Чекмарев А.А. Начертательная геометрия или черчение

Подождите немного. Документ загружается.

1. Как строят линию пересечения поверхности плоскостью?

2. По каким линиям пересекаются цилиндр вращения плоскостями?

3. В каком случае эллипс, получаемый при пересечении цилиндра

вращения, ось которого вертикальна, фронтально-проецирующей

плоскостью, проецируется на профильную плоскость проекций в

окружность?

4. В чем заключается общий прием построения линии пересечения

конической поверхности плоскостью?

5. Как надо провести плоскость, чтобы пересечь коническую поверх-

ность по прямым линиям?

126

6. Какие кривые получаются при пересечении конуса вращения пло-

скостями?

7. Как строят малую ось эллипса, получаемого при пересечении конуса

вращения плоскостью?

8. Как строят развертку боковой поверхности конуса вращения?

9. По каким линиям сферу пересекает любая плоскость и какие могут

быть проекции этой линии?

10. В чем заключается способ построения сечения тора плоскостью?

11.Как должны быть направлены плоскости, пересекающие тор по

окружностям?

12.Что мы понимаем под названием «кривая (линия) среза»?

13. В чем заключается общий прием построения точек пересечения

прямой линии с кривой поверхностью?

14. Как провести вспомогательную секущую плоскость при пересечении

конуса прямой линией, чтобы получить на поверхности конуса пря-

мые линии?

Глава десятая

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ

10.1. Общие сведения о пересечении

поверхностей

Общие сведения. Форма большинства сложных и ответствен-

ных деталей приборов и машин образована комбинацией раз-

личных элементарных тел, расположенных в пространстве так,

что поверхности их пересекаются между собой. Поэтому важ-

ным этапом конструирования таких деталей является определе-

ние границ исходных поверхностей, которыми и являются линии

их взаимного пересечения.

Выше уже рассмотрено построение линий пересечения не-

которых поверхностей и тел между собой: двух плоскостей (4.2,

4.4), многогранников (6.6).

В данной главе рассмотрены общий прием построения ли-

нии пересечения двух криволинейных поверхностей между со-

бой, а также некоторые частные случаи пересечения при

различном взаимном расположении поверхностей и их положе-

нии относительно плоскостей проекций.

Общий способ построения линии пересечения двух поверхно-

стей между собой. В общем случае линию пересечения двух повер-

хностей между собой строят по точкам, которые находят с

помощью вспомогательных секущих по-

верхностей (или плоскостей).

Две криволинейные поверхности

А и В (рис. 10.1) пересекаются тре

тьей секущей вспомогательной повер

хностью Q. Находят линии пересе

чения KL и MN вспомогательной

поверхности с каждой из заданных.

Точка Т пересечения построенных

линий KL и MN принадлежит линии

пересечения заданных поверхностей

Рис. юл А и В.

128

Повторяя такие построения многократно с помощью ана-

логичных вспомогательных поверхностей, находят необходи-

мое число общих точек двух поверхностей для проведения линии

их пересечения.

Сформулируем общее правило построения линии пересече-

ния поверхностей:

выбирают вид вспомогательных поверхностей;

строят линии пересечения вспомогательных поверхностей с

заданными поверхностями;

находят точки пересечения построенных линий и соединяют

их между собой плавной кривой.

В качестве вспомогательных поверхностей выбирают такие,

линии пересечения которых с заданными поверхностями про-

ецируются на чертеж в графически простые линии — прямые,

окружности. В качестве вспомогательных поверхностей мож-

но, например, использовать плоскости или сферы. Рассмотрим

их применение.

Заметим, что если одна из исходных поверхностей линейча-

тая, то задача построения линии пересечения в этом случае мо-

жет быть сведена к построению точки пересечения прямой

(образующей линейчатой поверхности) со второй заданной по-

верхностью (см. 9.5). При построениях применяют способы пре-

образования чертежа, если это упрощает и уточняет построения.

При построении точек линии пересечения поверхностей вна-

чале находят те точки, которые называют характерными или

опорными.

10.2. Применение вспомогательных

секущих плоскостей

Рассмотрим применение вспомогательных секущих плоско-

стей на примере построения линии пересечения сферы с кону-

сом вращения (рис. 10.2).

Для построения линии пересечения заданных поверхностей

удобно в качестве вспомогательных поверхностей использовать

серию горизонтальных плоскостей, перпендикулярных оси ко-

нуса, которые пересекают сферу и конус по окружностям. На

пересечении этих окружностей находят точки искомой линии

пересечения.

