

Точка с проекцией d' построена с помощью вспомогательной

сферы радиуса R

. Проекция oi ее центра построена в пересече-

нии проекции оси конуса с проекцией линии центров сфер к

круговому сечению с проекцией 6' 7' — перпендикуляром из про-

екции 8' к плоскости этого кругового сечения.

Отметим, что центр 0

второй сферы сместился относи-

тельно центра Oi первой сферы. Каждому круговому сечению

наклонного цилиндра, используемому для построения линии

пересечения, соответствует свой центр на оси конуса. Это и

является основанием для названия способа — способ сфер с

переменным центром.

Сфера радиуса R

использована и для построения точки с

проекцией /'.

Горизонтальные проекции точек линии пересечения строят

или с помощью одноименных образующих цилиндра, или на

одноименных проекциях его круговых сечений.

Построение линии пересече-

ния прямого кругового конуса и

тора, оси которых скрещиваются

(рис. 10.9). Ось конуса параллель-

на плоскости V, ось тора перпен-

дикулярна плоскости V, окруж-

ность центров осевых круговых

сечений тора и ось конуса лежат в

одной плоскости, параллельной

плоскости V.

Две очевидные характерные

точки: высшая с проекцией о'и

низшая d" — являются точками Рис.

ю.9

137

пересечения проекций очерков тора и конуса. Для построе-

ния проекций промежуточных точек, например проекции У,

выполняют следующие построения. Выбирают на поверхнос-

ти тора окружность, например с проекцией 1'2' с центром в

точке с проекцией 3'. Перпендикуляр к плоскости этой ок-

ружности из точки с проекцией 3' является линией центров

множества сфер, которые пересекают тор по окружности с

проекцией Г 2'. Из множества этих сфер выбирают сферу с

центром на оси конуса. Его проекция о\. Эта сфера радиусом

Ri пересекает конус по окружности с проекцией 4'5'.

Пересечение проекций 1'2' и 4'5' является проекцией пары

общих точек тора и конуса, т.е. линии их пересечения. На

чертеже обозначена проекция Ь' одной из указанных точек—

точки на видимом участке линии пересечения.

Построение проекций второй пары точек линии пересече-

ния, из которых обозначена проекция с', выполнено с помо-

щью отрезка 6' 7' — проекции окружности на поверхности тора.

Вспомогательная сфера для построения проекции с' — сфера

радиуса R

с центром, проекция которого о'

. Конус эта сфера

пересекает по окружности с проекцией 8'9'. В пересечении

проекций 6' Т и 8'9' окружностей находим проекцию с'иско-

мой точки и симметричной ей на невидимой части пересекаю-

щихся поверхностей.

10.5. Некоторые особые случаи

пересечения поверхностей

В некоторых случаях расположение, форма или соотноше-

ния размеров криволинейных поверхностей таковы, что для

изображения линии их пересечения никаких сложных построе-

ний не требуется. К ним относятся пересечения цилиндров с

параллельными образующими, конусов с общей вершиной,

соосных поверхностей вращения, поверхностей вращения,

описанных вокруг одной сферы.

Изображения пересечения цилиндров с параллельными об-

разующими приведены на рисунке 10.10 слева, конусов с об-

щей вершиной — справа.

Соосные поверхности вращения. Изображения пересечений

соосно расположенных различных поверхностей вращения при-

ведены на рис. 10.11. Конус, пересекающийся с двумя цилин-

драми разного диаметра (рис. 10.11, а), часто используют при

конструировании как переход от одного диаметра к другому.

138

Конус, сопряженный со сферой, с переходом на цилиндры

(рис. 10.11, б), широко используют в качестве деталей меха-

низмов управления — рукояток.

Комбинацию из трех соосных пересекающихся конусов

(рис. 10.11, <?) применяют при конструировании деталей, на-

зываемых штифтами или роликами. Крайние конические по-

верхности, называемые фасками, служат для упрочения кромки

детали и предохранения тем самым от забоин основной рабо-

чей конической поверхности. Комбинация из пересекающихся

трех соосных конусов образует центровое гнездо для обработки

деталей в центрах. Для предохранения от повреждений рабо-

чей конической поверхности 1 при соприкосновении (ударах)

с другими деталями служит наружный конус 2.

Пересечение поверхностей, описанных вокруг одной сферы

(рис. 10.12). В этом случае линиями пересечения поверхнос-

б)

Рис. 10.12 V

139

тей 2-го порядка являются две плоские кривые 2-го порядка,

изображаемые на плоскости, параллельной осям поверхнос-

тей, в виде прямолинейных отрезков. Выше уже были приве-

дены некоторые примеры таких пересечений.

Другие примеры изображения линии пересечения поверх-

ностей вращения, описанных вокруг одной сферы, рассмотре-

ны на рисунке 10.12.

