Чекмарев А.А. Начертательная геометрия или черчение

Подождите немного. Документ загружается.

линии пересечения сводится к построению недостающих проек-

ций точек на поверхности по заданным проекциям этих точек на

одной из проекций поверхности (см. рис. 9.4, 9.8).

Построения разверток. При построении разверток криволи-

нейных поверхностей их поверхность уподобляют гибкой нерастя-

жимой пленке. Получение развертки криволинейной поверхности

может быть представлено как результат последовательного совме-

щения с плоскостью бесконечно малых элементов поверхности,

образованных взаимно параллельными или пересекающимися

прямолинейными образующими. Три поверхности можно рас-

сматривать как состоящие из таких элементов — цилиндричес-

кую, коническую и с ребром возврата, только они и являются

развертываемыми.

Поверхность и ее развертку можно рассматривать как две

геометрические фигуры, между точками которых установлено

взаимно однозначное соответствие. При развертывании (и свер-

тывании) поверхности непрерывность поверхности не наруша-

ется, не изменяется расстояние на поверхности между точками

поверхности и соответственно длина отрезков линий, углы

между пересекающимися линиями в точках их пересечения и

величины площадей фигур на поверхностях.

Практически чертеж развертки выполняют, ограничиваясь

представлением отдельных криволинейных элементов поверх-

ности ее плоскими элементами. Способы развертки гранных

поверхностей — способ треугольников и способ нормального

сечения — рассмотрены выше (см. рис. 6.15, 6.16, 6.17). При-

меры применения указанных способов при развертке кривых

поверхностей рассматриваются ниже (см. рис. 9.5, 9.9).

9.2. Пересечение цилиндрической поверхности

плоскостью. Построение развертки

Для построения линии пересечения цилиндрической поверхности

плоскостью в общем случае находят точки пересечения образую-

щих с секущей плоскостью, как это сказано (см. 9.1) в отноше-

нии любых линейчатых поверхностей. При необходимости не

исключается применение и вспомогательных секущих плоско-

стей, пересекающих поверхность и плоскость.

Заметим, что любую цилиндрическую поверхность плоскость,

расположенная параллельно образующей этой поверхности, пере-

секает по прямым линиям (образующим).

109

Вид линии, образованной при

пересечении плоскостью прямого

кругового цилиндра, определяется

положением плоскости относительно

оси. Эта линия — окружность, если

плоскость перпендикулярна оси; две

прямые (проекции 1'2' и 3'4' на рис.

9.1) или одна прямая (касательная),

если плоскость параллельна оси

(след P

); эллипс {1—2—3—4 на

рис. 9.2), если плоскость располо-

жена под углом к оси.

Образование выреза на цилиндре

двумя плоскостями Р (Р

) || W и

T(T

) || F показано на рисунке 9.3.

Цилиндр с наклонным срезом.

Рассмотрим построение чертежа ци-

линдра со срезом проецирующей

плоскостью под некоторым углом к

его оси (не равным 0° и 90°), нату-

ральной величины среза и развертки

цилиндра (рис. 9.4, 9.5).

Ось цилиндра и вся цилиндрическая поверхность

перпендикулярны плоскости Н. Следовательно,

все точки цилиндрической поверхности, в том числе и линия

пересечения ее с плоскостью Р (P

) проецируются на плоскость

Нъ окружность. На ней отмечают горизонтальные проекции то-

чек 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 и 12 эллипса, расположив их

равномерно по окружности. В проекционной связи строят

фронтальные проекции 1', 2', 3', 4', 5', 6', 7', 8', 9', 10', 11', 12'

отмеченных точек на фронтальном следе Р

, секущей плоскости.

Профильные проекции тех же точек строят по их

горизонтальной и фронтальной проекциям на линиях связи.

Профильная проекция линии пересечения цилиндра с се-

кущей плоскостью — эллипс, большая ось 10"4" которого в

данном случае равна диаметру цилиндра, а малая 1"7" — про-

фильная проекция отрезка 1—7.

110

Рис. 9.1

гт

I whs

г.

Рис. 9.2

Рис. 9.3

111

Если плоскость Р расположить (см. рис. 9.4) под углом 45° к оси, то

профильная проекция эллипса фигуры сечения будет окружность.

Если острый угол между осью цилиндра и секущей плоскостью будет

меньше 45°, то малая ось эллипса на профильной проекции (см. рис. 9.4)

станет равной диаметру цилиндра.

