Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах (том 1)
Подождите немного. Документ загружается.
490
Гпава 9
Вычислим в точке
XQ
=
О
значения данных функций и их
производных
/(0) =
1,
g(0) = l, Л0) = 0, gXO) = 0,
Г(0)-1,
g"(0) = l, Г^(0) = 0, g\0)
=
Q.
Поскольку /'^(0) = 1, а g(^>(0) = 0, т. е. ^\0)Ф
g^'\0).
топ-Ъи кривые имеют третий порядок касания.
5.2.
При каких значениях параметров
а,Ь
прямая у
=
2х-^Ь
будет иметь с кривой
у^е'^ъ
точке х^ =
О
касание первого по-
рядка?
Решение. Пусть /(x) = 2x +
Z?
и g(x) = e'". Условия каса-
ния этих линий в точке Хо=0 имеют вид:
/(0) = g(0), /(0) = gXO). Таким образом, 2
0
+
/7
= в"0;
2 = ае"'' . Отсюда а
=
2, 6 = 1.
5.3.
Найти огибающую семейства окружностей
(х-а)Ч/= —.
2
Решение. Данное семейство окружностей зависит от пара-
метра
а.
Дифференцируя по а, составим систему уравнений (1)
{х-а) +у =—,
2х
=
а.
Рис. 9.18
ПРИЛОЖЕНИЕ аИффЕРЕНиИАПЬНОГО ИСЧИСПЕНИЯ 491^
Исключая а, получим у
=
±х — две прямые, биссектрисы
координатных углов, которые
и
являются огибающими данного
семейства окружностей (рис. 9.18).
5.4. Найти кривую, которую огибает отрезок длины
/,
когда
его концы скользят по осям координат.
Решение. За параметр возьмём угол а, который составляет
перпендикуляр к движущейся прямой
с
осью
х,
тогда уравнение
прямой примет вид
ъта cos а
Дифференцируя по а, получим
xcosa jHsina х у
- + -.—
= 0 или ~
• 2 2 FiJijri .3 3 •
sm а cos а sin а cos а
Определяя из этих уравнений х,у, будем иметь
X cos^a , , . 3
\ —jc =
/, jc
= /sin а;
sin а sin а
sin^a у . ,3
—:—y-v-^— =
/,
j;
= /cos а,
cos а cos а
т. е. огибающей будет астроида (рис. 9.17).
5.5. Исследовать характер дискриминантной кривой куби-
ческой параболы у-{х- of
Решение. Дифференцируем данную кривую по параметру а
и составляем систему
у--{х-а^,
0--3(х~а)'.
Исключая отсюда параметр а, находим дискриминантную
кривую
j^
=
О,
которая является геометрическим местом точек
перегиба и огибающей данного семейства (рис. 9.19).
492
Гпава
9
Рис.
9.19
5.6. Найти соприкасающуюся кривую для семейства окруж-
ностей
{x-af
-{-{y-bf
=^R^-
Решение. Поскольку семейство окружностей содержит три
параметра a,b,R,
то
наивысший порядок касания будет второй.
Полагая
у
=
f(x),
будем иметь
Ф(х,аЛЮ
=
{х-аУ+(у-ЬУ-К\
Ф'^{х,аЛЯ)=^2{х-а)
+
2(у-Ь)у\
Ф':,{х,аЛЮ
= 2 +
2/'+2(у-Ь)у\
Обозначим значения
у, у\ у'',
отвечающие выбранному зна-
чению
X
=
XQ,
через
Уо,Уо,Уо
. Тогда для определения парамет-
ров a,b,R получим систему (3)
(x,-af+iy,-^bf=R\
Хо-с1 +
{у^-Ь)у^=0,
^•^У?+(УО-Ь)У:=О.
Из двух последних уравнений этой системы находим коор-
динаты центра
^1
+
У?