Построение начинают обычно с отыскания проекций ха-

рактерных точек. Проекции 1 'высшей и 2' низшей точек явля-

ются точками пересечения фронтальных проекций очерков, так

129

как центр сферы и ось конуса лежат в плоскости, параллель-

ной плоскости V. Их горизонтальные 1, 2 и профильные 1'\ 2"

проекции находят в проекционной связи. Проекции 3', 3, 3" и

4\ 4, 4", лежащие на экваторе сферы, находят с помощью

горизонтальной плоскости Q (Q

), проходящей через центр

сферы О (о'). Она пересекает сферу по экватору и конус по

окружности радиуса r

, в пересечении горизонтальных проек-

ций которых и находят горизонтальные проекции 3, 4 точек

искомой линии пересечения. Горизонтальные проекции 3 и 4

этих точек являются границами видимости участков линии пе-

ресечения на этой проекции. Проекции промежуточных точек,

например 5' 5, 5" и 6\ 6, 6", находят с помощью вспомога-

тельной горизонтальной плоскости Т(T

). Их построение ясно

из чертежа. Аналогично построены другие точки. Профиль-

ные проекции точек линии пересечения строят по их фрон-

тальной и горизонтальной проекциям. Точки с проекциями 7'

7, 7" и 8\ 8, 8" являются границами видимости участков

профильной проекции линии пересечения. Ниже проекций 7"

и 8" профильная проекция линии пересечения видима. Точ-

ное построение проекций этих точек см. на рисунке 10.5.

130

10.3. Применение вспомогательных сфер с

постоянным центром

Общие положения. Известно, что если ось поверхности

вращения проходит через центр сферы и сфера пересекает

эту поверхность, то линия пересечения сферы и поверхности

вращения — окружность, плоскость которой перпендику-

лярна оси поверхности вращения. При этом, если ось

поверхности вращения параллельна плоскости проекций, то

линия пересечения на эту плоскость проецируется в отрезок

прямой линии. На рисунке 10.3 показана фронтальная про-

екция пересечения сферой радиуса R поверхностей вращения

— конуса, тора, цилиндра, сферы, оси которых проходят

через центр сферы радиуса R и параллельны плоскости V.

Окружности, по которым пересекаются указанные поверх-

ности вращения с поверхностью сферы, проецируются на

плоскость VB виде отрезков прямых. Это свойство исполь-

зуют для построения линии взаимного пересечения двух по-

верхностей вращения с помощью вспомогательных сфер. При

этом могут быть использованы концентрические и неконцент-

рические сферы. В данном параграфе рассмотрим применение

вспомогательных концентрических сфер—сфер с постоянным

центром.

Способ секущих сфер с постоянным центром для построе-

ния линии пересечения двух поверхностей применяют при сле-

дующих условиях:

1) обе пересекающиеся поверхности— поверхности вращения;

2) оси поверхностей вращения

пересекаются; точку пересечения

принимают за центр вспомога-

тельных (концентрических) сфер;

3) плоскость, образованная ося-

ми поверхностей (плоскость симмет-

рии), должна быть параллельна

плоскости проекций. В случае,

если это условие не соблюдается,

то, чтобы его обеспечить, прибе-

гают к способам преобразования

чертежа.

Способ вспомогательных сфер с

ПОСТОЯННЫМ центром, ПОКазаННЫЙ Рис. 10.3

131

на рисунке 10.4, применен для по-

строения линии пересечения кру-

гового конуса с поверхностью,

состоящей из тора и цилиндра. Тор

и цилиндр имеют общую ось вра-

щения, пересекающуюся с осью

конуса в точке с проекцией о' Обе

оси принадлежат плоскости, па-

раллельной плоскости V (фрон-

тальной плоскости).

Построение линии пересечения конуса с

тором. Заметим, что линия пересечения конуса с тором в

данном случае симметрична относительно фронтальной

плоскости, проходящей через оси пересекающихся

поверхностей. Фронтальные проекции видимого и невидимого

участков линии пересечения совпадают. Поэтому в

дальнейшем изложении будут указываться построения

проекций только видимых точек линии пересечения.

Характерными точками искомой линии пересечения являются

высшая с проекцией Г, низшая с проекцией е'и ближайшая к

оси тора с проекцией с'. Проекция Г определяется точкой

пересечения фронтальных проекций очерков тора и конуса.

Проекция е' построена с помощью сферы R

. Она пересекает

тор и цилиндр по окружности, проецирующейся в отрезок пря-

мой, проходящей через проекцию 10' перпендикулярно их оси,

и конус по окружности, проецирующейся в отрезок прямой,

проходящей через проекцию 11 'перпендикулярно оси конуса.