Натуральный вид фигуры сечения цилиндра плоскостью Р

построен способом перемены плоскостей проекций на плоско-

сти S, перпендикулярной плоскости V. Большая ось эллипса

— отрезок Л 7

Ш 1'Т, малая — отрезок 4

= d.

Построение развертки (рис. 9.5). Полная развертка состоит

из четырех частей: развертки боковой поверхности, ограничен-

ной пятью отрезками прямой линии и кривой А

— сину-

соидой; натурального вида фигуры сечения; круга основания

цилиндра; сегмента, полученного на верхнем основании.

Полная развертка боковой поверхности цилиндра — пря-

моугольник с высотой, равной высоте цилиндра, а длиной L

= nd, где d — диаметр цилиндра. Для построения на раз-

вертке точек линии среза развертку основания цилиндра де-

лят на такое же число частей, как и при построении проекций

линий среза. Проводят через точки деления образующие и,

пользуясь фронтальной проекцией, отмечают на них высоту

до точек эллипса среза — точки 1

, 2

и 12о, 3

и 11

, 4> и

10о, 5

и %, 6Q И <?О, 7

. Соединяют построенные точки плав-

ной кривой — синусоидой. Натуральный вид фигуры среза

цилиндра плоскостью выполнен ранее (ls2

...12

), и его по

координатам строят на развертке.

Построим на чертеже цилиндра проекции точки М, указан-

ной на развертке точкой Л/о. Для этого отметим хорду /

между

образующей, на которой расположена точка' Л/о, и образую-

щей точки 4. По хорде /

строим горизонтальную проекцию m

(рис. 9.4) и по известной высоте ее расположения находим ее

фронтальную проекцию /я'.

9.3. Пересечение конической поверхности

плоскостью. Построение развертки

При пересечении конической поверхности вращения плос-

костью получаются различные линии — прямые, замкнутые

кривые — окружности и эллипсы, незамкнутые кривые — па-

раболы и гиперболы, а также точка. Вид указанных линий

определяется положением секущей плоскости относительно

112

вершины конической поверхности и соотношением между ве-

личинами углов наклона секущей плоскости и образующей ко-

нической поверхности к ее оси.

Если секущая плоскость Р (Р

) проходит через вершину

(рис. 9.6, а), то пересечение плоскости с конической поверх-

ностью в зависимости от угла а наклона плоскости к оси по-

верхности образует:

при jj < а < (180° - р) - точку;

при а — р — прямую, по которой плоскость касается кони-

ческой поверхности;

при 0 < а < р — две прямые (образующие).

Если плоскость пересекает коническую поверхность и при

этом не проходит через вершину, то в их пересечении имеют

место (рис. 9.6, б, в):

при а = 90° — окружность (плоскость, перпендикулярная

оси, окружность АМВ {а'т'Ь') в пересечении с плоскостью Р

(Р

) - рис. 9.6, б);

при р< ос < (180°— р) - эллипс (эллипс CMD (c'm'd') в

пересечении с плоскостью Q (Q

) — рис. 9.6, б — плоскость

пересекает все образующие конической поверхности);

при а < р — гипербола (плоскость параллельна двум образу-

ющим и пересекает коническую поверхность по обе стороны от

вершины, например гипербола с вершинами Е (е') и F if') в

пересечении с плоскостью Т (Т

) или с вершинами 1(1") и 2

(2') в пересечении с плоскостью Т\ (T

) — рис. 9.6, в);

а) 6) в)

Рис. 9.6

113

при а = р — парабола (плоскость,

параллельная одной из об-

разующих, например парабола с

вершиной К (&') в пересечении с

плоскостью R (Rv) — рис. 9.6, в).

Наглядное изображение кривых

— эллипса, гиперболы, па-

раболы, получающихся при пере-

сечении конической поверхности

плоскостями Q, Т, R, приведено

на рисунке 9.7 и на форзаце.

Пересечение конуса с плоскостью. Для построения кривой

линии, получаемой при пересечении конической поверхности

плоскостью, в общем случае находят точки пересечения прямоли-

нейных или круговых образующих конической поверхности с секу-

щей плоскостью. Соответствующий пример в случае

пересечения фронтально-проецирующей плоскостью Р (P

)

конуса с вершиной S приведен на рисунке 9.8. Построение

линии пересечения плоскости с конической поверхностью обыч-

но выполняют в следующем порядке. Основание конуса делят

на несколько равных частей (обычно 12), проводят горизон-

тальные проекции s—1, s—2, ..., s—12 образующих и строят их

фронтальные проекции. На фронтальной проекции отмечают

фронтальные проекции точек пересечения построенных обра-

зующих на видимой поверхности конуса с секущей плоскостью

Р (P

): с', а", /', q', а также крайних точек а' и Ь''. Горизон-

тальные проекции строят в проекционной связи на соответ-

ствующих проекциях образующих — точки а, с, d, f, q, b на

проекциях образующих s—1, s—2, s—3, s—5, s—6, s—7, а так-

же симметричные им точки на проекциях образующих s—12, s

—11, s—9, s—8. Горизонтальную проекцию е точки Е на об-

разующей S—4 и симметричной точки на образующей S—10

строят с помощью окружности радиуса е'е\, проведенной на

поверхности конуса.