В случаях, показанных на рис. 10.12 а, б, поверхности двух

цилиндров, конуса и цилиндра пересекаются по двум эллип-

сам с проекциями 1'2' и 3'4'.

В случае, показанном на рис. 10.12, в, пересечения кону-

сов с вершинами S\ и S

, у которых имеются две параллельные

образующие, линии пересечения — эллипс с проекцией V2' и

парабола с вершиной в точке с проекцией 3'.

Рассмотренные примеры пересечения двух поверхностей

вращения, описанных вокруг одной сферы, являются частны-

ми случаями, следующими из теоремы Монжа: две поверхнос-

ти 2-го порядка, описанные около третьей поверхности 2-го

порядка (или в нее вписанные), пересекаются между собой по

двум кривым 2-го порядка, плоскости которых проходят через

прямую, соединяющую точки пересечения линий касания.

Пересечение поверхностей, когда одна из них проецирую-

щая (рис. 10.13). Если одна из пересекающихся поверхнос-

тей проецирующая, то задача построения линии пересечения

двух поверхностей упрощается и сводится к построению недо-

стающих проекций кривой линии на одной из поверхностей

по одной заданной проекции линии (см. 8.3). На рисунке

10.13 горизонтальная проекция линии пересечения прямого

кругового цилиндра и сферы совпадает с горизонтальной про-

екцией цилиндра. Фронтальная и профильная проекции ли-

нии построены по их принадлежности сфере с помощью

проекций вспомогательных линий на сфере. Отметим харак-

терные (опорные) точки линии пересечения, пользуясь гори-

зонтальной проекцией. Высшая и низшая точки (их проекции

2', 2, 2" ТА Г, 1, V) лежат в плоскости симметрии фигуры,

проходящей через центр сферы с проекциями о' о и ось ци-

линдра с проекциями о\о\, о

. Горизонтальная проекция плос-

кости симметрии — прямая, проходящая через проекции о и

{

. В пересечении этой прямой с проекцией цилиндра от-

мечаем горизонтальные проекции 2 и / высшей и низшей то-

чек линии пересечения. Заметим, что точка 2 — ближайшая

140

к высшей точке сферы, а точка / — наиболее удаленная от

нее. Точки 3 и 4 — крайние левая и правая на фронтальной и

горизонтальной проекциях, их профильные проекции 3", 4"

на проекциях образующих, совпадающих с проекцией оси

цилиндра. Точки 5 и 6 находятся на главном меридиане сфе-

ры, их фронтальные проекции 5'и 6'— на фронтальном очерке

сферы, профильные 5" и 6" — на профильной проекции вер-

тикальной оси сферы. Точки 7 и 8 — ближайшая к плоскости

VIA наиболее удаленная от нее, их фронтальные проекции 7' и

8'— на проекции оси цилиндра, а профильные 7"тл 8" — на

крайних левой и правой проекциях образующих. Точки 9тл 10

имеют проекции 9'w. 10'на фронтальной проекции вертикаль-

ной оси сферы, проекции 9" и 10" — на профильной проек-

ции очерка сферы.

Рассмотренные особенности характерных точек позволяют

легко проверить правильность построения линии пересечения

поверхностей, если она построена по произвольно выбранным

141

точкам. В данном случае десяти точек достаточно для прове-

дения плавных проекций линии пересечения. При необходи-

мости может быть построено любое количество промежуточных

точек.

Проекция /' низшей точки построена с помощью проек-

ций параллели сферы. Проекция 2' высшей точки построена

с помощью проекций окружности радиуса o'd''наповерхности

сферы, плоскость которой параллельна плоскости V. Анало-

гичные построения остальных проекций точек линии пересече-

ния ясны из чертежа.

Построенные точки соединяют плавной линией с учетом

особенностей их положения и видимости.

1. В чем заключается общий способ построения линии пересечения

двух поверхностей?

2. Какие точки линии пересечения поверхностей называют характер-

ными?

3. В каких случаях для построения линии пересечения одной поверх-

ности другой рекомендуется применять вспомогательные секущие

плоскости, параллельные плоскостям проекций?

4. В каких случаях возможно и целесообразно применять

вспомогательные секущие сферы?

5. По каким линиям пересекаются между собой:

а) цилиндрические поверхности, образующие которых

параллельны

между собой;

б) конические поверхности с общей вершиной?

6. Какие линии пересечения получаются при взаимном пересечении

двух поверхностей вращения, описанных вокруг общей для них

сферы?

7. По каким линиям пересекаются между собой соосные поверхности

вращения?