^
=
Хо-Уо
Г~
Уо
Ь = Уо
+
1+Zo
Уо
/2
ПРИПОЖЕНИЕ аИФФЕРЕНиИАПЬНОГО ИСЧИСПЕНИЯ 493
Из первого уравнения находим радиус R
=
-—^ —.
\Уо\
Найденные параметры a,b,R и устанавливают характер
соприкасающейся кривой.
9.6. Производная вектор-функции
1°.
Пусть d(t) — непрерывная вектор-функция, где
/
— ска-
лярный аргумент. Если откладывать значения вектора 5(/) при
различных значениях /, от общего начала О, то конец вектора
опишет некоторую непрерывную кривую, которую называют
годографом вектора a{t).
Предел отношения приращения вектор-функции к прираще-
нию аргумента— при А^~>0 называется производной вектор-
Аг
функции при взятом значении t^ и обозначается
da ,. й(^о+А^)-й(/о) ,. Ай
— = lim
—^^ ^"—^
= lim —.
dt Д^-^о д^ д/-^о д/
Если вектор а задан проекциями на оси координат
d(t)
=
a^(t)i+ay(t)j+
a^(t)k,
то производная вектор-функции
имеет вид
dd da^
-т
da _. da^ р
dt dt dt ' dt ^ ^
Вектор d направлен no касательной к годографу вектора
а в сторону возрастания аргумента t. Если вектор d{t) изменя-
ется только по направлению, то его годограф определяет линию,
расположенную на сфере радиуса R=\d\ с центром в начале
координат. Если вектор d{t) изменяется только по модулю, то
его годограф определяет луч, исходящий из начала координат.
Вектор а в этом случае направлен по лучу.
494
Гпава
9
2°.
Основные правила дифференцирования вектор-функции
скалярного аргумента:
14 ^ г-л.и\ da db
1) —{a±b)^ — ±—\
dt dt dt
dc
2) — = 0, где с — постоянный вектор;
dt
d da
3) — {ma)
=
m—-^ где m — постоянный скаляр;
dt dt
d da ^djl
4) —{lia)
=
fi —
+
a-—^YjiQ ii
=
ii{t)—скалярная функ-
ция от t;
d .-. г. г da ^ db
5) —ia'b)
=
b
+ a
—;
^ dt dt dt'
^^ d .^ r. da r ^ db
6) —(axb)
=
—xb+ax—•
^ dt dt dt'
^ d ^. ^ .. da do
7) —a{(p{t))
=
, где
(p = (p{t)
— скалярная функ-
dt dcp dt
ЦИЯ
от /.
3°.
Если кривая задана параметрическими уравнениями
x
=
x{t), y
=
y(t), z
=
z{t) или векторным уравнением
г = x{t)i + y{t)j + z{t)k
,
то производная вектор-функции опреде-
ляется по формуле
dr dx-T dy -, dz -
— ^—i
+-^j+—k.
(2)
dt dt dt dt
Дифференциал дуги пространственной кривой вычисляется
по формуле
ds
=
^x^+y^+z^dt. (3)
4°.
Если взять за d{t) радиус-вектор г некоторой движу-
щейся точки Л/, а за
г
— время, то скорость движущейся точки
ПРИПОУКЕНИЕ аИффЕРЕНиИАПЬНОГО ИСЧИСПЕНИЯ
495
есть производная её радиус-вектора по времени r{t), а годог-
раф вектора г есть траектория движения точки М. При этом
направление вектора f{t) указывает направление скорости (век-
тор 7{t) направлен
по
касательной
к
траектории),
а модуль у{щ —
величину скорости и равен производной от пути по времени
.
^. ds
\^\=—-.
Вектор г
=^w
dt
d^r а
есть вектор ускорения, равный
dt" dt
dr
Yt
( ^1
d'x dy d'z
de'
dt^'
de
Если точка движется в пространстве, то её уравнение дви-
жения имеет вид r{t)
=
r^{t)i
+ г^(Оу + K{t)k . Проекции скорос-
ти суть: v^= гДО,
v^,=r^Xtl
v^=r^(t).