На фронтальной проекции большая ось АВ эллипса — линии

пересечения фронтально-проецирующей плоскости с кону-

сом — проецируется в натуральную величину: [АВ] Ш \а'Ь'\ Ма-

лая ось MN эллипса перпендикулярна большой и проецируется

в точку т'{п') в середине фронтальной проекции а'Ь' боль-

шой оси.

114

Риа 9.8

Построение горизонтальной проекции малой оси эллипса

выполнено с помощью параллели с проекциями т'14' и /и —

14 — п. Горизонтальная проекция тп малой оси эллипса

построена в проекционной связи как хорда горизонтальной

проекции т—14—п этой параллели. Профильная проекция ли-

нии среза конуса также построена по фронтальной и горизон-

тальной проекциям точек в проекционной связи.

Отметим, что на профильной проекции точки а" и Ь"низ-

шая и высшая, и'ил"- крайние (правая и левая), е"и сим-

метричная ей — точки касания проекций крайних образующих.

Построение натурального вида фигуры среза AoM

No вы-

полнено по координатам в системе координат х

ух (см. также

рис. 6.9).

Наряду с построением эллипса по точкам возможно пост-

роение его по большой и малой осям. Соответствующий при-

115

мер приведен на форзаце. Там же приведены построения не-

которых плоских кривых и плавных сопряжений.

Развертка боковой поверхности прямого кругового конуса

представляет собой круговой сектор с углом ср = у-180° при вер-

шине, где d — диаметр основания, /— длина образующей кону-

са. Построение сектора (рис. 9.9) выполняют с разбивкой его

на равные части соответственно разметке образующих на чер-

теже (см. рис. 9.8 конуса).

Используя положение образующих на чертеже и на разверт-

ке, находят положение точек на развертке при помощи нату-

ральных величин отрезков от вершины до соответствующих точек

линии пересечения на чертеже. При этом расстояния S

Ao и

соответствуют фронтальным проекциям s"a", s'b'. Отрезки

образующих от вершины до других точек проецируются на

фронтальную плоскость проекций с искажениями. Поэтому их

натуральную величину находят вращением вокруг оси конуса

до положения, параллельного фронтальной плоскости проек-

ций. Например, положение точки D

на развертке найдено

при помощи отрезка s'd\ — натуральной величины образую-

щей от вершины S до точки D, точки Ео — при помощи отрез-

ка s'e\ (или s"e").

Полная развертка поверхности усеченного конуса состоит

из трех частей: 1) развертки боковой поверхности, ограничен-

ной дугой окружности радиуса /, кривой В

QQFOEQDO C

A И СИМ-

116

метрично ей; 2) круга основания; 3) натурального вида фигу-

ры сечения.

На рисунке 9.8 показано построение фронтальной и гори-

зонтальной проекций точки К по изображению К

этой точки

на развертке (см. рис. 9.9). Для построения проведена образу-

ющая S

через точку К

на развертке. С помощью отрезка /,

построена горизонтальная проекция 13. Через нее проведены

горизонтальная s—13 vi фронтальная s'—13' проекции образу-

ющей S—13. Отрезок S

Ко ^ s'k\ отмечен на проекции образу-

ющей s'T. Обратным вращением построена фронтальная

проекция к' точки К на фронтальной проекции образующей s

'13'. Горизонтальная проекция к построена с помощью линии

связи.

9.4. Пересечение сферы и тора плоскостью. Пример

построения линии среза на поверхности тела

вращения сложной формы .

Пересечение сферы плоскостью. Плоскость всегда пересекает

сферу по окружности, которая проецируется в виде отрезка пря-

мой, в виде эллипса или в виде окружности в зависимости от поло-

жения секущей плоскости по отношению к плоскости проекции.Так,

на рисунке 9.10 изображены проекции линий пересечения сферы

и плоскостей горизонтальной Р (P

) и фронтальной S (S

). Они

Рис. 9.10 Рис. 9.11

117