Глава одиннадцатая

АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ

При изложении настоящего курса для наглядного изображе-

ния расположенных в пространстве относительно выбранных плос-

костей проекций точек, линий, плоскостей, многогранников,

сечений конической поверхности плоскостями использовались

проекции, называемые аксонометрическими (от древнегреческого

«аксон» — ось, «метрио» — измеряю) или аксонометрией (см

;

рис. 1.22, 2.1, 3.2, 4.10, 7.3 и др.). Их часто используют для

наглядного изображения конструкций приборов, машин на чер-

теже, особенно на начальных этапах конструирования.

Способ аксонометрического проецирования состоит в том,

что данная фигура вместе с осями прямоугольных координат, к

которым она отнесена в пространстве, проецируется параллель-

но на некоторую плоскость, принятую за плоскость аксономет-

рических проекций (эту плоскость называют также картинной

плоскостью).

При параллельном проецировании, если направление про-

ецирования перпендикулярно к аксонометрической плоскости

проекций, аксонометрическую проекцию называют прямоуголь-

ной, если направление проецирования не перпендикулярно к

плоскости проекций, аксонометрическую проекцию называют

косоугольной. В прямоугольной аксонометрической проекции

оси присоединенных прямоугольных координат располагают

непараллельно плоскости аксонометрических проекций.

Применяемые в отечественной конструкторской докумен-

тации аксонометрические проекции стандартизованы в

ГОСТ 2.317-69.

Рассмотрим образование аксонометрической проекции на при-

мере изображения параллелепипеда с квадратным основанием

(рис. 11.1) путем последовательного преобразования его ортого-

нальных проекций вместе с осями. При повороте параллелепи-

143

Рис. 11.1

педа (рис. 11.1, а) с осями дс и у вокруг оси z по стрелке А на 45°

получаем его изображение (рис. 11.1, б) с повернутыми осями х

{

и yi и сохранившейся вертикальной осью z- При повороте изоб-

ражения на профильной проекции с осями z", x'[, у'[ по стрелке

Б на угол 30° получаем изображение (рис. 11.1, в) с осями z",

*2, У'ъ расположенными под некоторыми углами к картинной

плоскости P(P

). Параллельная проекция (рис. 11.1, г) по стрелке

В на плоскости Р и является аксонометрической проекцией па-

раллелепипеда с осями на плоскости Р. Аксонометрическую плос-

кость при этом не обозначают (ею является плоскость бумаги).

Проекции осей координат х

, у

, Zp на плоскости аксоно-

метрических проекций называют аксонометрическими осями (в

дальнейшем индекс «/?» будет опускаться).

При различном взаимном расположении осей координат в

пространстве и плоскости аксонометрической проекции и при

разных направлениях проецирования можно получить множество

аксонометрических проекций, отличающихся друг от друга на-

правлением аксонометрических осей и масштабами по ним. Это

положение доказано теоремой К. Польке, которая утверждает:

три отрезка произвольной длины, лежащие в одной плоско-

сти и выходящие из одной точки под произвольными углами друг

к другу, представляют параллельную проекцию трех равных от-

резков, отложенных на прямоугольных осях координат от начала.

Рассмотрим направление аксонометрических осей и масш-

табы по ним для направления проецирования, перпендикуляр-

ного аксонометрической плоскости проекций, т. е. для

прямоугольной аксонометрической проекции.

Коэффициент искажения. На рисунке 11.2 изображена про-

странственная система ортогональных координат Ox, Oy, Oz,

144

единичные отрезки е на осях координат и их проекции в на-

правлении S на некоторую плоскость Р, являющуюся аксоно-

метрической плоскостью проекций. Проекции е

, е

отрезка

е на соответствующих аксонометрических осях О

, О

, O

Zp в

общем случае не равны отрезку е и не равны между собой.

Отрезки е„ е

, е

являются единицами измерения по аксоно-

метрическим осям — аксонометрическими единицами (аксо-

нометрическими масштабами). Отношения

называют коэффициентами искажения по аксонометричес-

ким осям.

В частном случае положение картинной плоскости можно

выбрать таким, что аксонометрические единицы — отрезки е

, е

— будут все равны между собой или будет равна между

собой пара этих отрезков.

При е

= е

(к=т=п) аксонометрическую проекцию

называют изометрической; искажения по всем осям в ней оди-

наковы. При равенстве аксонометрических единиц по двум

осям, обычно при е

= е

* е

(к = п * т), имеем диметричес-

кую проекцию. Если е

* е

, то проекцию называют три-

метрической.

Картинная плоскость Р на рисунке 11.3 изображена так, что

она пересекает все три координатные оси Ох, Оу, OZB точках

х, у, z соответственно. Рассмотрим прямоугольную аксоно-

метрию. В этом случае отрезок ОО

перпендикулярен плоско-

сти Р. Отрезки О

х,-О

у, O

z являются аксонометрическими

проекциями отрезков Ох, Оу, Oz и представляют собой ка-

теты прямоугольных треугольников, гипотенузы которых —

Рис. 11.2 Рис. 11.3

145