Величина скорости находится по формуле
^='^f.
2 , 2 , 2
6.1.
Чтобы найти траекторию движения, надо исключить пара-
метр t из параметрических уравнений траектории
z
= r^{ty
Найти годограф вектор-функции
г(/) = cost-i
+sint'
j
+
к, te R.
Решение. Запишем параметрические уравнения годографа
x = cos^
j^
= sin^, z = l. Исключая параметр г, будем иметь
х^
+у^
=1;
Z
=
1.
Следовательно, годографом вектор-функции
г (/) является окружность.
6.2. Определить годограф вектор-функции г =dt^
-\-bt,
где
а и b — постоянные векторы, перпендикулярные друг другу.
496 Гпава 9
Решение. Совмещая направление вектора а с осью х, а век-
тора b с осью у, будем иметь
jc
= /^, y
=
t. Исключая пара-
метр
г,
получим х-у^'
Таким образом, годографом вектор-функции г является
парабола.
6.3.
Найти производную вектор-функции
г = sin^
/Г
+ sin
t cos
t]
+
costk , te [0,2л].
Решение. По формуле (1) будем иметь
— =
2
sin
^ cos ti
+ (cos^ t -
sin^
i)j -
cos
tk =
dt
= sin^ ti +
cos^
tj -
cos
tk
-
6.4. Найти производные вектор-функций:
а) г =cos//+e7 + (^^+l)^ в точке М(1;1;1);
б) г=^'Г + (гЧ1)7 + л/г'-4^ при/ = 2.
Решение, а) Подставляя координаты точки М
в
параметри-
ческие уравнения годографа x = cos/, у
=
е\ z = /^+l, нахо-
дим,
что
в точке
М параметр t^^O. Производная вектор-функции
— = -sin^z + е / +
3t
к в точке М равна = /.
dt -^ "^ dt '
б)
Находим производную —
=
4t i
+
2tj +
—.
к, отсю-
dt 2л//'-4
да ^!:Ш^221
+
4] + Зк.
" - - - *-
6.5. Показать, что векторы г = / + sin/у +
cos/А:
и — пер-
пендикулярны.
dp -^ -
Решение. Находим вектор — = cos tj - sin tk. Условием пер-
dt
пендикулярности двух векторов является равенство нулю их ска-
лярного
произведения.
Из
выражения
1 •
О+sin
/ cos /
-
cos /
sin / =
О
следует перперщикулярность данных векторов.
ПРИПОЖ^ЕНИЕ аИффЕРЕНиИАПЬНОГО ИСЧИСПЕНИЯ 497
6.6. Даны две вектор-функции: a-l
+
t]-^t^k и
^ =
/Г
+ г'7 + ^'^-Найти:а) —(5-6):б) —(йхЬ).
dt dt
Решение, а) По формуле (5) пункта Т имеем, что
—{db)
=
(ti +1^] +
t^k){]
+
2tk)
+
(i+t]
+
t^k)(i
+ 2t] + 3t^k) =
dt
=
t^
-\-2t^
+
l
+
2t^
+3t^ =l
+
3t^
+5t\
6) По формуле (6) пункта 2° имеем, что
—(йх^) = (7
+
2/^)х(^7+^^7
+ ^^^) +
(^+^7+^^^)><(^
+
2/7
+
3^^^)
=
dt
= t4
+
2t^j-tic-2t4
+
3t4 + 2tk + t^j -tk-2t4-3t^j
=
0.
da n^ -,— -*
6.7. Найти —, если a
=
u i
-Vu
j
-\-uk
, где w=cons/.
dt
Решение. По формуле (7) пункта 2° имеем:
— = 3w^(--sinr)z +2w(-sinr)7-sin^^ = sin^(3w^/ +2uj-\'k).