Проекция с'построена с помощью вспомогательной сферы ми-

нимального радиуса Лпи

. Его находят как радиус сферы, ка-

сательной к одной из поверхностей вращения и пересекающей

другую. В данном случае радиус такой сферы определен про-

екцией 6\ в которой проекция образующей окружности R

тора

пересекает линию о'о\. Сфера радиуса R^ касается тора по

окружности с проекцией 6' 7' и пересекает конус по окружнос-

ти с проекцией 8'9'. Для построения проекции о'произволь-

ной точки линии пересечения конуса и тора пересечем их сферой

Ri с центром в точке с проекцией о'. Эта сфера пересекает

конус по окружности с проекцией в виде отрезка 2'3\ тор по

окружности с проекцией в виде отрезка 4'5'. В пересечении

этих проекций находим проекцию а'. Аналогично строят про-

132

Рис. 10.4

екцию любых других точек линии пересечения, например про-

екцию Ъ'с помощью вспомогательной сферы радиуса R

Построение линии пересечения конуса с цилиндром. Харак-

терными точками искомой линии пересечения являются высшая

с проекцией е'и низшая с проекцией/'— точки пересечения

фронтальных проекций очерков цилиндра и конуса. Проекция

£'произвольной точки этой линии построена с помощью сферы

радиуса i?4. Она пересекает цилиндр и конус по окружностям,

проецирующимся в отрезки прямых, проходящих через проек-

ции 12' и 13'.

В некоторых случаях, когда при введении вспомогатель-

ных плоскостей характерные точки можно построить только

путем построения сложной кривой (например, для построе-

ния проекций точек 7 и <?на рис. 10.5 потребуется построить

гиперболу от сечения плоскостью Т (T

)), применение вспо-

могательных сфер может существенно упростить построение.

Для построения проекций точек 7 и 8 удобно применить сфе-

ру радиуса R с центром с проекцией о' в точке пересечения

оси конической поверхности и оси сферы, перпендикулярной

Рис. 10.5

133

плоскости W. Радиус R секущей сферы выбран таким, чтобы

она пересекала заданную сферу по ее профильному меридиа-

ну, проходящему через точку с проекцией /'. Коническую

поверхность сфера радиуса R пересекает по окружности, про-

ходящей через точку с проекциями к', к. Фронтальные про-

екции 7' и 8' искомых точек являются точками пересечения

фронтальных проекций окружностей в виде отрезков прямых,

проходящих через точки Г и к'. Построение горизонтальных 7

и 8 проекций на горизонтальной проекции окружности, про-

ходящей через точку К, и профильных 7" и 8" проекций на

профильной проекции очерка сферы ясно из чертежа.

Влияние соотношения размеров поверхностей на линию их пе-

ресечения. Зависимость линии пересечения поверхностей вра-

щения от соотношения между собой их размеров рассмотрена на

примерах пересечения двух цилиндров и цилиндра с конусом.

Изменения проекции линии пересечения вертикального и

горизонтального цилиндров в зависимости от изменения соот-

ношений диаметров d

вертикального и d

горизонтального ци-

линдров наглядно видны на рисунке 10.6. С приближением

значения диаметра d

вертикального цилиндра к диаметру d

горизонтального цилиндра (рис. 10.6, б) линия пересечения

все больше прогибается вниз (точка В опускается). При ра-

венстве диаметров (рис. 10.6, в), т. е. касании цилиндров

одной сферы на линии пересечения в точке В, возникает пере-

лом, а плавная линия пересечения превращается в две плоские

эллиптические кривые, которые проецируются в два отрезка и

плоскости которых пересекаются между собой под прямым уг-

лом. При дальнейшем увеличении (рис. 10.6, г) диаметра d

вертикального цилиндра (d

> d

) общее направление линии их

пересечения изменяется. Такое изменение в данном случае

равносильно повороту ранее приведенных изображений, на-

пример (рис. 10.6, б), на 90°.

Изменение проекции линии пересечения прямых круго-

вых конуса и цилиндра в зависимости от угла при вершине

конуса показано на рисунке 10.7. В случаях, показанных на

рис. 10.7, а, б, пересечение конуса с цилиндром происходит по

линии 4-го порядка. Она проецируется на плоскость проекций,

параллельную плоскости симметрии, в гиперболу и разделяет

конус на две части, одна из которых прилегает к вершине, дру-

гая — к основанию (конус «врезается» в цилиндр).

В случае, показанном на рис. 10.7, в, конус и цилиндр ка-

саются одной сферы и пересекаются по двум плоским пересека-

134

ющимся между собой кривым 2-го порядка, проецирующимся

в отрезки прямых. В случае, показанном на рис. 10.7, г, ли-

нии их пересечения разделяют цилиндр на две части (цилиндр

«врезается» в конус).

10.4. Применение вспомогательных сфер с

переменным центром

Способ секущих сфер с переменным центром для построения

линии пересечения двух поверхностей применяют при следую-

щих условиях:

135