dt
6.8. Найти вторые производные вектор-функций:
а) r(0 = cos3^r + sin/7 +
N/2/^;
б) г(0 =
(/'^-3)Г
+
(/Ч4)7
+
1п/^;
Решение. а) Находим первую производную
— = -3
sin 3ti
+
cos
tj + . Вторая производная равна произ-
dt
^ d^r ^ . -,
водной от первой производной
—j-
= -9cos3^i -smr^ .
dt
б) Находим сначала первую, а затем вторую производную
dr \ - d^r 1 -
— = 4/Т + 3^^7
+
-^; —г-= 12^^?+
6^7—г
А:.
При L=l произ-
dt t dt^ *" r^ ^ ' "^
водная равна —^ = 12г
Л-Ь]
-к .
dt
498
Гпава 9
6.9. Дано уравнение движения r{t) =
3 cos гГ
+
3
sin tj + 2tk .
Определить траекторию движения, скорость
и
ускорение движе-
ния. Найти величины скорости и ускорения движения и их на-
правления для моментов / =
О
и
^
= —.
Решение. Траектория точки определяется параметрически-
ми уравнениями х =
3 cos
t,
j^
=
3
sin
^,
z =
2^
и представляет
винтовую линию.
Скорость V и ускорение w движения найдём как первую и
^ dr . - - -
вторую производные v = — = -3 sin ti +
3
cos tj + 2k ;
-. a r . r ^ . -:
w = —j-=-3cos^z -JsinO . Величина скорости
dt
V = ^J{-3sinty + (3cosO^ + 2^ = л/ГУ , ускорения
w
=
yj(-3
cos
tY + (-3 sin ty
= 3
при любом t. При t = 0 скорость
_ -. _ л:
равна
v^
=
2j + 2k , ускорение
w^
=
-3/
; при t
= —
скорость
^^ = ~ЗГ + 2^
,
ускорение
w^
= -37
•
Траектория точки и найденные векторы
её
скорости и уско-
рения в моменты
г
=
О
и / =
—
показаны на
рис.
9.20.
Рис. 9.20.
ПРИЛОЖЕНИЕ аИффЕРЕНиИАПЬНОГО ИСЧИСПЕНИЯ 499
6.10. Дано уравнение движения r(0 = cosr/
-\-smtj-\-
— t^k .
Определить ускорение w движения и его тангенциальную w^ и
нормальную w^ составляющие в любой момент / и при t = 0.
Решение. Находим вектор скорости и ускорения
-. dr . -т -: г - d^7 т . -Z г
V
=
— = -sin/z +cos^y -htk; w
=
—r- = -cos^z -sin^y
-\-k
dt dt
Величина скорости определяется модулем вектора скорос-
ти
г;
= V sin^ t
Л-
cos^
t-^-t^
=yj\
+
t^
.
Тангециальня составляющая
dv
ускорения определяется по формуле >^т~~7" ^ равна
dt
^г = I , а нормальная по формуле w^
=-yJw^
-мг , где
yl-\-t
H;
=
^^+W^+W^^
,иравна vv;=Jcos^^+sin^^+ 1 --J j-.
Отсюда, при / =
О
получим
VHJ.
=
О,
w„ = л/2 .
6.11.
Если пренебречь сопротивлением воздуха, то уравне-
ние движения снаряда, выпущенного под углом а к плоскости
горизонта с начальной скоростью v^, имеет вид
r{t)
= (vQt
cos а)
i
+
v^tsma
—
\j
. Определить
скорость
и
тра-
У
2
екторию движения.'
Решение. Находим вектор скорости
dr г . . .-:
v
=
—-
= VQCOsai
-i-{vQsma-gt)j . Величина скорости равна
dt
IV
1=
7(^0 cos а)^ +
{VQ
sin а - gtf =
yjv^^
-Iv^gt sin a + g^t^
Параметрическое уравнение траектории будет
[х =
1^0/cos
а,
gt'
y^v^tsma---